ลำดับพหุนาม

[tngngoapm]

ความสัมพันธ์เวียนเกิด$a_n=3a_{n-1}-2a_{n-2}เมื่อa_1=1และa_2=2$...
หรือลำดับ $1,2,4,8,16,32,...$
1.เมตริกจัตุรัสมิติ3x3ที่เกิดจากการนำสามพจน์เรียงกันแล้วนำมาเขียนเป็นเมตริกซ์แบบเหลื่อมกันเช่น..$\bmatrix{1 & 2&4\\ 2& 4&8\\4&8&16} ,\bmatrix{2 & 4&8\\ 4& 8&16\\8&16&32}$..เป็นต้น...ต่างมีค่าดิเทอร์มิแนนท์=0
2.เมตริกจัตุรัสมิติ2x2ที่เกิดจากการนำสองพจน์เรียงกันแล้วนำมาเขียนเป็นเมตริกซ์แบบเหลื่อมกันเช่น..$\bmatrix{1 & 2 \\ 2 & 4} ,\bmatrix{2 & 4 \\ 4 & 8}$ ..เป็นต้น...ต่างมีค่าดิเทอร์มิแนนท์=0 เช่นกัน
3..เมตริกจัตุรัสมิติ1x1ที่เกิดจากแต่ละพจน์เช่น..$\bmatrix{1 },\bmatrix{2} ,\bmatrix{4}$ ..เป็นต้น...ต่างก็มีค่าดิเทอร์มิแนนท์ไม่เท่ากับ0
...เมตริกซ์จัตุรัสที่มีมิติน้อยที่สุดที่เกิดจากการนำพจน์ของความสัมพันธ์เวียนเกิดนั้นมาเขียนเรียงกันในรูปของเมตริกซ์แบบเหลื่อมกัน และทุกๆเมตริกซ์นั้นต่างก็หาค่าดีเทอร์มิแนนท์ได้เท่ากับ0 .เช่นในตัวอย่างนี้ก็คือเมตริกจัตุรัสมิติ2x2...จะได้ว่าอันดับของความสัมพันธ์เวียนเกิดนั้นจะน้อยกว่ามิติของเมตริกซ์อยู่1...ซึ่งก็ค ือมีอันดับของความสัมพันธ์เวียนเกิดแบบเชิงเส้นเท่ากับ1...หรืออธิบายได้ว่าลำดับ $1,2,4,8,...$สามารถเขียนให้อยู่ในรูปความสัมพันธ์เวียนเกิดแบบเชิงเส้นโดยพจน์ก่อนหน้าเพียง1พจน์ก็เพียงพอแล้ว

[tngngoapm]

ตัวอย่างเช่น...ลองมาตรวจสอบว่าลำดับเลขคณิตที่เรารู้จักกันนั้นมีอันดับของความสัมพันธ์เวียนเกิดเท่าใด?...
1. ลำดับ$1,3,5,7,9,...$
เมตริกอันดับของลำดับความสัมพันธ์เลขคณิตที่มีผลต่างร่วมd=2นี้คือเมตริกซ์มิติ3x3เพราะว่า.....
เมตริกซ์ในรูป$\bmatrix{a_n & a_{n+1}&a_{n+2} \\ a_{n+1} & a_{n+2}&a_{n+3}\\a_{n+2}&a_{n+3}&a_{n+4}} ,ทุกๆจำนวนนับn$
1.1)ทุกๆเมตริกซ์ของสามพจน์เรียงกันแบบเหลื่อมกันต่างมีdeterminant=0
1.2)เมตริกซ์ที่มีมิติมากกว่านี้เช่นมิติ4x4,5x5หรือ6x6เป็นต้นจะมีdeterminant=0ทุกๆเมตริกซ์
1.3)เมตริกซ์ที่มีมิติน้อยกว่านี้เช่นมิติ2x2จะมีอย่างน้อยที่สุด1เมตริกซ์ที่determinantไม่เท่ากับ0
...จึงสรุปได้ว่าลำดับเลขคณิต$1,3,5,7,9,...$มีอันดับของความสัมพันธ์เวียนเกิดแบบเชิงเส้นน้อยกว่ามิติของเมตริกซ์อันดับอยู่1...ซึ่งก ็คือมีอันดับเท่ากับ2
2.ลำดับเลขคณิตอื่นๆก็ใช้วิธีการตรวจสอบอันดับเช่นเดียวกันและเข้าใจว่าจะได้อันดับของความสัมพันธ์เป็น2เช่นกัน

[tngngoapm]

ลำดับใดๆ$$a_1,a_2,a_3,...,a_n$$ที่มีเมตริกซ์อันดับ(A)เรียงกันของพจน์ที่แบบเหลื่อมกันในรูป...$$\bmatrix{a_n & a_{n+1}&a_{n+2} \\ a_{n+1} & a_{n+2}&a_{n+3}\\a_{n+2}&a_{n+3}&a_{n+4}}$$
...โดย$a_nคือพจน์ที่ของลำดับในทุกๆพจน์...และเมตริกซ์นี้มีdeterminant=0$...
จะสามารถเขียนลำดับนี้แบบความสัมพันธ์เวียนเกิดเชิงเส้นในรูป$$a_n=\alpha a_{n-1}+\beta a_{n-2}$$
...และสามารถหาค่าคงที่$\alpha ,\beta $ได้คือ$$\alpha =-\frac{C_{23}(A)}{C_{33}(A)} ,\beta =-\frac{C_{13}(A)}{C_{33}(A)} $$
เมื่อ$C_{ab}(A)คือโคแฟคเตอร์แถวที่aหลักที่bของเมตริกซ์A$

[tngngoapm]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tngngoapm

...กรณีเฉพาะของความสัมพันธ์เวียนเกิดแบบเชิงเส้น...
$$a_n=\alpha a_{n-1}+\beta a_{n-2}$$
เมื่อnเป็นจำนวนนับที่มากกว่าหรือเท่ากับ3...
โดยมีพจน์ที่1และ2หรือ$a_1=1และa_2=\alpha ตามลำดับแล้ว$

...จะได้ว่าความสัมพันธ์นี้จะมีพจน์ทั่วไปหรือ
$$a_n=\frac{p_1^n}{p_1-p_2} +\frac{p_2^n}{p_2-p_1} $$
เมื่อ$p_1,p_2เป็นรากของสมการ x^2-\alpha x-\beta =0$

ตัวอย่างเช่น...
กำหนด...ความสัมพันธ์$a_n=3a_{n-1}+4a_{n-2}$
และ$a_1=1,a_2=3$จงหาพจน์ทั่วไปของความสัมพันธ์นี้
....1)..พหุนามของความสัมพันธ์นี้คือ$x^2-3x-4=0$
หารากของพหุนามได้ $x=4,-1$
2)..หรือ$p=4และq=-1$
3)..ได้ $a_{n}=\frac{4^n}{4-(-1)} +\frac{(-1)^n}{(-1)-4} $
หรือ..$a_n=\frac{4^n}{5} +\frac{(-1)^n}{-5} $
ได้..$a_n=\frac{4^n}{5} -\frac{(-1)^n}{5} $
หรือ..$a_n=\frac{1}{5} (4^n-(-1)^n)$

[tngngoapm]

....ลองยกตัวอย่างลำดับของจำนวนผู้เสียชีวิตด้วยไวรัสโคโรน่าสายพันธุ์ใหม่2019
..เริ่มวันที่21ม.ค.จนถึงวันที่3ก.พ.

