Inequality Marathon

[dektep]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ dektep

โจทย์ Cauchy สวย ๆ ครับ
Let $a,b,c \in \mathbb{R}^+$ and $$\sum_{cyc}\frac{1}{1+a^2+b^2} \geq 1$$
Prove that $ab+bc+ca \leq 3$

hint

$(1+a^2+b^2)(c^2+1+1) \geq (a+b+c)^2$

[RoSe-JoKer]

ผมก็ยังขี้เกียจใช้ $Latex$ อยู่ดีนั้นแหละ

[Anonymous314]

โจทยฺ์อีกข้อครับ Serbian Math Olympiad 2008
$a,b,c \in \Re ^ + $ และ
$a+b+c=1$ แล้ว
$\frac{1}{bc+a+\frac1a}+\frac{1}{ca+b+\frac1b}+\frac{1}{ab+c+\frac1c}\leq \frac{27}{31}.$

[dektep]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Anonymous314

โจทยฺ์อีกข้อครับ Serbian Math Olympiad 2008
$\frac{1}{bc+a+\frac1a}+\frac{1}{ca+b+\frac1b}+\frac{1}{ab+c+\frac1c}\leq \frac{27}{31}.$

ผมว่าจะต้องมี condition อะไรสักอย่างไม่งั้นแทน (1,1,1) ก็ขัดแย้งแล้วครับ

[Anonymous314]

ขอโทษทีครับ แก้ไขให้แล้วครับ

[dektep]

ข้อนี้ยากจริง ๆ ครับขนาดไปดูใน mathlinks ก็ยังไม่มีใครให้ solution แบบเต็ม ๆ เลยครับ

[dektep]

โจทย์ข้อนี้ผมแต่งเล่น ๆ ครับไม่ค่อยยากเท่าไหร่
1.Let $a,b,c \in R^ +$ and $abc = 1$
Prove that
\[
\sum_{cyc}\frac {4}{a^5(b + c)^2} \geq \frac {3\sqrt {3}}{\sqrt {a^2 + b^2 + c^2}}
\]
2.Let $a,b,c \in \mathbb{R}$ Prove that
$$\sum_{cyclic}a\sqrt{9a^2+7b^2} \geq \frac{4}{3}(a+b+c)^2$$

[dektep]

อีกข้อครับ
3.Let $a,b,c >0$ and $ab+bc+ca = abc$
Prove that $$\sum_{cyclic}\frac{1}{\sqrt{ab}-1} \leq \frac{3}{2}$$

[owlpenguin]

ไม่แน่ใจนะครับช่วยเช็คให้ที

Solution 2)

$ab+bc+ca=abc$
$c(a+b)=ab(c-1)$
$a+b=ab(\frac{c-1}{c})$
จาก AM-GM ได้ว่า $a+b\geq\ 2\sqrt{ab}$
$\therefore ab(\frac{c-1}{c})=a+b\geq\ 2\sqrt{ab}$
$\sqrt{ab}\geq\frac{2c}{c-1}$
$\sqrt{ab}-1\geq\frac{2c}{c-1}-1=\frac{c+1}{c-1}$
$\therefore\frac{1}{\sqrt{ab}-1}\leq\frac{c-1}{c+1}=1-\frac{2}{c+1}\leq\frac{3}{2}$
แต่จริงๆแล้ว $1-\frac{2}{c+1}<1$ ก็เลยไม่แน่ใจว่าคุณ dektep ใช้วิธีไหนทำข้อนี้

[dektep]

ขอโทษครับลืมใส่ $\sum$

[Erken]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ dektep

โจทย์ข้อนี้ผมแต่งเล่น ๆ ครับไม่ค่อยยากเท่าไหร่
1.Let $a,b,c \in R^ +$ and $abc = 1$
Prove that
\[
\sum_{cyc}\frac {4}{a^5(b + c)^2} \geq \frac {3\sqrt {3}}{\sqrt {a^2 + b^2 + c^2}}
\]
2.Let $a,b,c \in \mathbb{R}$ Prove that
$$\sum_{cyclic}a\sqrt{9a^2+7b^2} \geq \frac{4}{3}(a+b+c)^2$$

$2.(9+7)(9a^2+7b^2) \geq (9a+7b)^2$

[Soopreecha]

(Darij Grinberg) กำหนดให้ x,y,z > 0
จงพิสูจน์ว่า

$(\sqrt{x(y+z)}+\sqrt{y(z+x)}+\sqrt{z(x+y)})\sqrt{x+y+z}$

$$\geqslant 2\sqrt{(y+z)(z+x)(x+y)}$$

[RoSe-JoKer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Soopreecha

(Darij Grinberg) กำหนดให้ x,y,z > 0
จงพิสูจน์ว่า

$(\sqrt{x(y+z)}+\sqrt{y(z+x)}+\sqrt{z(x+y)})\sqrt{x+y+z}$

$$\geqslant 2\sqrt{(y+z)(z+x)(x+y)}$$

weak สุดจะบรรยายเป็นข้อง่ายของ Darji Grinberg เลยละมั้งเนี่ย
$\leftrightarrow (2\sum_{cyc} xy+2\sum_{cyc} \sqrt{xy(z+x)(z+y)})(x+y+z)\geq 4\sum_{sym} x^2y+8xyz$

$\leftrightarrow (x+y+z)(\sum_{cyc} \sqrt{xy(z+x)(z+y)})\geq \sum_{sym} x^2y +xyz$
เห็นได้ชัดว่า $(\sum_{cyc} \sqrt{xy(z+x)(z+y)})\geq \sum_{cyc} xy $
ดังนั้น $(x+y+z)(\sum_{cyc} \sqrt{xy(z+x)(z+y)})\geq (x+y+z)(xy+yz+xz)=\sum_{sym}x^2y+3xyz\geq \sum_{sym} x^2y +xyz$

[LightLucifer]

บังเอิญเปิดผ่านมาเห็นกระทู้นี้ ดีมากเลยนะครับ
เสียดายที่ร้างมา 2 ปีแล้ว ผมขอต่อด้วยข้อนี้แล้วกันครับ
ผมลองแต่งเองดูยังไม่ค่อยมั่นใจเท่าไหร่ แต่ลองทำกันดูหน่อยนะครับ

ให้ $x,y,z\in \mathbb{R} $ โดยที่ $\sum_{cyc}(x^2+y^2)(y^2+z^2) =12$
จงพิสูจน์ว่า
$$\frac{1}{3x^2+2x+1}+\frac{1}{3y^2+2y+1}+\frac{1}{3z^2+2z+1}+\frac{27}{4(x^2+y^2+z^2)+42} \geq 1$$

[Di[s]-Stepz]

$\sum_{cyc\ } มันคืออะไรหรอคับ $