Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > อสมการ
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 12 มกราคม 2019, 12:33
Rainy day Rainy day ไม่อยู่ในระบบ
เริ่มฝึกวรยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 23 มิถุนายน 2018
ข้อความ: 12
Rainy day is on a distinguished road
Default ช่วยพิสูจน์โจทย์อสมการหน่อยครับ

อันนี้เป็นข้อที่พยายามทำมาหลายรอบแล้วยังทำไม่ได้ครับ ช่วยหน่อยนะครับ

1. a,b,c เป็นจำนวนจริงบวก โดย $a^2+b^2+c^2=3$ พิสูจน์ $\frac{1}{4-a}+\frac{1}{4-b}+\frac{1}{4-c}\leqslant 1 $

2. a,b,c เป็นจำนวนจริงบวก พิสูจน์ $\frac{a^2+b^2}{2c}+\frac{b^2+c^2}{2a}+\frac{c^2+a^2}{2b} \leqslant \frac{a^3}{bc}+\frac{b^3}{ac}+\frac{c^3}{ab} $

3. a,b,c เป็นจำนวนจริงบวก โดย $abc=1$ พิสูจน์ $a^3+b^3+c^3+(ab)^3+(bc)^3+(ca)^3\geqslant a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)$

4. x,y,z เป็นจำนวนจริงบวก โดย $xyz=1$ พิสูจน์ $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geqslant x+y+z$

5. a,b,c เป็นจำนวนจริงบวก โดย $a+b+c=3$ พิสูจน์ $\frac{1}{a+b+c^2}+\frac{1}{b+c+a^2}+\frac{1}{c+a+b^2}\leqslant 1$

6. $a_1,a_2,...,a_n$ เป็นจำนวนจริงบวก พิสูจน์ $\frac{a_1^4+a_2^4+...+a_n^4}{a_1^3+a_2^3+...+a_n^3}\geqslant \frac{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2}{a_1+a_2+...+a_n} $

แล้วก็อยากได้โจทย์อสมการเพื่อเตรียมตัวสอบ TMO (ที่ไม่ใช่โจทย์ TMO) อยากรู้ว่าหาได้จากแหล่งไหนหรือมีหนังสืออะไรแนะนำมั้ยครับ
ขอบคุณครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 13 มกราคม 2019, 09:09
NaPrai's Avatar
NaPrai NaPrai ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าหยก
 
วันที่สมัครสมาชิก: 02 กุมภาพันธ์ 2017
ข้อความ: 174
NaPrai is on a distinguished road
Default

ถ้าเผื่อต้องการคิดก่อนซักนิดนึงผมจะให้ hint ไว้นะครับ แต่ก่อนอื่นขอเรียงระดับความยาก(สำหรับผม) ก่อนนะครับ เผื่อจะช่วยในการตัดสินใจทำได้ถูก

สำหรับผมตามความยาก: 2<6<3<4=5<1

แต่ละข้อก็จะมีเทคนิคเล็ก ๆ น้อย ๆ ลองเอาไปย่อย ๆ ดูสักพัก ก็จะได้ไอเดีย เผื่อเจอโจทย์อื่น ก็จะได้นำเทคนิคนี้ไปใช้ ฝึกฝนเรื่อย ๆ ก็จะเซียนขึ้น บางทีอาจจะเจอโจทย์แล้วถึงขั้นมองตอบเลยก็ได้

ปล. โจทย์ข้อ 1 ยากสุดซะงั้น 5555

Hint:






13 มกราคม 2019 09:52 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ NaPrai
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 13 มกราคม 2019, 09:44
NaPrai's Avatar
NaPrai NaPrai ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าหยก
 
วันที่สมัครสมาชิก: 02 กุมภาพันธ์ 2017
ข้อความ: 174
NaPrai is on a distinguished road
Default

โพสต์นี้เป็นเฉลยวิธีการทำนะครับ ถ้ากลัวว่าเป็นการสปอยล์ก็ลองคิดเองดูก่อน หรือดู Hint ที่โพสต์ไว้ก่อนหน้าก็ได้ครับ

FULL SOLUTION:






14 มกราคม 2019 07:43 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 9 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ NaPrai
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 13 มกราคม 2019, 11:57
NaPrai's Avatar
NaPrai NaPrai ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าหยก
 
วันที่สมัครสมาชิก: 02 กุมภาพันธ์ 2017
ข้อความ: 174
NaPrai is on a distinguished road
Default

พอดีผมชอบอสมการ เลยขอจัดเต็มหน่อย 5555
เอาเป็นว่าถ้าอยากหาโจทย์อสมการก็ลองดูเล่มอสมการของ สอวน. ก็ได้ครับ โจทย์ในนั้นก็เอาเรื่องอยู่ หรือลองอ่านที่เป็นภาษาอังกฤษดูก็ได้นะ อย่างเช่น Basic in Olympiad Inequality ของ Samin Riasat หรือ Old and New inequality

อันที่จริงใน mathcenter เองก็มีกระทู้ที่เป็นอสมการเยอะเลยนะครับ ลองไปดูที่หน้าหลักของ mathcenter แล้วหาคำว่า อสมการ ก็เจอเยอะมาก. อย่างอันนี้ http://www.mathcenter.net/forum/forumdisplay.php?f=18

13 มกราคม 2019 12:13 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ NaPrai
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 13 มกราคม 2019, 21:07
Rainy day Rainy day ไม่อยู่ในระบบ
เริ่มฝึกวรยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 23 มิถุนายน 2018
ข้อความ: 12
Rainy day is on a distinguished road
Default

ขอบคุณมากครับผม
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 01:09


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha