Proof การหารลงตัวคับ

[JamesCoe#18]

โจทย์บอกว่าให้ proof ว่า $4^n-1$

หารด้วย 3 ลงตัว for $n\geqslant 1$

[nooonuii]

$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})$

$4^n-1=4^n-1^n=\cdots$

For induction proof,

$4^{n+1}-1=4(4^n-1)+3$

[JamesCoe#18]

ใช่คับจะได้ออกมาเป็น $(3)4^{n-1}+4^{n-1}-1$

แล้วให้ใช้ induction proof คับ

[ohmohm]

$4 \equiv 1 (mod 3) \rightarrow 4^n \equiv 1^n (mod 3) \rightarrow 4^n -1 \equiv 0 (mod 3)$