Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > ข้อสอบโอลิมปิก
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 16 มีนาคม 2021, 19:23
nowhere nowhere ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 30 มิถุนายน 2017
ข้อความ: 30
nowhere is on a distinguished road
Default TMO 17

5. กำหนดตารางขนาด $n\times n$ ช่อง ซึ่งแต่ละช่องมีขนาดเท่า ๆ กัน
ในแต่ละครั้งจะเลือกช่องของตารางมาหนึ่งช่อง แล้วลบด้านสามด้านใด ๆ ของช่องนั้นทิ้ง ทำเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ
โดยแต่ละครั้งที่เลือกช่องต้องเลือกช่องที่มีด้านเหลืออย่างน้อยสามด้าน และลบด้านที่ยังเหลืออยู่เท่านั้น
จงหาจำนวนนับ $n$ ทั้งหมด ที่ทำให้ลบด้านตามเงื่อนไขได้จนหมดทุกด้าน
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 28 กรกฎาคม 2021, 04:16
orion orion ไม่อยู่ในระบบ
สมาชิกใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 28 กรกฎาคม 2021
ข้อความ: 6
orion is on a distinguished road
Default

คำตอบ: $n=2,6k+3,6k+5$

เนื่องจากจำนวนเส้นขอบทั้งหมดเท่ากับ $2n(n+1)$ ดังนั้น $3 \mid 2n(n+1)$ ทำให้ได้ว่า $n \equiv 0,2 \mod 3$

นอกจากนี้ ต้องแสดงว่าจำนวนคู่ $n > 2$ ใช้ไม่ได้ ให้ลองเลือกสักสี่เหลี่ยมย่อยที่ติดขอบตาราง และเลือก 3 ขอบย่อยของสี่เหลี่ยมนั้นดู เมื่อเลือกแล้วจะเป็นการบังคับการเลือก 3 ขอบย่อย ของสี่เหลี่ยมย่อยที่ติดของตารางไปเรื่อยๆ จะพบข้อขัดแย้ง

ไม่ยากที่จะหาตัวอย่างกรณี $n=2,3,5$ แนวทางคือให้เริ่มจากสี่เหลี่ยมย่อยที่ติดขอบตาราง สุดท้ายให้พิจารณาว่าจะเพิ่มจาก $n$ ไป $n+6$ อย่างไร
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 03:17


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha