โจทย์แก้เหงา สมการ

[Scylla_Shadow]

1. ถ้า $(b^2+c^2)^2-(b+c)^2+b(c-2)+c(b+2)+6=0$
จงหา $2009b+2009c+2009$

2. จงหาคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของสมการ $\sqrt{\sqrt{x-53}+\sqrt[3]{x+191}}=8$

[[SIL]]

ไม่ทราบว่าข้อ 2 มีวิธีอะไรพิเศษหรือเปล่าครับ (เห็นใน MCT contest ก็มีแบบนี้) ที่ไม่ต้องแก้โดยตรง

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

ไม่ทราบว่าข้อ 2 มีวิธีอะไรพิเศษหรือเปล่าครับ (เห็นใน MCT contest ก็มีแบบนี้) ที่ไม่ต้องแก้โดยตรง

อาจจะทำแบบที่คุณ banker ทำก็ได้ครับ หรือาจทำเป็นระบบสมการก็ได้เช่นกัน (วิธีระบบสมการ ดังภาพแนบ)

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

....
ให้ $ \ \ \ \ A = \sqrt[3]{(X+3)} $

$A^3 = X+3 $

$A^3 - 4 = X-1$

$\sqrt{A^3 - 4} =\sqrt{(X-1)} $

แทนค่า ใน $\sqrt{x-1} +\sqrt[3]{x+3} = 4 $

จะได้ $\sqrt{A^3 - 4} + A = 4 $

จะได้ $\sqrt{A^3 - 4} = 4 - A $

จะได้ $A^3 - 4 = 16 - 8A + A^2 $

$A^3 -A^2 +8A = 20$

$ A(A^2 -A+8) = 20$


$ A(A^2 -A+8) = (2\times 10), \ \ (-2)\times (-10), \ \ (1\times 20), \ \ (-1)\times (-20), \ \ (4)\times (5), \ \ (-4\times -5)$

.
.
.
.

ซึ่งจะได้ A ที่เป็นจำนวนเต็ม คือ $\pm 1, \ \ \pm 2, \ \ \pm 4, \ \ \pm 5, \ \pm 10, \ \ \pm 20, \ \ 3 $

และ A ที่ไม่เป็นจำนวนเต็มคือ

$\frac{1}{2} (1\pm 3 i \sqrt{3}), \ \ \frac{1}{2} (1\pm i \sqrt{35}), \ \ \frac{1}{2} (1\pm i \sqrt{71}), \ \ \frac{1}{2} (1\pm i \sqrt{23}), \ \ \frac{1}{2} (1\pm i \sqrt{39}), \ \ $

$ \frac{1}{2} (1\pm i \sqrt{111}), \ \ \frac{1}{2} (1\pm i \sqrt{15}), \ \ \frac{1}{2} (1\pm i \sqrt{47}), \ \ \frac{1}{2} (1\pm i \sqrt{11}), \ \ \frac{1}{2} (1\pm i \sqrt{51}), \ \ $

ทุกกรณีข้างต้น เมื่อแทนค่า A ในสมการ $A^3 = X+3 $ แล้ว
$x = 5 $ เท่านั้นที่ทำให้ สมการ $\sqrt{x-1} +\sqrt[3]{x+3} = 4 $ เป็นจริงตามเงื่อนไขที่โจทย์กำหนด (จำนวนเต็ม)


ดังนั้น $X = 5 $