9,17,25,41,56,80,106,132,170,213,258,304,362,426,...
ทึ่มาข้อมูล:https://www.worldometers.info/coronavirus/

....ตามแนวโน้มของตัวเลขที่มีอยู่สามารถหาความสัมพันธ์แบบย้อนหลังไป4วัน
น่าจะสามารถพยากรณ์ตัวเลขในวันพรุ่งนี้ได้...

$$a_n=1.1714a_{n-1}-0.1081a_{n-2}+1.2314a_{n-3}-1.2799a_{n-4}$$

[tngngoapm]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tngngoapm

....พหุนามกำลัง3ที่มีรากของสมการอย่างน้อย1ค่าอยู่ระหว่าง0กับ1...และอยู่ในรูป
$$x^3=\alpha x^2+\beta x+\gamma $$
จะสามารถหารากของสมการโดยใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิด...
$$a_n=\alpha a_{n-1}+\beta a_{n-2}+\gamma a_{n-3}$$
...โดย$a_1=1,a_2=\alpha และa_3=\alpha ^2+\beta $และรากของสมการกำลังสอง
$$\lim_{n \to \infty} [a_nx^2+(\beta a_{n-1}+\gamma a_{n-2})x+\gamma a_{n-1}]=0$$
โดย$0<x<1$จะเป็นคำตอบของสมการพหุนามกำลังสามนั้นด้วย

ตัวอย่างเช่น
พหุนาม$x^3-4x^2+7x-1=0$
แอลฟ่า=4,เบต้า=(-7),แกมม่า=1
สร้างความสัมพันธ์เชิงเส้นซึ่งจะนำไปลดทอนกำลังของพหุนามได้
$a_n=4a_{n-1}-7a_{n-2}+a_{n-3}$
$a_1=1,a_2=4,a_3=9$

หรือเขียนเป็นพจน์ประมาณเก้าพจน์ได้..
ถ้ามากพจน์กว่านี้คำตอบจะมีความละเอียดของทศนิยมมากขึ้น
$1,4,9,9,(-25),(-154),(-432),(-675),170,...$
ลดทอนกำลังเหลือพหุนามดีกรีสองได้
$170x^2+[(-7)(-675)+(-432)]x-675=0$
หรือพหุนาม $170x^2+4293x-675=0$
คำตอบที่อยู่ระหว่าง0ถึง1คือ$0.15627$
ซึ่งตัวเลขนี้จะเป็นตำตอบของพหุนาม
$x^3-4x^2+7x-1=0$ด้วย
ขอบคุณครับ

[tngngoapm]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tngngoapm

...ความสัมพันธ์เวียนเกิดแบบเชิงเส้นและย้อนหลัง3พจน์หรือ...
$$a_n=\alpha a_{n-1}+\beta a_{n-2}+\gamma a_{n-3}$$
เมื่อnเป็นจำนวนนับที่มากกว่าหรือเท่ากับ4...
โดยมีพจน์ที่1,2และ3คือ$a_1=1,a_2=\alpha และa_3=\alpha ^2+\beta ตามลำดับแล้ว$

...จะได้ความสัมพันธ์นี้จะมีพจน์ทั่วไปหรือ
$$a_n=\frac{p_1^{(n+1)}}{(p_1-p_2)(p_1-p_3)} +\frac{p_2^{(n+1)}}{(p_2-p_1)(p_2-p_3)} +\frac{p_3^{(n+1)}}{(p_3-p_1)(p_3-p_2)} $$
เมื่อ$p_1,p_2และp_3เป็นรากของสมการ... x^3-\alpha x^2-\beta x-\gamma =0$

...บนความสัมพันธ์เชิงเส้น...$a_n=\alpha a_{n-1}+\beta a_{n-2}+\gamma a_{n-3}$...และ...
$$..............\lim_{n\to \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}} สามารถหาได้เท่ากับจำนวนp.................. $$
แล้ว$จำนวน...p...จะเป็นรากสมการหนึ่งของพหุนาม...x^3-\alpha x^2-\beta x-\gamma =0ด้วย$

[tngngoapm]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tngngoapm

...บนความสัมพันธ์เชิงเส้น...$a_n=\alpha a_{n-1}+\beta a_{n-2}+\gamma a_{n-3}$...และ...
$$..............\lim_{n\to \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}} สามารถหาได้เท่ากับจำนวนp.................. $$
แล้ว$จำนวน...p...จะเป็นรากสมการหนึ่งของพหุนาม...x^3-\alpha x^2-\beta x-\gamma =0ด้วย$

การลู่เข้าของความสัมพันธ์เชิงเส้น.....$a_n=\alpha a_{n-1}+\beta a_{n-2}+\gamma a_{n-3}$
ถ้าพหุนาม..$x^3-\alpha x^2-\beta x-\gamma =0$
มีรากของสมการอยู่ระหว่าง..$-1และ1$แล้ว
ความสัมพันธ์เชิงเส้นนั้นจะลู่เข้า...

[tngngoapm]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tngngoapm

...บนความสัมพันธ์เชิงเส้น...$a_n=\alpha a_{n-1}+\beta a_{n-2}+\gamma a_{n-3}$...และ...
$$..............\lim_{n\to \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}} สามารถหาได้เท่ากับจำนวนp.................. $$
แล้ว$จำนวน...p...จะเป็นรากสมการหนึ่งของพหุนาม...x^3-\alpha x^2-\beta x-\gamma =0ด้วย$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tngngoapm

การลู่เข้าของความสัมพันธ์เชิงเส้น.....$a_n=\alpha a_{n-1}+\beta a_{n-2}+\gamma a_{n-3}$
ถ้าพหุนาม..$x^3-\alpha x^2-\beta x-\gamma =0$
มีรากของสมการอยู่ระหว่าง..$-1และ1$แล้ว
ความสัมพันธ์เชิงเส้นนั้นจะลู่เข้า...

ตัวอย่างเช่น...
ความสัมพันธ์เชิงเส้น
$$a_n=1.1714a_{n-1}-0.1081a_{n-2}+1.2314a_{n-3}-1.2799a_{n-4}$$
มีรากสมการของพหุนาม
$$x^4=1.1714x^3-0.1081x^2+1.2314x-1.2799$$
คือ...$xประมาณ0.975019และ1.19131$
ซึ่งมีรากสมการที่ไม่ได้อยู่ในขอบเขตระหว่าง-1กับ1
ส่งผลให้....$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}} \approx 1.19131$$
จึงคาดการณ์ความสัมพันธ์นี้ไม่ได้ลู่เข้า

[tngngoapm]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tngngoapm

การลู่เข้าของความสัมพันธ์เชิงเส้น.....$a_n=\alpha a_{n-1}+\beta a_{n-2}+\gamma a_{n-3}$
ถ้าพหุนาม..$x^3-\alpha x^2-\beta x-\gamma =0$
มีรากของสมการอยู่ระหว่าง..$-1และ1$แล้ว
ความสัมพันธ์เชิงเส้นนั้นจะลู่เข้า...

ตัวอย่างความสัมพันธ์ที่ลู่เข้า
เช่น...$$a_{n}=0.5a_{n-1}+0.5a_{n-2}-0.125a_{n-3}$$
และพหุนาม...$x^3=0.5x^2+0.5x-0.125$
ซึ่งมีรากสมการที่..$cos(\pi /7),cos(3\pi/7)และcos(5\pi/7)$
ซึ่งอยู่ระหว่าง-1และ1...
และคิดว่า...$$\lim_{n \to \infty} (a_n/a_{n-1})น่าจะเท่ากับ...cos(\pi/7)$$
ถ้าเป็นไปตามนี้...ความสัมพันธ์นี้จะลู่เข้าและลู่เข้าสู่...ศูนย์

[tngngoapm]

ความสัมพันธ์เชิงเส้น...
$$a_n=\alpha a_{n-1}+\beta a_{n-2}+\gamma a_{n-3}$$
$โดยเริ่มต้นที่...a_1,a_2และa_3$
และสามารถหา..
$$\lim_{n\to \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}} =1 $$
แล้วความสัมพันธ์นึ้ก็จะลู่เข้าเช่นกัน
และน่าจะลู่เข้าสู่จำนวน...$L$
และยังสงสัยอยู่ว่า...
$$L=\frac{\gamma a_1+(\gamma+\beta)a_2+(\gamma+\beta+\alpha)a_3}{\alpha+2\beta+3\gamma}$$

[tngngoapm]

เช่น...อนุกรมกำลังที่มีส.ป.ส.ในรูปของความสัมพันธ์ฟิโบนาชี
$$1+ x+2x^2+3x^3+5x^4+8x^5+...+a_nx^{n-1}+...$$
โดยที่...$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}...เริ่มที่...a_1=1และ.a_2=1$
ซึ่งถ้าอนุกรมนี้ลู่เข้า.....รัศมีการลู่เข้า...$|x|<\frac{1}{\varphi } $...
...โดยที่..$\varphi คืออัตราส่วนทองคำ$
ผลบวกของอนุกรมกำลังนี้จะสามารถเขียนอยู่ในรูป...
เศษส่วนย่อยของพหุนามได้คือ$\frac{-1}{x^2+x-1} $

หรือในความสัมพันธ์ทั่วไป...
ถ้าอนุกรมกำลังของความสัมพันธ์นั้นลู่เข้าแล้ว...
$$\sum_{n = 1}^{\infty} a_nx^{n-1}=\frac{(\alpha a_1-a_2)x-a_1}{\beta x^2+\alpha x-1} $$
เมื่อ...$a_n=\alpha a_{n-1}+\beta a_{n-2}...โดย...a_1และ.a_2..คือพจน์เริ่มต้นของความสัมพันธ์$

[tngngoapm]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tngngoapm

เช่น...อนุกรมกำลังที่มีส.ป.ส.ในรูปของความสัมพันธ์ฟิโบนาชี
$$1+ x+2x^2+3x^3+5x^4+8x^5+...+a_nx^{n-1}+...$$
โดยที่...$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}...เริ่มที่...a_1=1และ.a_2=1$
ซึ่งถ้าอนุกรมนี้ลู่เข้า.....รัศมีการลู่เข้า...$|x|<\frac{1}{\varphi } $...
...โดยที่..$\varphi คืออัตราส่วนทองคำ$
ผลบวกของอนุกรมกำลังนี้จะสามารถเขียนอยู่ในรูป...
เศษส่วนย่อยของพหุนามได้คือ$\frac{-1}{x^2+x-1} $

หรือในความสัมพันธ์ทั่วไป...
ถ้าอนุกรมกำลังของความสัมพันธ์นั้นลู่เข้าแล้ว...
$$\sum_{n = 1}^{\infty} a_nx^{n-1}=\frac{(\alpha a_1-a_2)x-a_1}{\beta x^2+\alpha x-1} $$
เมื่อ...$a_n=\alpha a_{n-1}+\beta a_{n-2}...โดย...a_1และ.a_2..คือพจน์เริ่มต้นของความสัมพันธ์$

...ถ้าอนุกรมกำลังของความสัมพันธ์เชิงเส้นนั้น...
สามารถหาผลบวกของอนุกรมได้แล้ว...
จะสามารถหาผลบวกนั้นได้อยู่ในรูปของเศษส่วนพหุนาม...

...อนุกรมกำลังของฟังก์ชันพหุนามนี่ก็เช่นกัน...
จะสามารถหาผลบวกของอนุกรมนั้นได้ในรูป...
ผลบวกของเศษส่วนย่อยดังนี้...
$$\sum_{n = 1}^{\infty} a_nx^{n-1}=\frac{a_1}{1-x} +\frac{d_1x}{(1-x)^2} +\frac{d_2x^2}{(1-x)^3} +...+\frac{d_kx^k}{(1-x)^{k+1}} ,|x|<1$$
โดย...$a_n$คือความสัมพันธ์ที่อยู่ในรูปแบบฟังก์ชันพหุนาม...
เช่น...$a_n=2n^2-3n+1$...และ...
$k$...คือดีกรีของพหุนามนั้นเท่ากับ...2...เป็นต้น
$a_1...คือพจน์แรกของอนุกรม$...
$d_1=a_2-a_1$...
$d_2=a_3-2a_2+a_1$...
$d_3=a_4-3a_3+3a_2-a_1$...
...
$d_k=a_{k+1}-\binom{k}{1} a_k+\binom{k}{2}a_{k-1}-\binom{k}{3}a_{k-2}+...+(-1)^{k-1}\binom{k}{k-1}a_2+(-1)^k\binom{k}{k} a_1$

[tngngoapm]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tngngoapm

...ความสัมพันธ์เวียนเกิดแบบเชิงเส้นย้อนหลัง2พจน์หรือ..
$$a_n=\alpha a_{n-1}+\beta a_{n-2},เมื่อมีพจน์ที่1และ2เท่ากับa_1และa_2ตามลำดับ$$
จะมีอนุกรมของความสัมพันธ์นั้นอยู่ในรูป...
$$S_n=(\alpha +1)S_{n-1}+(\beta -\alpha )S_{n-2}-\beta S_{n-3}$$
โดย$S_1=a_1$
$S_2=a_1+a_2$
และ$S_3=a_1+a_2+a_3$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tngngoapm

ความสัมพันธ์เชิงเส้น...
$$a_n=\alpha a_{n-1}+\beta a_{n-2}+\gamma a_{n-3}$$
$โดยเริ่มต้นที่...a_1,a_2และa_3$
และสามารถหา..
$$\lim_{n\to \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}} =1 $$
แล้วความสัมพันธ์นึ้ก็จะลู่เข้าเช่นกัน
และน่าจะลู่เข้าสู่จำนวน...$L$
และยังสงสัยอยู่ว่า...
$$L=\frac{\gamma a_1+(\gamma+\beta)a_2+(\gamma+\beta+\alpha)a_3}{\alpha+2\beta+3\gamma}$$

ลองดูพิจารณาความสัมพันธ์...$a_n=(1/2)a_{n-1}+(1/4)a_{n-2}...a_1=1และa_2=1$
หรือแจกแจงความสัมพันธ์ได้คือ...
$1,1,(3/4),(5/8),(8/16),(13/32),...$
ถามว่าความสัมพันธ์นี้ลู่เข้ามั้ย?...
และถ้าความสัมพันธ์นั้นลู่เข้า...
อนุกรมหรือผลรวมของความสัมพันธ์ยังลู่เข้าอยู่ใช่มั้ย?...
...การคาดการณ์สามารถตอบคำถามเหล่านี้ได้...
1) สร้างพหุนามที่ล้อกับความสีมพันธ์...
$x^2=(1/2)x+(1/4)..หรือคือ...4x^2-2x-1=0$...
2) รากสมการพหุนามนั้นคือ...$cos(pi/5)กับcos(3pi/5)$
รากสมการทั้งหมดมีค่าสมบูรณ์ที่น้อยกว่า1...หรือ...$|x|<1$
3) ทำให้ความสัมพันธ์นี้รวมถึงอนุกรมของความสัมพันธ์ลู่เข้าทันที...
4) สร้างความสัมพันธ์ของอนุกรม...
$$S_n=(3/2)S_{n-1}-(1/4)S_{n-2}-(1/4)S_{n-3}...S_1=1,S_2=2และS_3=11/4$$
5) อนุกรมนี้ลู่เข้าสู่...$L=6$

[tngngoapm]

...ความสัมพันธ์
$$a_n=\alpha a_{n-1}+\beta a_{n-2}...พจน์เริ่มต้น...a_1,a_2$$
...โดยที่$$\lim_{n \to \infty} \left|\,\frac{a_{n+1}}{a_n} \right| <1$$
...จะสามารถหาผลรวมของความสัมพันธ์ได้คือ
$$\sum_{n = 1}^{\infty} a_n=\frac{(1-\alpha )a_1+a_2}{1-\alpha -\beta } $$