อสมการ

[ผู้ใฝ่ปัญญา]

รบกวนท่านผู้รู้ช่วยแสดงวิธีทำให้หน่อยครับ

1. $\sqrt{3+x}>3-x$ (เพราะอะไร ทำไหมผมยกกำลัง 2 ทั้งสองข้างถึงได้คำตอบที่ผิดครับ?)

2. $\sqrt{\frac{3x^2-2x-1}{4+3x-x^2}}<1$

3. $\frac{\sqrt{24-2x-x^2}}{x}<1$

4. หาช่วงของ a ซึ่งทำให้อสมการ $x^2+2\left|\,x-a\right| \geqslant a^2$
โดย $x\in \mathbf{R}$

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ผู้ใฝ่ปัญญา

รบกวนท่านผู้รู้ช่วยแสดงวิธีทำให้หน่อยครับ

1. $\sqrt{3+x}>3-x$ (เพราะอะไร ทำไหมผมยกกำลัง 2 ทั้งสองข้างถึงได้คำตอบที่ผิดครับ?)

เพราะทางด้านขวามือของอสมการอาจจะมีค่าเป็นลบได้ครับ

เช่น เรารู้ว่า $5 > -6$

ถ้ายกกำลังสองทั้งสองข้างโดยไม่กลับเครื่องหมาย จะได้ $25 > 36$ ซึ่งไม่จริง

แต่ถ้า $5 > -2$

ยกกำลังสองทั้งสองข้าง โดยไม่กลับเครื่องหมาย จะได้ $25 > 4$ จริง

[ผู้ใฝ่ปัญญา]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

เพราะทางด้านขวามือของอสมการอาจจะมีค่าเป็นลบได้ครับ

เช่น เรารู้ว่า $5 > -6$

ถ้ายกกำลังสองทั้งสองข้างโดยไม่กลับเครื่องหมาย จะได้ $25 > 36$ ซึ่งไม่จริง

แต่ถ้า $5 > -2$

ยกกำลังสองทั้งสองข้าง โดยไม่กลับเครื่องหมาย จะได้ $25 > 4$ จริง

เห็นภาพชัดเลยครับ ขอบคุณครับ
ถ้าหากผมจะแก้สมการผมควรจะทำวิธีใดเพื่อจะแก้ครับ?

รบกวนช่วยชี้แนะนำหน่อยครับ คือทั้ง 4 ข้อผมมีคำตอบเฉลย
แต่ผมหาทางไปไม่เป็นครับ

[Amankris]

$\sqrt{3+x}>3-x$

ข้อนี้ไม่ต้องรีบยกกำลังสองก็ได้ครับ

Hint

ย้ายข้าง แยกตัวประกอบ จะได้
$\left(\sqrt{3+x}+3\right)\left(\sqrt{3+x}-2\right)>0$
ตอบ $x\in\left(1,\infty\right)$

$\sqrt{\dfrac{3x^2-2x-1}{4+3x-x^2}}<1$

ยกกำลังสอง

Hint

จะได้ $0\le\dfrac{3x^2-2x-1}{4+3x-x^2}<1$ แล้วก็แก้ต่อทีละข้าง ไม่ยาก

$\dfrac{\sqrt{24-2x-x^2}}{x}<1$

ข้อนี้ต้องแยกกรณี

Hint

$x<0\rightarrow x\in\left[-6,0\right)$
$x>0\rightarrow x\in\left(3,4\right]$

จงหา $a$ ทั้งหมด ที่ $x^2+2\left|x-a\right|\ge a^2$ ทุก $x\in\mathbb R$

ข้อนี้ยุ่งยากเล็กน้อย
มองแยกเป็นสองส่วน คือ หาช่วงของ $a$ และ แสดงว่าช่วงที่หามาใช้ได้จริง

PartI

แทน $x=1$ จะได้ $a^2-1-2\left|a-1\right|\le0$ แก้ออกมา ได้ว่า $a\in\left[-3,1\right]$
แทน $x=-1$ จะได้ $a^2-1-2\left|a+1\right|\le0$ แก้ออกมา ได้ว่า $a\in\left[-1,3\right]$
ดังนั้น $a\in\left[-1,1\right]$

PartII

ให้ $a\in\left[-1,1\right]$
จะได้ว่า $-a-2\le a\le-a+2$
ถ้า $x<a$ จะได้ $\left(x-a\right)\left(x+a-2\right)\ge0\rightarrow x^2-2\left(x-a\right)\ge a^2$
ถ้า $x\ge a$ จะได้ $\left(x-a\right)\left(x+a+2\right)\ge0\rightarrow x^2+2\left(x-a\right)\ge a^2$

[ผู้ใฝ่ปัญญา]

ขอบคุณ คุณAmankris มากๆครับที่ช่วยชี้แนะครับ
ทำให้เข้าใจมากขึ้นครับ แต่ยังมีบ้างจุดที่ผมยังงงอยู่ครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

$\left(\sqrt{3+x}+3\right)\left(\sqrt{3+x}-2\right)>0$

การมองแยกตัวประกอบของข้อนี้ พอจะมีทริคแนะนำไหมครับ?
(ถ้าให้ผมมองเอง มองทั้งวันทั้งคืนก็ไม่ได้แบบนี้ครับ)

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

แทน $x=1$ จะได้ $a^2-1-2\left|a-1\right|\le0$

รบกวนช่วยชี้แนะหน่อยครับ ผมแก้ต่อให้ได้ $a\in\left[-3,1\right]$ ไม่เป็นครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

จะได้ว่า $-a-2\le a\le-a+2$

บรรทัดนี้มาได้อย่างไรครับ?

[gon]

วิธีแยกตัวประกอบข้อแรก จัดรูปเป็นแบบนี้ก่อนครับ
$\sqrt{3+x} +(3+x) - 6 > 0$

จากนั้นสมมติตัวแปร เช่นให้ $A = \sqrt{3+x}$ จะได้ว่า $A^2+A-6 > 0$ โดยที่ $A \ge 0$

วิธียกกำลังสองก็ทำได้นะครับ แต่ต้องแบ่งเป็นสองกรณี
ถ้าสนใจลองอ่านที่ผมเคยเขียนไว้นานมากแล้วครับ (20ปีกว่า)

http://www.mathcenter.net/sermpra/se...pra10p02.shtml

(อาจจะมีพิมพ์ผิดบ้างนิดหน่อย ไม่ได้แก้เลย เช่น จำนวนบวก ที่ถูก ต้องแก้เป็น จำนวนที่ไม่เป็นลบ แต่โดยหลักการคร่าวๆแล้วไม่มีปัญหาครับ )