Riemannian geometry

[Praphanon]

ผมเคยได้ยินมาจากอาจารย์ณรงค์ ปั้นนิ่ม ว่า วิชา "คณิตศาสตร์" ไม่เกี่ยวกับตัวเลข ไม่เกี่ยวกับตัวแปร แต่มันคือกระบวนการคิด แต่เพียงเอาตัวเลขและตัวแปรมาเป็นแม่แบบผมอ่านวิชาหนึ่งในคณิตศาสตร์ คือ Riemannian geometry
มันเป็นวิชาที่ทำให้ผมเห็นถึงกระบวนการ ที่ซับซ้อนขึ้นตามลำดับ ทั้งสมมาตรเวกเตอร์บนมานิโฟลด์ มานิโฟลด์ย่อย เวกเตอร์ควบคู่ orientability, curvature,tangent manifold มันใช้ทั้งพื้นฐาน Euclidean space,Group theory,manifold พอยิ่งนึกภาพมันยิ่งซับซ้อน ผมจำคนที่คิดทฤษฎีบทต่างๆไม่ค่อยได้ครับ แต่จะอ่านแนวคิดไป ว่าต่างกันหรือมีหลักเกณฑ์ยังไง มีกระบวนวิธีคิดแบบไหน ผมเคยกังวลว่าถ้าเราอ่านมันไวไปจะจำมันได้หมดไหม แต่พอผมมานั่งคิดดูผมคิดว่าถ้าเรียนคณิตศาสตร์แบบรู้แนวคิดว่ามันเป็นแบบนี้ นึกภาพออกว่าเป็นยังไง แบบนี้ถือว่าผมเข้าใจในคณิตศาสตร์ ไหมครับ ผมอยากยกแนวคิดในคณิตศาสตรํไปต่อยอดในฟิสิกส์ครับ

[share]

ฅนทั่วไป สมควรมีความรู้คณิตฯ แบบกว้าง ครับ
คือ รู้ว่า แต่ละเรื่องพูดประเด็นอะไร ขอบเขตแค่ไหน ข้อจำกัดอย่างไร
เพื่อนำไปใช้ให้เหมาะสม


Riemannian geometry was first put forward in generality by Bernhard Riemann in the 19th century.
It deals with a broad range of geometries whose metric properties vary from point to point,
including the standard types of non-Euclidean geometry.

Every smooth manifold admits a Riemannian metric, which often helps to solve problems of differential topology.
It also serves as an entry level for the more complicated structure of pseudo-Riemannian manifolds,
which (in four dimensions) are the main objects of the theory of general relativity.
Other generalizations of Riemannian geometry include Finsler geometry.

There exists a close analogy of differential geometry with the mathematical structure of defects in regular crystals. Dislocations and disclinations produce torsions and curvature.[1][2]