Inequality Marathon

[dektep]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tatari/nightmare

เอาโจทย์มาเพิ่มให้ครับ(easy inequality!)
Problem Let $a,b,c$ are distinct real numbers,then prove that
$$\frac{a^2}{(b-c)^2}+\frac{b^2}{(c-a)^2}+\frac{c^2}{(a-b)^2}\geq 2$$

Problem Let $a,b,c>0$,prove that
$$\sum_{cyc} \frac{a^2}{a^+ab+b^2}\geq 1$$

2 ข้อนี้เป็นโจทย์ในหนังสือของ Vasile ครับสามารถดาวน์โหลดโจทย์บางส่วนได้ที่
http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=100399

[RoSe-JoKer]

โจทย์ข้อสองของคุณ tatari พิมพ์ตกนิดนึงนะครับ...

คุณ dektep นิหยั่งรู้ทุกอย่างจริงๆเลยนะครับ

[tatari/nightmare]

a nice inequality!
Problem Let$a,b,c>0$ such that $abc=1$,prove that
$$\sum_{cyc}\frac{a^3(b+c)}{\sqrt[5]{b}+2\sqrt[5]{c}}\geq 2$$
Problem Let$a,b,c$ be distinct non-negative real number.Prove that
$$(\frac{a+b}{a-b})^6+(\frac{b+c}{b-c})^6+(\frac{c+a}{c-a})^6\geq 2$$
(propose by poon thongsai on date 17/2/51)
Problem Let $a,b,c\geq 0$,then show that
$$\sum_{cyc}\sqrt{(a^2+bc)(b^2+ca)}\geq\sqrt{3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}+\sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})$$
(propose by wichit yangchit on date 25/1/51)

[RoSe-JoKer]

http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=3898 solution ข้อแรกคุณ dektep เคยเอามาเฉลยแล้ว - -*

[RoSe-JoKer]

คิดว่าข้อนี้น่าจะเป็นจำนวนจริง - -* เกิดสมการที่ a=1 b=0 c=-1
เหมือนผมจะทำผิดหรือป่าว???

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RoSe-JoKer

คิดว่าข้อนี้น่าจะเป็นจำนวนจริง - -* เกิดสมการที่ x=1 y=0 z=-1
เหมือนผมจะทำผิดหรือป่าว???

ทำไมข้อความนี้จริงครับ

$(x+1)(y+1)(z+1)=(x-1)(y-1)(z-1)$

[dektep]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ทำไมข้อความนี้จริงครับ

$(x+1)(y+1)(z+1)=(x-1)(y-1)(z-1)$

ผมว่่าน่าจะจริงนะครับ

$$\because (x+1)(y+1)(z+1)=\frac{8abc}{(a-b)(b-c)(c-a)}=(x-1)(y-1)(z-1)$$

[nooonuii]

เข้าใจแล้วครับ ผมเข้าใจความหมายของข้อความนี้ผิดครับ

$$\Big(\frac{a+b}{a-b}\Big)=x\Big(\frac{b+c}{b-c}\Big)=y\Big(\frac{c+a}{c-a}\Big)=z$$

[dektep]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tatari/nightmare

a nice inequality!
Problem Let$a,b,c>0$ such that $abc=1$,prove that
$$\sum_{cyc}\frac{a^3(b+c)}{\sqrt[5]{b}+2\sqrt[5]{c}}\geq 2$$
Problem Let$a,b,c$ be distinct non-negative real number.Prove that
$$(\frac{a+b}{a-b})^6+(\frac{b+c}{b-c})^6+(\frac{c+a}{c-a})^6\geq 2$$
(propose by poon thongsai on date 17/2/51)
Problem Let $a,b,c\geq 0$,then show that
$$\sum_{cyc}\sqrt{(a^2+bc)(b^2+ca)}\geq\sqrt{3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}+\sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})$$
(propose by wichit yangchit on date 25/1/51)

hint

จาก $$Cauchy;LHS \geq \sum_{cyc}\left(\sqrt {a^3b} + \sqrt {a^3c}\right)$$.
ให้ $$a=x^2,b=y^2,c=z^2$$
แล้วพิสูจน์ว่า $$\sum_{cyc}(x^3y + x^3z - x^2yz)\geq\sqrt {3(x^4y^4 + x^4z^4 + y^4z^4)}$$.

[dektep]

Nice Inequality
ให้ $a,b,c \in R^+$ จงพิสูจน์ว่า
$$\sqrt {2a^2 + 5ab + 2b^2} + \sqrt {2a^2 + 5ac + 2c^2} + \sqrt {2b^2 + 5bc + 2c^2}\leq3(a + b + c)$$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ dektep

Nice Inequality
ให้ $a,b,c \in R^+$ จงพิสูจน์ว่า
$$\sqrt {2a^2 + 5ab + 2b^2} + \sqrt {2a^2 + 5ac + 2c^2} + \sqrt {2b^2 + 5bc + 2c^2}\leq3(a + b + c)$$

สวยครับ และไม่ยากมาก

$2a^2+5ab+2b^2=2(a+b)^2+ab$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\leq \dfrac{9}{4}(a+b)^2$

[dektep]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

สวยครับ และไม่ยากมาก

$2a^2+5ab+2b^2=2(a+b)^2+ab$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\leq \dfrac{9}{4}(a+b)^2$

เป็น solution ที่สวยมากครับ
วิธีของผมก็คล้าย ๆ กันครับแต่ว่าใช้ AM-GM ; $$2a^2+5ab+2b^2=(2a+b)(a+2b) \leq (\frac{2a+b+2b+a}{2})^2 = \frac{9}{4}(a+b)^2$$

[dektep]

โจทย์ Cauchy สวย ๆ ครับ
Let $a,b,c \in \mathbb{R}^+$ and $$\sum_{cyc}\frac{1}{1+a^2+b^2} \geq 1$$
Prove that $ab+bc+ca \leq 3$

[Ipod]

เลือก ฟังก์ชัน $$f\left(x\right)=\frac{1}{1+s-x}$$ เมื่อ s เป็นผลรวมของกำลังสองของทุกพจน์(ฟิกซ์ไว้)
จบ

[dektep]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ipod

เลือก ฟังก์ชัน $$f\left(x\right)=\frac{1}{1+s-x}$$ เมื่อ s เป็นผลรวมของกำลังสองของทุกพจน์(ฟิกซ์ไว้)
จบ

จบยังไงครับ ??