ข้อสอบคัดผู้แทนศูนย์มหิดล 2562

[Leng เล้ง]

$1.\ ให้\ S={1,2,3,...,m}\ โดยที่\ m>673\ และ\ m\in \mathbb{Z} ^+$
$ถ้าสามารถแบ่ง\ S\ ออกเป็นเซตย่อย\ A_1,A_2,A_3,...,A_{673}\ ใดๆ$
$โดยที่จะมี\ A_i\ ที่\ \exists a,b\in A_i\ ซึ่ง\ b<a\leqslant \frac{3}{2}a\ เสมอ$
$จงหาค่า\ m\ ที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้$
$2.\ ให้\ x_1,x_2,x_3,...,x_{30}\in \mathbb{Z} \ จงหาคำตอบของ\ x_1^8+x_2^8+x_3^8+...+x_{30}^8=201,999,999,999,999$
$3.\ กำหนดรูปสี่เหลี่ยม\ ABCD\ เป็นรูปสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลม\ $
$ต่อ\ AD\ และ\ BC\ ตัดกันที่จุด\ P\ $
$ต่อ\ AB\ และ\ CD\ ตัดกันที่จุด\ Q\ $
$ลาก\ QE\ และ\ QF\ สัมผัสวงกลมที่จุด\ E\ และ\ F\ ตามลำดับ\ จงพิสูจน์ว่าจุด\ P,E,F\ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน$
$4.\ ให้\ a,b,c,d\in \mathbb{R} ^+\ ซึ่ง\ (a^2+b^2+c^2+d^2)^2>3(a^4+b^4+c^4+d^4)$
$จงพิสูจน์ว่าจะมี\ 3\ ตัวจาก \ a,b,c,d\ ที่เป็นด้านของรูปสามเหลี่ยม$
$5.\ ให้\ f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \ ซึ่งสอดคล้องกับ\ f(f(n))=n^2\ \forall n\in \mathbb{N} $
$จงพิจารณาว่ามีฟังก์ชัน\ f\ ที่สอดคล้องหรือไม่\ ถ้ามีจงยกตัวอย่าง$
$6.\ A\ กับ\ B\ เล่นใส่ก้อนหินในกล่อง\ โดยหยิบจากกองหินที่มี\ 10000\ ก้อน$
$โดยในแต่ละรอบ\ A\ และ\ B\ ต้องหยิบก้อนหินใส่อย่างน้อย\ 1\ ก้อน\ และไม่เกิน\ C_n \ ก้อน $
$เมื่อ \ C_n = \cases{200-2n & , n\leqslant 99 \cr 1 & , n>99}\ ซึ่ง\ C_n\ แทนจำนวนก้อนหินในรอบที่\ n$
$ถ้า\ A\ เริ่มก้อน\ และ\ B\ เริ่มทีหลัง\ โดยที่คนที่แพ้คือคนที่หยิบก้อนที่\ 10000\ ถามว่าใครมีกลยุทธ์ที่จะชนะ$
$ตัวอย่างเช่น \ รอบที่\ 1\ :A\ หยิบ \ 1\ ก้อน\ B\ หยิบ 2\ ก้อน$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ รอบที่\ 2\ :A\ หยิบ \ 3\ ก้อน\ B\ หยิบ 6\ ก้อน$
$7.\ จงหาว่ามี\ n\in \mathbb{N} \ ที่\ n!\ มี\ 4\ หลักหน้าสุดเป็น\ 2019\ หรือไม่$
$8.\ กำหนดรูปสามเหลี่ยม\ ABC\ มี\ AD,BE,CF\ เป็นเส้นส่วนสูง $
$ถ้า\ P\ และQ\ เป็นจุดใดๆบนเส้น\ DF\ และ\ EF\ ตามลำดับ\ ซึ่งทำให้\ \angle PAQ=\angle DAC$
$จงพิสูจน์ว่า\ AP\ แบ่งครึ่งมุม \ \angle FPQ$
$9.\ ให้\ S(n)\ เป็นเซตของเศษเหลือจากการนำจำนวนเต็มกำลังสองใดๆ\ หารด้วย\ n \ เช่น\ S(5)=\left\{\,0,1,4\right\} $
$จงพิสูจน์ว่า\ S(2^k)\subseteq S(2^{k+1})\ เมื่อ\ k\in \mathbb{N} $
$10.\ พิจารณาการวางโดมิโนลักษณะรูปตัวแอลและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีอย่างละ\ 4\ ช่อง\ ลงในตาราง\ 4\times 2019$
$จงพิสูจน์ว่าจำนวนโดมิโนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะต้องมีเป็นจำนวนคี่$

[Leng เล้ง]

ผู้แทนศูนย์ ตัดที่ 15 คะแนน

[orion]

10. ระบายสีแถวที่ 1 กับ 3 เป็นสีขาว และระบายสีแถวที่ 2 กับ 4 เป็นสีดำ

โดมิโนตัว L จะพาดผ่านสีขาวและสีดำ สีละจำนวนคี่ช่องเสมอ
โดมิโนตัวสี่เหลี่ยมจัตุรัส จะพาดผ่านสีขาวหรือสีดำ สีละจำนวนคู่ช่องเสมอ

เนื่องจากมีจำนวนช่องสีขาวเป็นจำนวนคู่ ช่องสีดำเป็นจำนวนคู่ ดังนั้นจะต้องมีโดมิโนตัว L เป็นจำนวนคู่ตัว

ทำให้ได้ว่ามีโดมิโนจัตุรัสจำนวนคี่ตัว

[orion]

7. ใช่เพราะ $\{\log n!\}$ dense ใน $[0,1]$

(https://math.stackexchange.com/quest...n-dense-in-0-1)