Combinatorics Marathon

[owlpenguin]

คิดผิดซ้ำสอง... โทดทีครับ...
อีกกรณีนึงคือ $1ab9$ กับ $1a(b+1)0$ ซึ่งจะได้ว่า a=0,1,2,3,4 และ b=0,1,2,3,4 อีก 25 วิธี
ดังนั้นคำตอบควรจะเป็น 151 คู่ (ถ้าผมคิดไม่ผิดอีกนะครับ)ล

ข้อ 5 นี่แต่ละคนพูดได้มากกว่า 1 ภาษาหรือเปล่าครับ?

[dektep]

ขอโทษครับ
จริงๆ แล้วต้องตอบ 156 คู่ครับ

[RoSe-JoKer]

อ่อมีคู่หลักร้อยเป็น 01234 หลักสิบกับหลักหน่วยเป็น 9 อีก 5 คู่นิเอง -*- สะเพร่าแบบนี้แย่แน่ๆเลยผม 55 ทำยังไงจะเก่งเหมือนน้อง dektep หล่ะครับเนี่ย

[owlpenguin]

คนที่เศร้ากว่าคือผม... ผมคิดผิดมา 3 รอบครับ... คุณ dektep นี่ก็เทพสมชื่อจริงๆนะครับ
แล้วสรุปว่าในข้อ 5 นี่คนๆหนึ่งพูดได้มากกว่า 1 ภาษาหรือเปล่าครับ?

[dektep]

เงียบจริง ๆ ครับ
ขอขุดกระทู้ครับ
6.Find the number of ordered triples of sets $(A,B,C)$ such that
$A\cap B\cap C=\phi ,A\cap B\not=\phi ,A\cap C\not= \phi$
and $A,B,C \subset \left\{\,\right.1,2,3,...,n\left.\,\right\}$

[owlpenguin]

...ก็ยังเงียบจึงขอขุดกระทู้อีกครั้ง...
6.วาดแผนภาพ Venn โดยที่ไม่มีส่วน $A\cap B\cap C$
จาก $A\cap B$ และ $A\cap C$ ไม่เป็นเซตว่างทั้งคู่
ก็เลยเลือกจำนวนไปใส่ในช่อง $A\cap B$ และ $A\cap C$ ได้ $nP2=n(n-1)$ วิธี
ส่วนอีก $n-2$ จำนวนที่เหลือก็ใส่ยังไงก็ได้ ได้จำนวนละ $7$ วิธี
ดังนั้นวิธีทั้งหมดเท่ากับ $n(n-1)7^{n-2}$ วิธี
ผิดอีกแล้ว ขออภับด้วยครับ...

เอาโจทย์ง่ายๆไปสักข้อแล้วกันนะครับ
7.ให้ $S(n)=\sum_{k = 0}^{n}\frac{1}{\binom{n}{k}}$
จงพิสูจน์ว่า $S(n)=\frac{n+1}{2^{n+1}}\sum_{k = 1}^{n+1}\frac{2^k}{k}$

[passer-by]

ผมว่าข้อ 6 ตอบ $ 7^n- 2(6^n)+5^n $ นะครับ

[dektep]

ข้อ 6 ผมก็คิดได้เท่าพี่ passer-by ครับ
แต่ว่าวิธีของคุณ owlpenguin ผิดตรงไหนครับ ?

[Mathophile]

ข้อ 6 ตามวิธีของคุณ owlpenguin จะมีการคิดลำดับก่อนหลังในการใส่สมาชิกในเซต ซึ่งจริงๆ แล้วการเลือกสมาชิกให้แก่เซตจะไม่พิจารณาลำดับก่อนหลัง

ผมคิดว่าน่าจะเป็นอย่างนี้น่ะครับ

[square1zoa]

สังเกตว่า (วาดแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ด้วย) เราสามารถลงเลข1 2 ... n ในช่อง6ช่องและข้างนอกได้ $7^n$วิธี

แต่มีบางวิธีที่ A$\cap$B=$\varnothing$ หรือ A$\cap$C=$\varnothing$ โดย PIE จะได้ว่า วิธีที่ต้องหักเท่ากับ
2*6^n

