หาค่าน้อยสุด

[Supermath]

ให้ $a_1,a_2,...,a_100 $ เป็นจำนวนเต็มไม่ติดลบที่มีผลบวกเท่ากับ 2559 จงหาค่าน้อยสุดของ $\binom{a_1}{2} \binom{a_2}{2}...\binom{a_100}{2} $

[NaPrai]

อันนี้ผมขอเพิ่มเงื่อนไขว่า $a_1, a_2, ..., a_{100}$ มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ $2$ นะครับ เพราะจะได้ทำให้นิยาม $\binom{a_i}{2}$ ไม่วุ่นวายมากนะครับ ทีนี้เราก็จะได้ว่า

ค่าสูงสุดคือ $2785980$ หรือก็คือ $\binom{2361}{2}$ นั่นหละครับ โดยค่าสูงสุดจะเกิดขึ้นเมื่อในกลุ่ม $a_1,a_2,...,a_{100}$ มีตัวใดตัวหนึ่งที่มีค่าเท่ากับ $2361$ และที่เหลือคือ $2$ ครับ อะเรามาพิสูจน์กันดีกว่าว่าค่านี้เป็นค่าสูงสุดจริง ๆ

ก่อนอื่นกำหนดตัวแปรใหม่ ให้ $x_i = a_i-2$ สำหรับ $i=1,2,...,100$ ทีนี้เงื่อนไขก็จะเปลี่ยนไปนิดหน่อย โดย $x_1,x_2,...,x_{100}$ เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ที่ทำให้ $x_1+x_2+...+x_{100}=2359$

พิจารณา
\begin{align*}\binom{a_1}{2}\binom{a_2}{2}...\binom{a_{100}}{2} &= \binom{x_1+2}{2}\binom{x_2+2}{2}...\binom{x_{100}+2}{2} \\&= \frac{1}{2^{100}}[(x_1+1)(x_2+1)...(x_{100}+1)][(x_1+2)(x_2+2)...(x_{100}+2)] \\&\ge \frac{1}{2^{100}}[1+x_1+x_2+...+x_{100}][2^{100}+2^{99}(x_1+x_2+...+x_{100})] \\&= 2785980\end{align*}ก็จะได้ตามต้องการครับ