Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > ข้อสอบโอลิมปิก
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 20 พฤษภาคม 2019, 22:58
NaPrai's Avatar
NaPrai NaPrai ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าหยก
 
วันที่สมัครสมาชิก: 02 กุมภาพันธ์ 2017
ข้อความ: 174
NaPrai is on a distinguished road
Default TMO 16 Discussion

ข้อสอบวันแรก

1. ให้ $ABCDE$ เป็นรูปห้าเหลี่ยมนูน ซึ่ง $\angle AEB = \angle BDC = 90^\circ $ และ $\overline{AC} $ แบ่งครึ่งมุมทั้ง $\angle BAE$ และ $\angle DCB$ ให้วงกลมล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม $ABE$ ตัดเส้นตรง $AC$ อีกครั้งที่จุด $P$

(ก) จงแสดงว่า $P$ เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม $BDE$

(ข) จงแสดงว่า จุด $A,C,D,E$ อยู่บนวงกลมเดียวกัน

หมายเหตุ รูปห้าเหลี่ยมนูน คือ รูปห้าเหลี่ยมที่มุมภายในแต่ละมุมมีขนาดน้อยกว่า $180^\circ$

2. ให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกัน
ถ้า $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ แล้ว จงแสดงว่า $\frac{2a(a^2+b^2)}{a^2-b^2}$ ไม่เป็นจำนวนเต็ม

3. จงหาฟังก์ชัน $f: \mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R^+}$ ทั้งหมดซึ่ง $f(x+yf(x)+y^2)=f(x)+2y$ สำหรับทุก $x,y \in \mathbb{R^+}$

4. กระต่ายตัวหนึ่งเริ่มต้นอยู่ที่ตำแหน่ง $0$ และกระโดดไปมาบนเส้นจำนวนจริง

ในการกระโดดแต่ละครั้ง กระต่ายจะกระโดดไปยังตำแหน่งที่เป็นจำนวนเต็มตำแหน่งใดก็ได้ แต่ต้องไม่กระโดดอยู่กับที่

ให้ $N(a)$ แทนจำนวนวิธีที่กระต่ายจะกระโดดให้ได้ระยะทางรวมทั้งหมด $2019$ หน่วย แล้วสิ้นสุดที่ตำแหน่ง $a$

จงหาจำนวนเต็ม $a$ ทั้งหมด ซึ่ง $N(a)$ เป็นจำนวนคี่

5. กำหนดให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่ง $abc=1$ จงแสดงว่า $$\frac{4a-1}{(2b+1)^2}+\frac{4b-1}{(2c+1)^2}+\frac{4c-1}{(2a+1)^2} \ge 1$$

ข้อสอบวันที่ 2

6. จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ ทั้งหมดซึ่ง $xf(y)+yf(x) \le xy$ สำหรับทุก $x,y \in \mathbb{R}$

7. ให้ $A=\{-2562,-2561,...,2561,2562\}$

จงแสดงว่า สำหรับฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง $f:A \rightarrow A$

$\sum_{k=1}^{2562}\left|\, f(k)-f(-k)\right|$ มีค่ามากสุด ก็ต่อเมื่อ $f(k)f(-k)<0$ สำหรับทุก $k=1,2,...,2562$

8. ให้ $ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยม โดยที่ $AB \not= AC$ และมี $\omega$ เป็นวงกลมล้อมรอบ

ให้ $I$ เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมแนบในรูปสามเหลี่ยม $ABC$ ซึ่งสัมผัสด้าน $BC$ ที่จุด $D$

ให้วงกลมซึ่งมี $\overline{AI}$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ตัดวงกลม $\omega$ อีกครั้งที่จุด $K$

ถ้าเส้นตรง $AI$ ตัดวงกลม $\omega$ อีกครั้งที่จุด $M$ จงแสดงว่า $K,D,M$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

9. รูปไชยศรี คือ รูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดทั้งสามเป็นจุดยอดของรูป 2019 เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่ารูปใดรูปหนึ่ง โดย รูปไชยศรี ที่ต่างกัน อาจเกิดจากรูป 2019 เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าขนาดต่างกัน

รูปทับแก้ว คือ รูปหลายเหลี่ยมนูนซึ่งสามารถตัดแบ่งทั้งรูป ออกเป็น รูปไชยศรี หลาย ๆ รูป โดยที่จุดยอดของ รูปไชยศรี ไม่จำเป็นต้องอยู่บนเส้นขอบของรูปหลายเหลี่ยมนูนนี้

จงหาว่า รูปทับแก้ว มีจำนวนเหลี่ยมได้มากสุดเท่าใด

หมายเหตุ รูปหลายเหลี่ยมนูน คือ รูปหลายเหลี่ยมที่มุมภายในแต่ละมุมมีขนาดน้อยกว่า $180^\circ$

10. จงแสดงว่ามีจำนวนคี่บวก $n$ อยู่อนันต์จำนวนที่ทำให้ $n!+1$ ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ

02 มิถุนายน 2019 11:55 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ NaPrai
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 20 พฤษภาคม 2019, 23:06
Lspeed Lspeed ไม่อยู่ในระบบ
เริ่มฝึกวรยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 17 ตุลาคม 2016
ข้อความ: 16
Lspeed is on a distinguished road
Default

มาลงข้อ 7 แบบที่ยากขึ้นนะครับ
ให้ $A = \{-2562,-2561,...,2561,2562\}$ หาจำนวนฟังก์ชั่น $f : A^{2562} \rightarrow A^{2562}$ ซึ่ง $f$ 1 ต่อ 1 และทั่วถึง
ที่ $$\sum_{i_1=1}^{2562}\sum_{i_2=1}^{2562}...\sum_{i_{2562}=1}^{2562} |f(i_1,i_2,...,i_{2562})-f(-i_1,-i_2,...,-i_{2562})|$$ มีค่าสูงสุด

เมื่อ $|(a_1,a_2,...,a_{2562})-(b_1,b_2,...,b_{2562})| = |a_1-b_1| + |a_2-b_2|+...+|a_{2562}-b_{2562}|$

20 พฤษภาคม 2019 23:08 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 5 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Lspeed
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 20 พฤษภาคม 2019, 23:16
NaPrai's Avatar
NaPrai NaPrai ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าหยก
 
วันที่สมัครสมาชิก: 02 กุมภาพันธ์ 2017
ข้อความ: 174
NaPrai is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Lspeed View Post
มาลงข้อ 7 แบบที่ยากขึ้นนะครับ
ให้ $A = \{-2562,-2561,...,2561,2562\}$ หาจำนวนฟังก์ชั่น $f : A^{2562} \rightarrow A^{2562}$ ซึ่ง $f$ 1 ต่อ 1 และทั่วถึง
ที่ $$\sum_{i_1=1}^{2562}\sum_{i_2=1}^{2562}...\sum_{i_{2562}=1}^{2562} |f(i_1,i_2,...,i_{2562})-f(-i_1,-i_2,...,-i_{2562})|$$ มีค่าสูงสุด

เมื่อ $|(a_1,a_2,...,a_{2562})-(b_1,b_2,...,b_{2562})| = |a_1-b_1| + |a_2-b_2|+...+|a_{2562}-b_{2562}|$
ถ้าให้ผมเดานี่โจทย์น่าจะดัดแปลงเป็นฟังก์ชัน $n$ มิติได้ใช่ไหมครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 20 พฤษภาคม 2019, 23:33
Lspeed Lspeed ไม่อยู่ในระบบ
เริ่มฝึกวรยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 17 ตุลาคม 2016
ข้อความ: 16
Lspeed is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ NaPrai View Post
ถ้าให้ผมเดานี่โจทย์น่าจะดัดแปลงเป็นฟังก์ชัน $n$ มิติได้ใช่ไหมครับ
ใช่แล้วครับคุณ NaPrai แต่ Key Idea หลักก็แทบจะเหมือนเดิมเลยครับ ซึ่งถูกสปอยไปในข้อ 7 หมดแล้วครับ ถถถ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 20 พฤษภาคม 2019, 23:35
GG:) GG:) ไม่อยู่ในระบบ
สมาชิกใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 11 พฤศจิกายน 2016
ข้อความ: 9
GG:) is on a distinguished road
Default

ผมว่าข้อ 5 ปีนี้ค่อนข้างง่ายนะครับ รู้สึกว่าข้อ 4 ยากกว่าข้อ 5 อีก
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #6  
Old 21 พฤษภาคม 2019, 00:05
NaPrai's Avatar
NaPrai NaPrai ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าหยก
 
วันที่สมัครสมาชิก: 02 กุมภาพันธ์ 2017
ข้อความ: 174
NaPrai is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ GG:) View Post
ผมว่าข้อ 5 ปีนี้ค่อนข้างง่ายนะครับ รู้สึกว่าข้อ 4 ยากกว่าข้อ 5 อีก
คือข้อ 5 นี้ผมว่าด้วยความที่มันเป็นอสมการ และยิ่งโจทย์ออกมาลักษณะนี้เนี่ย มันเป็นแบบถ้ามองออกก็สามารถทำได้แบบง่าย ๆ เลย เพราะมันเป็นโจทย์ที่คลิกเดียวออก แต่เอาจริง ๆ ตอนผมทำแรก ๆ ก็มึน ๆ อยู่นะครับ เพราะดูเหมือนว่าเท่าที่ผมลองทำจะมีแค่ sol เดียวที่ดูโอเค (คือลอง bound เป็นแบบอื่นแล้วกลับข้างแหลกเลย 5555) กับอีก sol นึงที่กระจายอย่างบ้าระห่ำ มันเลยยากหน่อย ๆ

