ทํายังไงหรอคับ

[napong]

หาจํานวนเต็มบวก x ที่มากที่สุดที่ทำให้ ((x-2)^2)(x+1)/(2x-1) เป็นจํานวนเต็ม
ทํายังไงหรอครับ

[Thamma]

หาจํานวนเต็มบวก $x$ ที่มากที่สุดที่ทำให้ $\frac{(x-2)^2(x+1)}{2x-1}$ เป็นจํานวนเต็ม

$\text{gcd}(a, b)$ หมายถึง หรม. ของ $a$ และ $b$

$d \mid n$ หมายถึง $n$ หารด้วย $d$ ลงตัว

โดยขั้นตอนวิธีแบบยุคลิด,

ตัวหารร่วมมากของจำนวนเต็มสองจำนวนคือจำนวนมากที่สุดที่หารทั้งสองได้โดยไม่เหลือเศษ

รูปอย่างง่ายที่สุดของขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดเริ่มด้วยจำนวนเต็มบวกคู่หนึ่ง และสร้างจำนวนคู่หนึ่งที่ประกอบด้วยจำนวนที่น้อยกว่าและผลต่างระหว่างจำนวนทั้งสอง กระบวนการทำซ้ำจนจำนวนทั้งสองเท่ากัน จำนวนสุดท้ายเป็นตัวหารร่วมมากของจำนวนเต็มบวกที่ขั้นตอนเริ่ม

หลักการสำคัญคือ หรม. ไม่เปลี่ยนค่าถ้านำจำนวนที่น้อยกว่าลบจำนวนที่มากกว่า เช่น หรม. ของ 252 และ 105 เท่ากับ หรม. ของ 147 (= 252 − 105) และ 105 เพราะว่าจำนวนที่มากกว่าถูกลด การทำวิธีนี้ซ้ำทำให้ได้จำนวนเล็กลง การซ้ำนี้จึงจบอย่างแน่นอนเมื่อทั้งสองจำนวนมีค่าเท่ากัน (ถ้าทำอีกหนึ่งครั้ง จำนวนใดจำนวนหนึ่งจะเป็น 0)

จะได้ว่า

$\text{gcd}(x-2,2x-1)=\text{gcd}(x-2,3) \leq 3$ (อาจเป็น $1$ หรือ $3$)

$\text{gcd}(x+1,2x-1)=\text{gcd}(x+1,3) \leq 3$ (อาจเป็น $1$ หรือ $3$)

ดังนั้น $\text{gcd}((x-2)^2(x+1),2x-1)\leq 3^3 $

สมมุติว่า $2x-1>3^3$ จะได้ว่ามีจำนวนเฉพาะ $p$ ที่

$p \mid 2x-1$ แต่ $ p \not\mid (x-2)^2(x+1)$ ทำให้ $2x-1 \not\mid (x-2)^2(x+1)$ ซึ่งขัดแย้ง

ดังนั้น $2x-1=3^y$ และ $ y \leq 3$

จะได้ $x=\frac{3^y+1}{2}$ โดย $x$ จะมีค่ามากที่สุด เมื่อ $y =3$

[tngngoapm]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thamma

หาจํานวนเต็มบวก $x$ ที่มากที่สุดที่ทำให้ $\frac{(x-2)^2(x+1)}{2x-1}$ เป็นจํานวนเต็ม

$\text{gcd}(a, b)$ หมายถึง หรม. ของ $a$ และ $b$

$d \mid n$ หมายถึง $n$ หารด้วย $d$ ลงตัว

โดยขั้นตอนวิธีแบบยุคลิด,

ตัวหารร่วมมากของจำนวนเต็มสองจำนวนคือจำนวนมากที่สุดที่หารทั้งสองได้โดยไม่เหลือเศษ

รูปอย่างง่ายที่สุดของขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดเริ่มด้วยจำนวนเต็มบวกคู่หนึ่ง และสร้างจำนวนคู่หนึ่งที่ประกอบด้วยจำนวนที่น้อยกว่าและผลต่างระหว่างจำนวนทั้งสอง กระบวนการทำซ้ำจนจำนวนทั้งสองเท่ากัน จำนวนสุดท้ายเป็นตัวหารร่วมมากของจำนวนเต็มบวกที่ขั้นตอนเริ่ม

หลักการสำคัญคือ หรม. ไม่เปลี่ยนค่าถ้านำจำนวนที่น้อยกว่าลบจำนวนที่มากกว่า เช่น หรม. ของ 252 และ 105 เท่ากับ หรม. ของ 147 (= 252 − 105) และ 105 เพราะว่าจำนวนที่มากกว่าถูกลด การทำวิธีนี้ซ้ำทำให้ได้จำนวนเล็กลง การซ้ำนี้จึงจบอย่างแน่นอนเมื่อทั้งสองจำนวนมีค่าเท่ากัน (ถ้าทำอีกหนึ่งครั้ง จำนวนใดจำนวนหนึ่งจะเป็น 0)

จะได้ว่า

$\text{gcd}(x-2,2x-1)=\text{gcd}(x-2,3) \leq 3$ (อาจเป็น $1$ หรือ $3$)

$\text{gcd}(x+1,2x-1)=\text{gcd}(x+1,3) \leq 3$ (อาจเป็น $1$ หรือ $3$)

ดังนั้น $\text{gcd}((x-2)^2(x+1),2x-1)\leq 3^3 $

สมมุติว่า $2x-1>3^3$ จะได้ว่ามีจำนวนเฉพาะ $p$ ที่

$p \mid 2x-1$ แต่ $ p \not\mid (x-2)^2(x+1)$ ทำให้ $2x-1 \not\mid (x-2)^2(x+1)$ ซึ่งขัดแย้ง

ดังนั้น $2x-1=3^y$ และ $ y \leq 3$

จะได้ $x=\frac{3^y+1}{2}$ โดย $x$ จะมีค่ามากที่สุด เมื่อ $y =3$

ถ้าผมบอกว่ามีวิธีที่สั้นและกะทัดรัดกว่านี้มากจะเป็นการผิดมากไหมครับ....
อย่าคิดมาก...ถือเป็นการแลกเปลี่ยนกันนะครับ

[Thamma]

ผู้ตอบจะตอบตามมุมมองและความถนัดของตนเอง

ให้คิดถึงผู้ถามและผู้อ่าน ตอบเลยค่ะ