Probability Theory Marathon

[nooonuii]

สวัสดีครับ ขอแนะนำกระทู้มาราธอนล่าสุด ช่วงนี้ผมกำลังศึกษาทฤษฎีความน่าจะเป็นจึงตั้งกระทู้นี้เพื่อแลกเปลี่ยนความคิดเห็น
ในการทำโจทย์ที่เกี่ยวกับความน่าจะเป็นครับ ขอตั้งหลักเกณฑ์ของโจทย์ไว้กว้างๆก่อนนะครับ เพราะทฤษฎีความน่าจะเป็นที่ผมกำลังศึกษาอยู่นั้นห่างไกลจาก
ความน่าจะเป็นที่เราเรียนกันในระดับมัธยมหรือระดับปริญญาตรีอยู่ไกลโขทีเดียว ส่วนใหญ่จะเน้นการวิเคราะห์มากกว่าการคำนวณครับ แต่จะพยายามไม่ดึงกระทู้เข้าไปลึกถึงระดับนั้นครับ เพราะเดี๋ยวจะไม่มีคนเล่น เอาล่ะผมขอเริ่มโจทย์ข้อแรก ณ บัดนี้

1. A กับ B เล่นเกมโยนเหรียญกัน ถ้าเหรียญขึ้นหัว A ได้หนึ่งแต้ม ถ้าเหรียญขึ้นก้อย B ได้หนึ่งแต้ม ใครได้สามแต้มก่อนเป็นผู้ชนะ จงหาความน่าจะเป็นที่แต่ละคนจะชนะเกมนี้

ป.ล. เหรียญที่ใช้ในการเล่นเป็นเหรียญเที่ยงตรงครับ

แอบมาเปลี่ยนโจทย์นิดหน่อยครับ เพื่อให้คิดได้ง่ายขึ้น

[M@gpie]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

1. A กับ B เล่นเกมโยนเหรียญกัน ถ้าเหรียญขึ้นหัว A ได้หนึ่งแต้ม ถ้าเหรียญขึ้นก้อย B ได้หนึ่งแต้ม ใครได้สามแต้มก่อนเป็นผู้ชนะ จงหาความน่าจะเป็นที่แต่ละคนจะชนะเกมนี้
ป.ล. เหรียญที่ใช้ในการเล่นเป็นเหรียญเที่ยงตรงครับ

\[ \begin{array}{ccl}
P\{ \text{คนใดคนหนึ่ง ได้ 3 แต้ม} \} &=& P\{HHH\} + P\{HHHT\} + P\{ HHHTT \} \\
&=& \frac{1}{2^3} + \left(\frac{4!}{3! \cdot 1!}\right) \cdot \frac{1}{2^4}+ \left(\frac{5!}{3!\cdot2!}\right)\cdot \frac{1}{2^5}
\end{array}\]
ทำผิดไปแล้วครับ

ขอตั้งโจทย์มั่งครับ
2. A,B เล่นเกมผลัดกันโยนเหรียญ (อีกแล้ว) โดยที่ถ้าใครได้หัวก่อนถือว่าเป็นผู้ชนะ จงหาความน่าจะเป็นที่ A จะชนะโดยที่ A เริ่มเล่นก่อน

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ M@gpie

\[ \begin{array}{ccl}
P\{ \text{คนใดคนหนึ่ง ได้ 3 แต้ม} \} &=& P\{HHH\} + P\{HHHT\} + P\{ HHHTT \} \\
&=& \frac{1}{2^3} + \left(\frac{4!}{3! \cdot 1!}\right) \cdot \frac{1}{2^4}+ \left(\frac{5!}{3!\cdot2!}\right)\cdot \frac{1}{2^5}
\end{array}\]
ถูกไหมครับพี่ Noonuii

ทำไมผมคิดได้ $\frac{1}{2}$ พอดีเลยครับ

[gnopy]

เพราะว่าAกับ B มีโอกาสที่จะแพ้หรือชนะ แค่ 1/2 คือ จะมีคนชนะอย่างน้อย1คน ใน 2 คน ดังนั้นคำตอบคือ 1/2 อ่าครับ

[M@gpie]

โอ้ ผมนับเกินนี่เอง ทั้งๆที่วาดแผนภาพต้นไม้แล้วแท้ๆ 55 ขออภัยครับ แก้ๆ ตอบ 0.5

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ M@gpie

2. A,B เล่นเกมผลัดกันโยนเหรียญ (อีกแล้ว) โดยที่ถ้าใครได้หัวก่อนถือว่าเป็นผู้ชนะ จงหาความน่าจะเป็นที่ A จะชนะโดยที่ A เริ่มเล่นก่อน

$A$ จะชนะเมื่อ เหรียญขึ้นหัวในตาที่ A โยนเหรียญ และก่อนหน้านั้นเหรียญขึ้นก้อยทั้งหมด
ดังนั้น $P(A$ win$)$ = $\displaystyle{\sum P(TT\cdots TH, \#T = \text{even})=\sum_{n=1}^{\infty} \Big(\frac{1}{2}\Big)^{2n-1}=\frac{2}{3}}$

[nooonuii]

3. เลือกจุดในวงกลมหนึ่งหน่วยอย่างสุ่มมาหนึ่งจุด จงหาความน่าจะเป็นที่จุดนั้นจะอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางของวงกลมเป็นระยะทางมากกว่า $0.5$ หน่วย

[M@gpie]

อันนี้คิดไม่ออกเองครับ ฮ่าฮ่า เลยขออนุญาต ถาม
4. Let $X_1, X_2, X_3, X_4$ be real random variables with Gaussian joint probability. Show that \[ E[X_1X_2X_3X_4] = E[X_1X_2]E[X_3X_4]+E[X_1X_3]E[X_2X_4]+E[X_1X_4]E[X_2X_3]\]
5. Let $X$ be a Gaussian random variable with zero mean and unit variance. Let a new random variable $Y$ be defined as follows: If $X=\zeta$, then
\[ Y = \left\{ \begin{array}{cc} \zeta & \text{with probability} \frac{1}{2} \\ -\zeta & \text{with probability} \frac{1}{2}\end{array}\right.\]
Determine the joint pdf of $X$ and $Y$ and the pdf of $Y$ alone.

[nooonuii]

ข้อ 4 ผมยังไม่ได้อ่านเลยครับ แต่วันก่อนไปค้นในนี้เลยได้สูตรมา

http://en.wikipedia.org/wiki/Multiva...l_distribution

[nooonuii]

ได้ข้อ 4 แล้วครับ แต่ถึกมากๆ

ตอนแรกหา characteristic function ของ $(X_1,X_2,X_3,X_4)$ ได้

$$\phi(t_1,t_2,t_3,t_4)=e^{-i[\frac{1}{2}\sum_{i=1}^4\sigma_{ii}t_i^2+\sum_{i<j}\sigma_{ij}t_it_j]}$$

จากนั้นก็หา $\dfrac{\partial^4\phi}{\partial t_4\partial t_3\partial t_2 \partial t_1}(0,0,0,0)$

จะได้ $E(X_1X_2X_3X_4)$ ครับ

[M@gpie]

ต้องแทนค่า pdf ลงไปแล้วกระจายออกมาจริงๆเหรอครับเนี่ย เหอๆๆ

[Timestopper_STG]

ข้อ3นี่ตอบ0.75หรือเปล่าครับเทียบอัตราส่วนพื้นที่เอาอะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Timestopper_STG

ข้อ3นี่ตอบ0.75หรือเปล่าครับเทียบอัตราส่วนพื้นที่เอาอะครับ

ถูกแล้วครับ

[gools]

6. ในระนาบ $xy$ ยูเรเนียมได้ถูกวางที่ $(0,7)$
เมื่อยูเรเนียมอยู่บน lattice point มันมีความน่าจะเป็น $\frac{2}{8}$ ที่จะไปทางซ้าย, $\frac{2}{8}$ ที่จะไปทางขวา, $\frac{1}{8}$ ที่จะไปข้างบน $\frac{3}{8}$ ที่จะไปข้างล่าง
ถ้ายูเรเนียมอยู่บนเส้นตรง $y=9$ จะทำให้เกิดปฏิกิริยานิวเคลียร์ที่จะทำลายโลกนี้
ถ้ายูเรเนียมอยู่บนเส้นตรง $y=0$ มันจะสลายตัวไป
ความน่าจะเป็นที่โลกจะปลอดภัยเท่ากับเท่าไหร่

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gools

ความน่าจะเป็นที่โลกจะปลอดภัยเท่ากับเท่าไหร่

หมายถึงความน่าจะเป็นที่ยูเรเนียมไปชน $y=0$ หรือเปล่าครับ หรือ รวมส่วนที่ไม่ไปชน $y=9$ ด้วย

คือ งงว่าุถ้ายูเรเนียมไม่ชนทั้ง $y=0$ และ $y=9$ แล้วโลกจะอยู่ในสถานะใด