//ส่วนตัวคิดว่า 4 กับ 5 เป็นข้อที่พอ ๆ กัน

21 พฤษภาคม 2019 00:08 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ NaPrai
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #7  
Old 21 พฤษภาคม 2019, 14:38
กขฃคฅฆง's Avatar
กขฃคฅฆง กขฃคฅฆง ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 เมษายน 2015
ข้อความ: 419
กขฃคฅฆง is on a distinguished road
Default

ข้อ 6 ทำยังไงกันครับ

__________________
เหนือฟ้ายังมีอวกาศ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #8  
Old 21 พฤษภาคม 2019, 17:22
Pitchayut Pitchayut ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 20 มกราคม 2015
ข้อความ: 352
Pitchayut is on a distinguished road
Default

Solution ทั้ง 10 ข้อ (ภาษาอังกฤษนะครับ พอดีพิมพ์เก็บไว้แค่อังกฤษ)










รูปภาพที่แนบมาด้วย
File Type: pdf TMO Problems and Solutions.pdf‎ (99.4 KB, 1832 views)

22 พฤษภาคม 2019 16:44 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Pitchayut
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #9  
Old 21 พฤษภาคม 2019, 21:38
NaPrai's Avatar
NaPrai NaPrai ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าหยก
 
วันที่สมัครสมาชิก: 02 กุมภาพันธ์ 2017
ข้อความ: 174
NaPrai is on a distinguished road
Default

คือเอาจริง ๆ ผมชอบอสมการนะครับ โดยเฉพาะปีนี้ค่อนข้างช็อคที่อสมการอยู่ข้อ 5 และก็ชอบมาก ๆ ด้วยเช่นกัน และเนื่องจาก @Pitchayut ได้ลง Solution ดี ๆ ไปแล้ว ดังนั้นผมจะมาเสนออีกแนวทางหนึ่ง นั่นคือ "การกระจาย"

อันนี้คือแค่มาบอกว่า บางทีตอนในห้องสอบถ้าคิดอะไรไม่ออก การกระจายอาจเป็นตัวเลือกหนึ่ง และอสมการของ TMO เป็นอสมการที่กระจายแล้วก็น่าจะออก อย่างข้อนี้ เท่าที่คุยกับผู้เข้าแข่งขันแต่ละคน คิดตั้งนานคิดไม่ออก ซึ่งก็มีทั้งที่ยอมกระจาย กับไม่ยอมกระจาย แต่ส่วนใหญ่ที่ลองกระจายก็ยอมแพ้กับการกระจายไป (กระจายไม่สุด) ซึ่งผมก็เข้าใจนะ เพราะผมเองก็ยังออกกลัว ๆ ที่จะกระจาย เพราะรูปที่เป็น cyclic แบบนี้มันดูเละมาก ๆ

แต่ถ้าใจมันจะกระจาย อะไรก็ห้ามไม่อยู่แล้วล่ะ 555555

จากอสมการจะได้ว่าต้องพิสูจน์ว่า $$\sum_{cyc} [4a(2c+1)^2(2a+1)^2] \ge (2a+1)^2(2b+1)^2(2c+1)^2+\sum_{cyc}[(2c+1)^2(2a+1)^2]$$ ทีนี้กระจายไงดีไม่ให้น่าสับสน เราควรเขียนอะไรต่าง ๆ ให้อยู่ในรูป $\sum$



ปล. กระจายแบบนี้ผมทำไปประมาณ 15-30 นาที ถ้าอยู่ในห้องสอบก็ต้องตัดสินใจดี ๆ นะครับก่อนกระจาย 555555555

21 พฤษภาคม 2019 21:49 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 7 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ NaPrai
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #10  
Old 21 พฤษภาคม 2019, 23:18
~ArT_Ty~'s Avatar
~ArT_Ty~ ~ArT_Ty~ ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 03 กรกฎาคม 2010
ข้อความ: 1,081
~ArT_Ty~ is on a distinguished road
Default

สวัสดีครับ ไม่ได้แวะเวียนมาที่นี่ซะนาน อยู่มาตั้งแต่สมัยหนุ่ม ๆ 55555

เอา Solution ข้อ 8 แบบเต็ม ๆ และมีรูปมาแปะให้ครับ


จริง ๆ ข้อนี้มีอีกหลาย Solution เลยนะครับ ดีจริง ๆ เลย นาน ๆ จะเจอโจทย์เรขา TMO ที่มันส์ขนาดนี้

