Inequality Marathon

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ t.B.

ฟังก์ั่ชันที่เขียนแบบ $f(S_k,P_n)$ อะไรพวกนี้นี่มันหมายความว่าอะไรมีเรียนระดับไหนหรอครับ รู้จักแต่ $f(S_k)\times f(P_n)$ อะไรพวกนี้

ถ้ามองแบบไม่เป็นทางการก็มองฟังก์ชันว่าเป็นความสัมพันธ์ชนิดหนึ่ง คราวนี้มันเป็นความสัมพันธ์ที่ขึ้นอยู่กับกี่ตัวแปรหรือปริมาณอะไรก็แล้วแต่ เราก็ใส่เข้าไปครับ

$f(S_k,P_n)$ หมายถึง ฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับปริมาณสองตัวคือ $S_k$ กับ $P_n$
$f(a,b,c)$ หมายถึง ฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับตัวแปรสามตัวคือ $a,b,c$

แต่ถ้าจะมองแบบเป็นทางการก็ต้องมองโดเมนให้ออกครับ

$f(a,b,c)$ หมายถึงฟังก์ชันที่นิยามบนเซต $A\times B\times C$ และอาจจะมี range หรือ codomain เป็นอะไรก็แล้วแต่จะนิยามครับ

เซต $A\times B\times C$ จะถูกมองให้เป็นเซตของสามอันดับ $(a,b,c)$ เวลาเราเขียนการส่งของฟังก์ชันที่ถูกคือ $f((a,b,c))$ แต่ว่าวงเล็บมันเยอะเกินไปก็เลยลดลงมาเป็น $f(a,b,c)$ ซึ่งอ่านง่ายกว่าครับ

[M@gpie]

แก้ไขเพิ่มเติมให้แล้วครับ จะได้ไม่ งง

[t.B.]

ที่คุณ M@gpie ให้พิสูจน์นี่ a,b,c เป็นจำนวนจริงหมดเลยใช่มั้ยครับ

[dektep]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ M@gpie

มาเพิ่มให้ครับหวังว่าไม่ซ้ำ ถูกใจคออสมการ
จงพิสูจน์ว่า
\[ \sum_{\text{cyc}}\left( \frac{a}{a+2b}\right)^2 = \left( \frac{a}{a+2b}\right)^2 +\left( \frac{b}{b+2c}\right)^2 + \left( \frac{c}{c+2a}\right)^2 \geq \frac{1}{3}\]

$$\sum_{cyc}\frac{a^2}{(a+2b)^2}=\sum_{cyc}\frac{a^4}{(a^2+2ab)^2}$$
$$\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^4+b^4+c^4+4(a^3b+b^3c+c^3a)+4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}$$
จะต้องพิสูจน์ว่า $$3(\sum_{cyc}a^4+2\sum_{cyc}a^2b^2) \geq \sum_{cyc}a^4+4\sum_{cyc}a^3b+4\sum_{cyc}a^2b^2$$
$$\Leftrightarrow \sum_{cyc}a^4+\sum_{cyc}a^2b^2 \geq 2 \sum_{cyc}a^3b$$
ซึ่งเป็นจริงโดย AM-GM

[M@gpie]

เป็นจำนวนจริงบวกครับ (แก้ไขแล้ว) เสร็จคุณ dektep ไปอีกจนได้สำหรับข้อนี้

ขออภัยครับพอดีไม่ค่อยสันทัดโจทย์อสมการ เลยหลงๆลืมๆ ไปบ้างแหะๆๆ

ผมขอเฉลยอีกวิธีหนึ่ง

วิธีของผม

$\because a,b,c > 0 $ และโดยอสมการโคชีจะเห็นว่า
\[ \left[\left( \frac{a}{a+2b}\right) + \left( \frac{b}{b+2c}\right) + \left( \frac{c}{c+2a}\right)\right]^2 \leq 3 \left[ \left( \frac{a}{a+2b}\right)^2 + \left( \frac{b}{b+2c}\right)^2 \left( \frac{c}{c+2a}\right)^2 \right] \]
ดังนั้นเราเพียงพอที่จะแสดงว่า
\[ 1 \leq \left( \frac{a}{a+2b}\right) + \left( \frac{b}{b+2c}\right) + \left( \frac{c}{c+2a}\right)\]
สังเกตว่า \[ \left( \frac{a}{a+2b}\right) + \left( \frac{b}{b+2c}\right) + \left( \frac{c}{c+2a}\right) = \left( \frac{a^2}{a^2+2ab}\right) + \left( \frac{b^2}{b^2+2bc}\right) + \left( \frac{c^2}{c^2+2ac}\right)\]
ดังนั้น พิจารณา \[ a+b+c = \sqrt{a^2+2ab} \frac{a}{\sqrt{a^2+2ab}} + \sqrt{b^2+2bc} \frac{b}{\sqrt{b^2+2bc}} + \sqrt{c^2+2ac} \frac{c}{\sqrt{c^2+2ac}} \]
โดยอสมการโคชีอีกครั้งจะได้
\[(a+b+c)^2 \leq (a^2+2ab+b^2+2bc+c^2+2ac) \cdot \left( \frac{a}{a+2b}\right) + \left( \frac{b}{b+2c}\right) + \left( \frac{c}{c+2a}\right) \]
ซึ่งจะได้ผลลัพธ์ตามต้องการ

[t.B.]

วิธีของผมมันมีปํญหาอะครับช่วยดูให้หน่อยว่าผิดตรงไหน
สมมติให้ $a\geq b\geq c>0 $
พิจารณา $a\geq b$
$2a\geq 2b$
$2a+a\geq 2b+a$
$3a\geq a+2b$
$\frac{a}{a+2b} \geq \frac{1}{3} $
$(\frac{a}{a+2b} )^2 \geq \frac{1}{9} $
ในทำนองเดียวกันเมื่อพิจารณา $b\geq c$ จะได้
$(\frac{b}{b+2c} )^2 \geq \frac{1}{9} $
แต่!! เมื่อพิจารณา $a\geq c$ แล้ว
$a\geq c$
$2a\geq 2c$
$2a+c\geq 2c+c$
$(\frac{c}{c+2a} )^2 \leq \frac{1}{9} $ <<ติดตรงบรรทัดนี้อะครับถ้าเป็นมากกว่าจะรวม3อสมการแล้วจะได้เหมือนคุณ M@gpie เลย พอติดแบบนี้เลยงงว่าผิดตรงไหน+ควรทำไงต่อดีครับ

[dektep]

ง่าย ๆ สักข้อครับ
$a,b,c \in R^+.$Prove that
$$4(a+b+c) \geq 3(a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc})$$

[M@gpie]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ t.B.

วิธีของผมมันมีปํญหาอะครับช่วยดูให้หน่อยว่าผิดตรงไหน
สมมติให้ $a\geq b\geq c>0 $
พิจารณา $a\geq b$
$2a\geq 2b$
$2a+a\geq 2b+a$
$3a\geq a+2b$
$\frac{a}{a+2b} \geq \frac{1}{3} $
$(\frac{a}{a+2b} )^2 \geq \frac{1}{9} $
ในทำนองเดียวกันเมื่อพิจารณา $b\geq c$ จะได้
$(\frac{b}{b+2c} )^2 \geq \frac{1}{9} $
แต่!! เมื่อพิจารณา $a\geq c$ แล้ว
$a\geq c$
$2a\geq 2c$
$2a+c\geq 2c+c$
$(\frac{c}{c+2a} )^2 \leq \frac{1}{9} $ <<ติดตรงบรรทัดนี้อะครับถ้าเป็นมากกว่าจะรวม3อสมการแล้วจะได้เหมือนคุณ M@gpie เลย พอติดแบบนี้เลยงงว่าผิดตรงไหน+ควรทำไงต่อดีครับ

วิธีของคุณ t.B. ติดตรงนั้นแหละครับ เพราะฉะนั้นทำแบบนี้ก็ไม่ได้ข้อสรุปอะไร แก้ไขยังไงก็ไม่ได้ เพราะมันเกิดจากการที่เราไปเรียงค่า a,b,c เลยต้องทำวิธีอื่นครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ t.B.

วิธีของผมมันมีปํญหาอะครับช่วยดูให้หน่อยว่าผิดตรงไหน
สมมติให้ $a\geq b\geq c>0 $
พิจารณา $a\geq b$
$2a\geq 2b$
$2a+a\geq 2b+a$
$3a\geq a+2b$
$\frac{a}{a+2b} \geq \frac{1}{3} $
$(\frac{a}{a+2b} )^2 \geq \frac{1}{9} $
ในทำนองเดียวกันเมื่อพิจารณา $b\geq c$ จะได้
$(\frac{b}{b+2c} )^2 \geq \frac{1}{9} $
แต่!! เมื่อพิจารณา $a\geq c$ แล้ว
$a\geq c$
$2a\geq 2c$
$2a+c\geq 2c+c$
$(\frac{c}{c+2a} )^2 \leq \frac{1}{9} $ <<ติดตรงบรรทัดนี้อะครับถ้าเป็นมากกว่าจะรวม3อสมการแล้วจะได้เหมือนคุณ M@gpie เลย พอติดแบบนี้เลยงงว่าผิดตรงไหน+ควรทำไงต่อดีครับ

เลิกคิดไปเลยครับ ถ้ารู้ว่าติดแสดงว่าเริ่มเข้าใจความมันส์ของอสมการแล้วครับ แรกๆมันก็ติดอย่างนี้แหละครับ โจทย์อสมการส่วนใหญ่ถ้าเรียงค่าให้ตัวแปรแล้วมักจะติด (แต่ไม่เสมอไปนะครับ เพราะอสมการบางชนิดก็สามารถแก้โดยการเรียงค่าได้) ถ้าทำอย่างนี้แล้วติดลองศึกษาพวกอสมการสำเร็จรูปเพิ่มเติมครับ แล้วจะรู้ว่าโจทย์อสมการนั้นมันส์ยังไง

ป.ล. โจทย์ของน้อง Magpie ไม่ง่ายนะครับ ต้องทำโจทย์มาแล้วพอสมควรถึงจะมองออกครับ

[M@gpie]

ขอสารภาพว่าคิดอยู่ 4 ชม. ครับ กว่าจะนั่งเทียนอสมการสุดท้ายของกระผมออกมาได้

อสมการมันมีความพิสดารตรงเปลี่ยนไปนิดเดียวแต่อาจจะยากขึ้นหลายเท่าเลยทีเดียว

[RoSe-JoKer]

หลังจากเจอพี่ M@gpie ก็เลยได้ลองมาเข้า Mathcenter หลังจากที่ไม่ได้เข้า Mathcenter มานาน - -* เลยได้มาเจอว่าโจทย์ข้อนั้นมีการนำมาโพสในนี้แล้ว T_T ไหนๆก็ไหนๆมาดู Solution อีกแบบดีกว่า - -*Cre-Seeme-KunG

[M@gpie]

มีโจทย์มาเพิ่มเติมครับ
กำหนดให้ $a,b,c>0$ โดยที่ $abc=1$
\[ \frac{ab}{a^5+b^5+ab} +\frac{bc}{b^5+c^5+bc}+\frac{ca}{c^5+a^5+ca} \leq 1\]

[RoSe-JoKer]

ข้อของคุณ dektep คงต้องหาตัว weight ดีๆละมั้งแต่ผมยังหาไม่เจอเลย

[RoSe-JoKer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ dektep

ง่าย ๆ สักข้อครับ
$a,b,c \in R^+.$Prove that
$$4(a+b+c) \geq 3(a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc})$$

hint by Seemeiast ...

[tatari/nightmare]

เอาโจทย์มาเพิ่มให้ครับ(easy inequality!)
Problem Let $a,b,c$ are distinct real numbers,then prove that
$$\frac{a^2}{(b-c)^2}+\frac{b^2}{(c-a)^2}+\frac{c^2}{(a-b)^2}\geq 2$$

Problem Let $a,b,c>0$,prove that
$$\sum_{cyc} \frac{a^2}{a^+ab+b^2}\geq 1$$