ปัญหาเลขยกกำลัง xyz+x+y+z = ?

[C.king]

ถ้า $a^x=\dfrac{b}{c}, b^y=\dfrac{c}{a} , c^z=\dfrac{a}{b}$ แล้ว $xyz+x+y+z = ?$
คุณ nooonuii ได้เฉลยไว้แล้ว แต่ผมก็ยัง งงๆ ตรงบรรทัด 3 ว่า ทำไมตัวส่วนไม่เป็น XY เฉยๆ แล้วตัวแปร b มันยุบรวมยังไง … ง๊งงงงงงงง
$a=\dfrac{b^{1/x}}{c^{1/x}}$

$b^y=\dfrac{c}{a}=\dfrac{c^{1+1/x}}{b^{1/x}}$

$b=c^{\frac{x+1}{xy+1}}$

$\therefore a=c^{\frac{1-y}{1+xy}}$

$c^z=\dfrac{c^{\frac{1-y}{1+xy}}}{c^{\frac{x+1}{xy+1}}}=c^{-\frac{x+y}{xy+1}}$

$z=-\dfrac{x+y}{xy+1}$

$\dfrac{x+y+z+xyz}{xy+1}=0$

$x+y+z+xyz=0$

อีกเฉลยโดยคุณ Puriwatt
อันนี้ผมงงว่า ทำไมเริ่มจาก $a^{xyz}$

จาก $a^x= b/c, b^y= c/a, c^z= a/b$ จะได้ว่า

$a^{xyz}= (a^x)^{yz}= (b/c)^{yz}= (b^{yz})/(c^{yz})=(c/a)^z(b/a)^y$

$a^{xyz}=(c^z×b^y)/a^{y+z}=(c/b)/a^{y+z} = a^{-(x+y+z)}$

จัดรูปได้เป็น $a^{xyz+x+y+z}=1$ ดังนั้น $xyz+x+y+z = 0$
ผมรบกวนผู้รู้ช่วยอธิบายละเอียดๆ ด้วยครับ … ขอบคุณครับ
กระทู้อ้างอิง http://www.mathcenter.net/forum/arch...p/t-21215.html

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ C.king

ถ้า $a^x=\dfrac{b}{c}, b^y=\dfrac{c}{a} , c^z=\dfrac{a}{b}$ แล้ว $xyz+x+y+z = ?$
คุณ nooonuii ได้เฉลยไว้แล้ว แต่ผมก็ยัง งงๆ ตรงบรรทัด 3 ว่า ทำไมตัวส่วนไม่เป็น XY เฉยๆ แล้วตัวแปร b มันยุบรวมยังไง … ง๊งงงงงงงง
$a=\dfrac{b^{1/x}}{c^{1/x}}$

$b^y=\dfrac{c}{a}=\dfrac{c^{1+1/x}}{b^{1/x}}$

$b=c^{\frac{x+1}{xy+1}}$

$\therefore a=c^{\frac{1-y}{1+xy}}$

$c^z=\dfrac{c^{\frac{1-y}{1+xy}}}{c^{\frac{x+1}{xy+1}}}=c^{-\frac{x+y}{xy+1}}$

$z=-\dfrac{x+y}{xy+1}$

$\dfrac{x+y+z+xyz}{xy+1}=0$

$x+y+z+xyz=0$

อีกเฉลยโดยคุณ Puriwatt
อันนี้ผมงงว่า ทำไมเริ่มจาก $a^{xyz}$

จาก $a^x= b/c, b^y= c/a, c^z= a/b$ จะได้ว่า

$a^{xyz}= (a^x)^{yz}= (b/c)^{yz}= (b^{yz})/(c^{yz})=(c/a)^z(b/a)^y$

$a^{xyz}=(c^z×b^y)/a^{y+z}=(c/b)/a^{y+z} = a^{-(x+y+z)}$

จัดรูปได้เป็น $a^{xyz+x+y+z}=1$ ดังนั้น $xyz+x+y+z = 0$
ผมรบกวนผู้รู้ช่วยอธิบายละเอียดๆ ด้วยครับ … ขอบคุณครับ
กระทู้อ้างอิง http://www.mathcenter.net/forum/arch...p/t-21215.html

จาก $b^y = \frac{c^{1+\frac{1}{x}}}{b^{\frac{1}{x}}}$

จะได้ $b^{y+\frac{1}{x}} = c^{1+\frac{1}{x}}$

ไปต่อได้หรือเปล่าครับ

ของคุณ Puri เพราะว่าที่โจทย์ถาม มันมีพจน์ xyz อยู่ไงครับ