Differential Equations + Set Theory

[Napper]

ผมไม่มั่นใจว่าเข้ามาถูกห้องไหม แต่คิดว่าเกี่ยวกับ analysis นิดนึง และเป็นปัญหาระดับมหาลัย ยังไงลองอ่านคำถามผมดูก่อนนะครับ

ผมเข้าใจคอนเซ็ปต์ที่ว่า DE ก็คือสมการเชิงฟังก์ชันรูปแบบหนึ่ง เป็นเหมือนอีกขั้นของสมการพีชคณิต ปรกติแล้วสมการพีชคณิต $2x+1=0$ เราต้องหาว่า "ตัวเลข" อะไรที่ทำให้สมการเป็นจริง ในที่นี้ก็คือ $x=-1/2$ แต่สมการเชิงอนุพันธ์เราต้องการหาว่า "ฟังก์ชัน" อะไรที่ทำให้สมการเป็นเอกลักษณ์ (เป็นจริงทุกจำนวนจริง $x$) เช่น $y'(x)=y(x)$ ซึ่งเมื่อเราแทนฟังก์ชัน $y(x)=\exp(x)$ ไป ก็จะได้ว่าสมการเป็นเอกลักษณ์ คือเป็นจริงทุกจำนวนจริง $x$ ดังนั้น $y(x)=\exp(x)$ เป็นหนึ่งคำตอบของสมการนี้

อีกเรื่องหนึ่งก็คือการเทียบสัมประสิทธิ์ โดยปรกติแล้ว ถ้าสมการ $ax+b=2x+1$ เป็นเอกลักษณ์ นั่นคือสมการนี้เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนจริง $x$ เราสามารถเทียบสัมประสิทธิ์ และได้ว่า $a=2$ และ $b=1$ ซึ่งอันนี้จริงๆมันเป็นผลจาก fundamental theorem of algebra ที่บอกว่าสมการ $(a-2)x+(b-1)=0$ ต้องมีคำตอบเป็นจำนวนจริง(เชิงซ้อน)อย่างมาก $1$ ราก แต่ถ้าเราบังคับให้สมการเป็นจริงทุกจำนวนจริง $x$ ก็จะเกิดข้อขัดแย้ง แสดงว่าสัมประสิทธ์แรกสุดต้องเป็น $0$ เลยได้ว่า $a=2$ ทำนองเดียวกันก็จะได้ว่า $b=1$

โดยทั่วไปแล้ว การเทียบสัมประสิทธ์ระหว่างสองพหุนาม ดีกรี $n$ สามารถทำได้ถ้าเราบอกว่าสมการเป็นจริงอย่างน้อยสำหรับ $n+1$ ค่าของ $x$ ไม่จำเป็นจะต้องเป็นจริงสำหรับทุกจำนวนจริง ขอแค่ $n+1$ ตัวที่แตกต่างกันก็พอ ในตัวอย่างก่อนหน้าถ้าเราบอกว่าสมการเป็นจริงสำหรับ $x=1$ (มีข้อมูลเพียงเท่านี้) เราจะได้ว่า $a=3$ และ $b=0$ เป็นอีกคำตอบหนึ่ง ดังนั้นการเทียบสัมประสิทธิ์จะไม่เวิร์คถ้าหากว่าสมการเป็นจริงสำหรับค่า $x$ ด้วยจำนวนที่ไม่เพียงพอ

สรุปว่าการเทียบสัมประสิทธิ์สามารถทำได้ถ้าหากว่า จำนวนข้อมูล "มากกว่า" ดีกรีของพหุนาม จำนวนข้อมูลในที่นี้ก็คือจำนวนของค่าของ $x$ ที่สอดคล้อง

ปัญหามันอยู่ที่ว่า เวลาผมแก้สมการเชิงอนุพันธ์ด้วยวิธีกระจายเป็น power series แล้วเทียบสัมประสิทธิ์ ผมมองว่า power series เป็นพหุนามที่มีดีกรี aleph null $|\mathbb{N}|$ และเนื่องจากการแก้สมการเชิงอนุพันธ์นั้น คำตอบต้องทำให้สมการเป็นจริงทุกจำนวน $x$ ก็เหมือนว่าผมมีข้อมูลอยู่ $|\mathbb{R}|$ ตัว ดังนั้น จากที่เรารู้ว่า $|\mathbb{R}|>|\mathbb{N}|$ ในเชิงของคาร์ดินัลิตี้ แปลว่าเราสามารถสรุปได้ว่าการเทียบสัมประสิทธ์เวิร์ค ถ้าผมให้เหตุผลแบบนี้มันเมคเซนส์ไหมครับ

เวลาผมหาในกูเกลิทีไร เค้าทึกทักเอาเองเลยว่าถ้า power series จับย้ายข้างให้ข้างหนึ่งเป็นศูนย์แล้ว สัมประสิทธิ์ของอีกฝั่งต้องเป็นศูนย์หมดเลย ซึ่งมันก็ดูเหมือนจะไปโยงกับที่ผมอธิบายไว้ข้างบน เพราะถ้าผมบอกว่า power series เป็นจริงสำหรับแค่ทุกจำนวนนับ (ไม่ใช่ทุกจำนวนจริง) ผมสามารถสร้าง power series ที่สัมประสิทธิ์ไม่ใช่ศูนย์หมด แต่เท่ากับศูนย์เมื่อแทน x เป็นจำนวนนับใดๆได้ เช่น power series ของ $\sin( \pi x )$

ดังนั้น ผมเลยคิดว่าการที่จำนวนข้อมูลมากกว่าดีกรีเป็นสิ่งจำเป็นในการเทียบสัมประสิทธิ์ เพราะผมมีตัวอย่าง(ข้างต้น)ที่บอกว่าพหุนามดีกรี $|\mathbb{N}|$ กับข้อมูล $|\mathbb{N}|$ ตัว ไม่สามารถใช้การเทียบสัมประสิทธิ์ได้ ผมเลยคิดว่าเหตุผลที่ทำให้เราเทียบสัมประสิทธิ์ตอนแก้สมการเชิงอนุพันธ์โดยใช้ power series น่าจะมาจากการที่ $|\mathbb{R}|>|\mathbb{N}|$ น่ะครับ

ทุกท่านมีความคิดเห็นอย่างไร หรือผมเข้าใจอะไรผิดตรงไหน แนะนำผมได้นะครับ แอบสารภาพว่าเคยส่งเมลไปถามอาจารย์แล้วแต่ผมหาเมลนั้นไม่เจอ (คาดว่าหายไปตอนเรียนจบแล้วเข้าเมลมหาลัยไม่ได้) และจำได้ลางๆว่าอาจารย์บอกว่ามันไม่น่าเกี่ยวกัน ไม่งั้นก็เป็นปัญหาเปิด ซึ่งเมื่อเรียน set theory แล้วรู้ซึ้งเลยครับ

[nooonuii]

ไม่จำเป็นถึงขนาดนั้นครับ ผมว่าน่าจะเป็นผลมาจาก identity theorem มากกว่าแต่ถ้ามองเป็นข้อมูลเบื้องต้นคร่าวๆก็พอได้

[Napper]

ขอบคุณมากครับ ผมไม่นึกว่าจะไปโผล่ที่ complex analysis หรือเพราะผมไม่ได้ยุ่งด้านนี้เลยไม่ค่อยรู้

จะว่าไปแล้ว มันน่าจะไม่เมคเซนส์ตั้งแต่เอา fundamental theorem of algebra ไปใช้กับ power series แล้วล่ะครับ เอาเป็นแนวคิดเล่นๆเฉยๆก็แล้วกันครับ

[kongp]

ผมเข้าใจว่า คล้ายๆ กับวิธีการตีกรอบ ด้วยเส้นตรง เส้นโค้ง คลื่น เป็นต้น เลียนแบบคอมพ์คิดด้วยอัลกอรึธึม เช่น หาจุดตัดด้วยทฤษฏีทวินาม วนไปเรื่อยๆ จากจุดเริ่มต้น ที่ใดที่หนึ่งที่เหมาะสม(สถานการณ์จริงด้วย เช่น Signal Processing, Data Processing, Image Processing, Video Processing)

ทบ. เซต ใช้สมาชิกเป็นจำนวนเมตริกซ์ ก็ได้ ตัวแปรเฉยๆ ก้ได้ นะครับ

คณิตศาสตร์ เป็นการวางแผนงาน ณ. ที่นี้

[kongp]

วิธี power series มองได้ง่ายที่สุด คงแบบนั้น คนอื่นเลยแจกความรู้ ที่ยากๆ คือ ตำรา คำกล่าว ที่ไม่ให้ข้อมูลจริง

แสดงว่ากันไป คนยอมรับ ว่าเก่ง แล้ว ...

นิตยสาร MyMath ทำผิด ! ถึงอยู่ไม่ถาวร ราวกับ ยังไม่ได้เข้าใจ ยังไม่ดีพอ