ไม่แน่ปีนี้ Best Solution ของปีนี้อาจจะมาจากโจทย์เรขาก็ได้นะฮะ

ป.ล. อยากเห็น Hell เอ้ย Heaven Edition ของข้อนี้จัง
__________________
...สีชมพูจะไม่จางด้วยเหงื่อ แต่จะจางด้วยนํ้าลาย...
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #11  
Old 22 พฤษภาคม 2019, 17:28
Pitchayut Pitchayut ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 20 มกราคม 2015
ข้อความ: 352
Pitchayut is on a distinguished road
Default

มาสรุปผลของปีนี้นะครับ ข้อมูลทั้งหมดนี้เกิดจากการสอบถามคนที่อยู่ในงานมา ถ้าข้อมูลส่วนไหนผิดพลาดก็ขออภัยด้วยนะครับ

ทอง 7 เหรียญ ตัดที่ 40 คะแนน
เงิน 16 เหรียญ ตัดที่ 28 คะแนน
ทองแดง 25 เหรียญ ตัดที่ 15 คะแนน

ปล. cutoff เงินกับทองแดงผมไม่ค่อยชัวร์นะครับ รบกวนคนที่ไปมาช่วยตรวจสอบด้วย

ที่ 1 มีสองคน ได้ 44 คะแนน (จึงไม่มีที่ 2)
ที่ 3 มีสองคน ได้ 42 คะแนน

ไม่มีรางวัล Best Solution
Best Problem ข้อ 4 ศูนย์โรงเรียนราชสีมาวิทยาลัย

ที่มาของโจทย์

ข้อ 2 มาจากศูนย์มหาวิทยาลัยเชียงใหม่
ข้อ 4 มาจากศูนย์โรงเรียนราชสีมาวิทยาลัย
ข้อ 8,9 มาจากศูนย์โรงเรียนสวนกุหลาบวิทยาลัย

ที่เหลืออีก 6 ข้อ มาจากศูนย์โรงเรียนมหิดลวิทยานุสรณ์ทั้งหมด

22 พฤษภาคม 2019 20:37 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Pitchayut
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #12  
Old 22 พฤษภาคม 2019, 22:32
กขฃคฅฆง's Avatar
กขฃคฅฆง กขฃคฅฆง ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 เมษายน 2015
ข้อความ: 419
กขฃคฅฆง is on a distinguished road
Default

ปีนี้ศูนย์สวนกุหลาบ เปลี่ยนเป็นศูนย์อื่นแล้วเหรอครับ ไปดูในเพจ TMO มา คนที่ได้อันดับ 1,3 อยู่ศูนย์ที่ผมไม่รู้จักเลย

ปล. ปีนี้คะแนนน้อยกันจังเลยครับ ที่1ได้ 6 ข้อเอง
__________________
เหนือฟ้ายังมีอวกาศ

22 พฤษภาคม 2019 22:33 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กขฃคฅฆง
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #13  
Old 23 พฤษภาคม 2019, 22:47
จอมยุทธน้อย's Avatar
จอมยุทธน้อย จอมยุทธน้อย ไม่อยู่ในระบบ
สมาชิกใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 11 พฤษภาคม 2018
ข้อความ: 7
จอมยุทธน้อย is on a distinguished road
Default

__________________
I’m korncrazy mathmania

23 พฤษภาคม 2019 22:51 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จอมยุทธน้อย
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #14  
Old 23 พฤษภาคม 2019, 23:52
Amankris's Avatar
Amankris Amankris ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ธรรมชาติ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 13 มกราคม 2007
ข้อความ: 2,492
Amankris is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
8. ให้ $ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยม โดยที่ $AB \not= AC$ และมี $\omega$ เป็นวงกลมล้อมรอบ

ให้ $I$ เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมแนบในรูปสามเหลี่ยม $ABC$ ซึ่งสัมผัสด้าน $BC$ ที่จุด $D$

ให้วงกลมซึ่งมี $\overline{AI}$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ตัดวงกลม $\omega$ อีกครั้งที่จุด $K$

ถ้าเส้นตรง $AI$ ตัดวงกลม $\omega$ อีกครั้งที่จุด $M$ จงแสดงว่า $K,D,M$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน


24 พฤษภาคม 2019 01:47 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Amankris
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


หัวข้อคล้ายคลึงกัน
หัวข้อ ผู้ตั้งหัวข้อ ห้อง คำตอบ ข้อความล่าสุด
TMO 15 Discussion Pitchayut ข้อสอบโอลิมปิก 16 12 พฤษภาคม 2018 01:47
TMO 14 Discussion Pitchayut ข้อสอบโอลิมปิก 15 18 พฤษภาคม 2017 17:21
TMO 13 Discussion Beatmania ข้อสอบโอลิมปิก 32 29 กันยายน 2016 12:30
Topic for discussion คนอ่อนคณิต ทฤษฎีจำนวน 1 06 มกราคม 2009 17:54

เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 12:21


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha