Probability Theory Marathon

[gools]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

หมายถึงความน่าจะเป็นที่ยูเรเนียมไปชน $y=0$ หรือเปล่าครับ หรือ รวมส่วนที่ไม่ไปชน $y=9$ ด้วย

คือ งงว่าุถ้ายูเรเนียมไม่ชนทั้ง $y=0$ และ $y=9$ แล้วโลกจะอยู่ในสถานะใด

ความน่าจะเป็นที่ยูเรเนียมไปชน $y=0$ ครับ

[gools]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gools

6. ในระนาบ $xy$ ยูเรเนียมได้ถูกวางที่ $(0,7)$
เมื่อยูเรเนียมอยู่บน lattice point มันมีความน่าจะเป็น $\frac{2}{8}$ ที่จะไปทางซ้าย, $\frac{2}{8}$ ที่จะไปทางขวา, $\frac{1}{8}$ ที่จะไปข้างบน $\frac{3}{8}$ ที่จะไปข้างล่าง
ถ้ายูเรเนียมอยู่บนเส้นตรง $y=9$ จะทำให้เกิดปฏิกิริยานิวเคลียร์ที่จะทำลายโลกนี้
ถ้ายูเรเนียมอยู่บนเส้นตรง $y=0$ มันจะสลายตัวไป
ความน่าจะเป็นที่โลกจะปลอดภัยเท่ากับเท่าไหร่

I tried to modify a problem from USAMTS 2009 and I think I overdid it. Here's the original problem if anyone is interested.

A particle is currently at the point $(0,3.5)$ on the plane and is moving towards the origin. When the particle hits a lattice point (a point with integer coordinates), it turns with equal probability $45^{\circ}$ to the left or to the right from its current course. Find the probability that the particle reaches the x-axis before hitting the line $y = 6$.

[Alrozacs]

ผมลองวาดรูปดูแล้ว หาแพทเทิร์นยากจริงๆครับ รบกวนเฉลยแนวคิดจักเป็นพระคุณอย่างสูง

[Thgx0312555]

Hint ครับ
ลองให้ $P(k)$ เป็นความน่าจะเป็นที่เมื่อเริ่มบนเส้นตรง $y=k$ แล้วจะชนเส้น $y=0$ ก่อน $y=9$
จะได้ $P(0)=1, P(9)=0, P(k)=\frac{1}{4}P(k-1)+\frac{3}{4}P(k+1)$ สำหรับ $0<k<9$

hint

จัดรูปใหม่ได้ $3(P(k+1)-P(k))=P(k)-P(k-1)$