FE Problem

[Supermath]

มีฟังก์ชัน $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} $ ที่ $f(f(n))=2n,\forall n\in \mathbb{N} $ หรือไม่

[NaPrai]

มีครับ ตัวอย่างก็คือ

$f(n) = \cases{n+2 & , n\equiv 1 (mod 4) \cr 2n-4 & , n \equiv 3 (mod 4) \cr 2f\left(\frac{n}{2}\right) &, 2\mid n} $

ปล. จริง ๆ มีเยอะกว่านี้มากเลยครับ อันนี้เป็นเพียงตัวอย่างหนึ่ง

[Supermath]

มี f ที่สอดคล้องด้วยหรอครับ ตยข้างงนแทนเเล้วก็ไม่สอดคล้องนะครับ

[NaPrai]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Supermath

มี f ที่สอดคล้องด้วยหรอครับ ตยข้างงนแทนเเล้วก็ไม่สอดคล้องนะครับ

จริงเหรอครับ ผมลองเชคแล้วนา หรือว่าผมพลาดอะไรไป ช่วยยกตัวอย่างให้หน่อยได้ไหมอ่าครับ ว่ามี $n$ ตัวไหนที่ $f(f(n)) \not= 2n$

[Supermath]

$1. f(f(n))=f(n+2)=n+4\not= 2n$

[NaPrai]

ไม่ครับ ๆ ผมไม่ได้หมายความแบบนััน คือที่ผมเขียนน่ะหมายถึงเป็นฟังก์ชันที่ติดเงื่อนไข ดูให้ดีนะครับ มันมีเงื่อนไขด้านหลังดัวย เช่น

$f(5) = 5+2 = 7$ เพราะว่า $5 \equiv 1 \ (mod 4)$
$f(7) = 2(7)-4 = 10$ เพราะว่า $7 \equiv 3 \ (mod 4)$

[Supermath]

เเล้วจะตอบ ต้องตอบในรูป f(n)=... จะตอบยังไงอ่ะครับ

[NaPrai]

ก็ตอบแบบนี้ก็ได้ครับ

$f(n) = \cases{n+2 & , n\equiv 1 (mod 4) \cr 2n-4 & , n \equiv 3 (mod 4) \cr 2f\left(\frac{n}{2}\right) &, 2\mid n} $

หรืออาจจะเขียนว่า $f(4k+1)=4k+3, f(4k+3)=6k+2$ สำหรับทุกจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ $k$ และ $f(2a)=2f(a)$ สำหรับทุกจำนวนนับ $a$ ก็ได้เช่นกัน