ช่วยชี้แนะวิธีทำด้วยครับ

[butare]

ข้อสอบสอวน 3 ข้อ

[tngngoapm]

ข้อหกขอตอบแบบใช้คาร์บอนนะครับ...
(ขนาดไฟล์รูปภาพน่าจะอัพโหลดได้มากกว่า200KBอ่ะครับจะสะดวกในการใช้มือถือถ่ายภาพได้)

[Thamma]

5.

จากโจทย์ $n+2016 \mid n^3+2559$

และจาก $n+2016 \mid n^3+2016^3$

จะได้ว่า $n+2016 \mid 2016^3-2559$ ---[1]

ดังนั้น $n \leq 2016^3-2559-2016$

จะเห็นได้ชัดว่า $ n_{max} = 2016^3-2559-2016$ สอดคล้องกับ [1]

[butare]

ขอบคุณมากมากครับ ทั้งสองท่านเลย
เหลือข้อ 4 อีกข้อ

[Thamma]

4.

ให้พิสูจน์ว่า

$(a+b+c)^3-(a^3+b^3+c^3) \mid (a+b+c)^{2559}-(a^{2559}+b^{2559}+c^{2559})$

$3(a+b)(b+c)(c+a) \mid (a+b+c)^{2559}-a^{2559}-(b^{2559}+c^{2559})$

จาก $(a+(b+c))^{2559}-a^{2559}=a^{2559}+\binom{2559}{1}a^{2558}(b+c)+\ldots+(b+c)^{2559}-a^{2559}$

จะได้ $(a+(b+c))^{2559}-a^{2559} \equiv 0 \bmod{(b+c)}$

และจาก $x+y \mid x^{2k+1} + y^{2k+1}$ จะได้ $\;b^{2559}+c^{2559} \equiv 0 \bmod{(b+c)}$

ดังนั้น $(b+c) \mid (a+b+c)^{2559}-(a^{2559}+b^{2559}+c^{2559})$

ในทำนองเดียวกัน จะได้

$(c+a) \mid (a+b+c)^{2559}-(a^{2559}+b^{2559}+c^{2559})$

$(a+b) \mid (a+b+c)^{2559}-(a^{2559}+b^{2559}+c^{2559})$

ดังนั้น $(a+b)(b+c)(c+a) \mid (a+b+c)^{2559}-(a^{2559}+b^{2559}+c^{2559})$

[tngngoapm]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thamma

ให้พิสูจน์ว่า

$(a+b+c)^3-(a^3+b^3+c^3) \mid (a+b+c)^{2559}-(a^{2559}+b^{2559}+c^{2559})$

$3(a+b)(b+c)(c+a) \mid (a+b+c)^{2559}-a^{2559}-(b^{2559}+c^{2559})$

จาก $(a+(b+c))^{2559}-a^{2559}=a^{2559}+\binom{2559}{1}a^{2558}(b+c)+\ldots+(b+c)^{2559}-a^{2559}$

จะได้ $(a+(b+c))^{2559}-a^{2559} \equiv 0 \bmod{(b+c)}$

และจาก $x+y \mid x^{2k+1} + y^{2k+1}$ จะได้ $\;b^{2559}+c^{2559} \equiv 0 \bmod{(b+c)}$

ดังนั้น $(b+c) \mid (a+b+c)^{2559}-(a^{2559}+b^{2559}+c^{2559})$

ในทำนองเดียวกัน จะได้

$(c+a) \mid (a+b+c)^{2559}-(a^{2559}+b^{2559}+c^{2559})$

$(a+b) \mid (a+b+c)^{2559}-(a^{2559}+b^{2559}+c^{2559})$

ดังนั้น $(a+b)(b+c)(c+a) \mid (a+b+c)^{2559}-(a^{2559}+b^{2559}+c^{2559})$

แต่สัมประสิทธิ์บางพจน์ของ $(a+b+c)^{2559}-(a^{2559}+b^{2559}+c^{2559})$ ไม่มี $3$ เป็นตัวประกอบ

คิดว่าข้อความโจทย์ไม่จริงนะ ลองคิดดู

สวยงามทุกขั้นตอน...สรุปก็คือถ้า$(a+b)(b+c)(c+a)หารพหุนามของตัวแปรa,b,c ได้ลงตัว..3(a+b)(b+c)(c+a)ก็จะหารพหุนามนั้นลงตัวด้วย...ลองคิดดูดีดี$

[butare]

ขอบคุณครับ

[Thamma]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tngngoapm

ถ้า$(a+b)(b+c)(c+a)หารพหุนามของตัวแปรa,b,c ได้ลงตัว..3(a+b)(b+c)(c+a)ก็จะหารพหุนามนั้นลงตัวด้วย$

เพราะโจทย์ไม่ได้กำหนดว่า $P(x) \in \mathbb{Z}[x]$ ใช่ไหมคะ

[tngngoapm]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thamma

เพราะโจทย์ไม่ได้กำหนดว่า $P(x) \in \mathbb{Z}[x]$ ใช่ไหมคะ

$อาจจะประมาณนี้ครับเช่น 3(a+b)(b+c)(c+a) หาร (a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5 ได้ผลหารเท่ากับ \frac{5}{3} (a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)$
กับ $(a+b+c)^{2559}-a^{2559}-b^{2559}-c^{2559} ก็น่าจะเป็นเช่นเดียวกัน$

[Thamma]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tngngoapm

$อาจจะประมาณนี้ครับเช่น 3(a+b)(b+c)(c+a) หาร (a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5 ได้ผลหารเท่ากับ \frac{5}{3} (a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)$
กับ $(a+b+c)^{2559}-a^{2559}-b^{2559}-c^{2559} ก็น่าจะเป็นเช่นเดียวกัน$

ขอบคุณมากค่ะ