แต่มีบางวิธีที่ $A\cap$ B=$\varnothing$ และ A$\cap$C=$\varnothing$ โดย PIE จะได้ว่า วิธีที่ต้องเพิ่มมี
2*5^n

$\therefore$ วิธีทั้งหมดเท่ากับ $7^n-2\cdot 6^n+5^n$ วิธี

[HIGG BOZON]

ผมเพิ่งเข้ากระทู้นี้น่ะครับ...พอดีเพิ่งเริ่มสนใจ combinatorics.....ในโจทย์ข้อ 1 ของคุณ Dektep อ่าครับ...
ให้เลือกจำนวน 5 จำนวนแตกต่างกันจากเซต {1,2,...,18} โดยผลต่างของสองจำนวนใดๆที่เลือกมามีค่าอย่างน้อย 2
ตกลงว่าคำตอบมันเท่าไหร่เหรอคับ?????....ที่คุณ RoSe-JoKer มาตอบว่าได้ $\binom{14}{5}$ ตอนแรกคุณ dektep บอกว่าผิด....แต่ก็ไม่มีการแก้ไขใดๆเลยอ่าครับ...แล้วก็โพสต่อว่าถูกต้องแล้ว....ตกลงคำตอบนี้ถูกหรือผิดครับ....ผมลองคิดอีกวิธี...ได้ ไม่เท่ากันน่ะครับ....ชี้แจงให้ผมด้วยนะครับ....ผมเพิ่งเริ่มฝึกโจทย์แนวนี้ครับ
วิธีที่ผมทำคือ......หาจำนวนวิธีทั้งหมดในการเลือกแบบไม่มีเงื่อนไขได้ $\binom{18}{5}$ แล้วลบด้วยจำนวนวิธีในการเลือกจำนวน 5 จำนวนแตกต่างกันจากเซต {1,2,...,18} โดยที่มีจำนวนอย่างน้อย 1 คู่ใน 5 จำนวนมีผลต่างเป็น 1
ก็พิจารณาจำนวนคู่ที่มีผลต่างเป็น 1 ได้แก่ (1,2),(2,3),(3,4),...,(16,17),(17,18) แต่ละคู่ก็จะเลือกจำนวนในเซต {1,2,...,18} มาอีก 3 จำนวน แต่จะคิดเป็น $17\times \binom{16}{3}$ ไม่ได้ เพราะจะมีชุดที่ซ้ำกัน...จึงต้องคิดเป็น คู่ (1,2) เลือกได้ $\binom{16}{3}$ คู่ต่อมา (2,3) เลือกได้ $\binom{15}{3}$ .....ไปเรื่อยๆจะได้จำนวนทั้งหมด $\binom{16}{3} + \binom{15}{3} + \binom{14}{3} + ... + \binom{4}{3} + \binom{3}{3}$ ซึ่งผลบวกจะเท่ากับ $\binom{17}{4}$ (จากเอกลักษณ์ของทฤษฎีทวินาม) ......ดังนั้นผมได้คำตอบคือ $\binom{18}{5} - \binom{17}{4} = 6188$ แต่ถ้าตามคำตอบของคุณ RoSe-JoKer ที่ได้$\binom{14}{5} = 2,002$ ซึ่งผมว่ามันน้อยไปนะครับ ถ้ามองตามหลักความเป็นจริง

[o:B]

อือ เข้าใจแล้ว

[กระบี่ทะลวงด่าน]

ขอเป็นคนปลุกเองเเล้วกันนะครับ
8.is it possible to cover an 11*12 rectangle with 19 rectangles of 1*6 or 1*7

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

If there are $x$ $(1 \times 6)$ rectangles and $y$ $(1 \times 7)$ rectangles, we have $6x + 7y = 132$ and $x+y = 19$, which doesn't give an integer solution. So there is no solution.

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ฟินิกซ์เหินฟ้า

#28 ทำได้ครับ 6x+7y=132มีคำตอบคือ (22,0)

เขาบอกว่ามีสี่เหลี่ยมเล็ก 19 รูปนะครับ