ผิดยังไงช่วยดูหน่อยครับ

[reve]

โจทย์: ตารางขนาด 2 แถว n หลัก ระบายด้วยสีดำหรือขาว จงหาสูตร สำหรับจำนวนวิธีการระบายสีบอร์ด
ซึ่งทำให้ ไม่มีช่องสีดำ ที่มีช่องสีขาวติดกับมันทั้งทางซ้ายและด้านบนพร้อมกัน

ทำแบบนี้ผิดยังไงครับ

ให้ $a_n$ คือสูตรที่จะหา, $b_n$ คือจำนวนวิธีการระบายสีตามเงื่อนไขซึ่งหลักสุดท้ายระบายสีดำทั้งบนและล่าง
$c_n$ คือจำนวนวิธี " ที่ลงท้ายด้วย ดำบนขาวล่าง หรือขาวบนขาวล่าง
$d_n$ คือจำนวนวิธี " ที่ลงท้ายด้วย ขาวบนดำล่าง

จะได้ $a_{n+1}=4b_n+3c_n+4d_n$. .....(*)

และ $b_n=a_{n-1} $
$c_n=2a_{n-1}$
$d_n=d_{n-1}+b_{n-1}=d_{n-1}+a_{n-2}$

แทน n-1 ในสมการ (*) ได้สมการ **

เอา * ลบด้วย ** และแทนค่าที่เราหาได้ลงไปจะได้

$a_{n+1}=a_{n}+10a_{n-1}-6a_{n-2}$

แต่ค่าที่ลองหาได้มันไม่ตรงกับคำตอบอะครับ คำตอบคือ. $a_{n}=2*3^n-2^n$

ทำผิดตรงไหนครับ ขอบคุณมากครับ

[otakung]

ผมลองหา $a_1$ ดูมันได้ 3 วิธี ลองแทนค่าในคำตอบที่บอกมาก็ไม่ตรงแล้วอ่ะครับ

ว่าแต่ $b_n$ คูณ 4 ผมพอเข้าใจ ถ้าเพิ่มไปอีกหลักนึงหลัง $b_n$ มันเป็นอะไรก็ได้ก็เลยได้ 4 แบบ
แต่ทำไม $c_n$ ต้องคูณ 3 ล่ะครับ พอดีมันรวบ ดำบนขาวล่าง หรือขาวบนขาวล่าง ไว้ด้วยกัน
ถ้าดำบนขาวล่างน่าจะคูณ 2 แต่ถ้าขาวบนขาวล่างน่าจะคูณ 1 รึเปล่าครับ

ส่วน $d_n$ ผมก็คิดว่าต้องคูณ 2

พอดีผมงงตรงนี้เลยยังไม่ได้เช็คหลังจากนั้น ไม่แน่ใจว่าผมเข้าใจวิธีคิดคุณ reve ถูกรึเปล่า

[reve]

ที่ผมทำเป็น c คูณสามเพราะ กรณีนั้น หลักที่ n จะมีช่องขาวด้านล่าง ซึ่งทำให้หลักต่อไปเลือกได้แค่สามแบบ(ทั้งหมดมีสี่แบบ หักแบบ ขาวบนดำล่าง เพราะจะทำให้ แถวสองหลัก n+1 เป็นบลอกสีดำแบบที่ไม่ต้องการอะครับ)
ส่วน d คูณสี่เพราะเหตุผลเดียวกับ b คือถ้าหลักที่ n ลงท้ายด้วยขาวบนดำล่าง หลัก n+1 จะเป็นอะไรก้ได้ คือ ขาวๆ ขาวดำ ดำขาว ดำๆ ก้จะยังไม่ผิดเงื่อนไข)
แบบนี้ถูกหรือเปล่าครับ

แต่ a1 ได้สี่วิธีถูกแล้วหนิครับ ผมว่าผมเขียนโจทย์งงเอง(แก้แล้วนะครับ) จริงๆหมายความว่าช่องสีดำนั้นมีสีขาวประกบทั้งซ้ายและบนพร้อมกัน
ซึ่งกรณีหนึ่งหลักจะไม่มีบลอกสีดำแบบนั้นเลยระบายแบบไหนก้ได้ทั้งสี่แบบ

[otakung]

อ๋อ ต้องพร้อมกัน โอเคครับ

[reve]

แง

[otakung]

ขออภัยครับ ลืมไปเลย 55

ผมดูแล้วก็หาที่ผิดไม่เจอนะครับ ดูแล้วก็ปกติดี อาจจะต้องรอท่านอื่นมาช่วย

แต่ว่าผมลองนับ $a_3$ ตรง ๆ แล้วมันได้ 48 ตรงกับที่คุณ reve หามานะครับ แต่แทนในสมการที่ว่าเป็นคำตอบแล้วมันได้ 46 อาจจะเฉลยผิดรึเปล่าครับ

วิธีที่ผมนับคือเอาวิธีทั้งหมด ($2^6$) ลบด้วยวิธีที่ไม่ต้องการ คือช่องดำด้านล่างติดกับขาวด้านบนและด้านซ้าย แบ่งเป็น 2 กรณีคือดำที่ว่าอยู่ล่างกลางกับล่างขวา ทั้ง 2 กรณีได้ 8 วิธี ก็เลยได้ทั้งหมด 48 วิธี ยังนึกไม่ออกว่าต้องลบกรณีไหนเพิ่มอีก 2 แบบเพื่อให้ได้ตามเฉลย

[reve]

แต่สูตรตามวิธีผมจะหา$ a_3$ มันต้องหา $a_4$ ก่อนนี่ครับ
มันทุก $n \ge 3$

สำหรับผมอ่านวิธีผมก็ไม่เจอจุดผิดอ่านเฉลยก็ไม่เจอจุดผิดแต่คำตอบดันต่างกัน
แต่ผมว่าของผมผิดแหละครับเพราะ https://artofproblemsolving.com/comm...405163p2260934
เวลาผมทำโจทการนับต้องนับขาดนับเกินตลอดไม่รู้เป็นอะไร

[otakung]

ผมแทนใน $a_{n+1}=4b_n+3c_n+4d_n$ เลยครับ เพราะว่าสูตรสุดท้ายมันเช็คได้แค่ $a_4$ แล้วมันเช็คยากกว่า
ก็หา $b_2, c_2, d_2$ เอาครับ ไม่ยากเท่าไหร่

[otakung]

โจทย์ตามใน link มันบอกว่าสีขาวอยู่ด้านซ้ายของสีดำเฉย ๆ นะครับ ไม่ได้บอกว่าต้องติดกัน

ถ้าแบบนั้นผมนับตรง ๆ ก็ได้ $a_3=46$ ครับ

สรุปว่าโจทย์ไม่ตรงกันครับ

[reve]

จริงด้วยคับ ผมแปลผิดเอง555
ขอบคุณมากครับ