ข้อสอบ TUGMOs 2010 ครับ

[MR.Quest]

ตอนที่ 1 ปรนัยข้อละ 2 คะแนน
1.จงหาผลบวกกำลัง 3 ของรากที่เป็นจำนวนจริงทั้งหมดของสมการ $x^3-x^2-5x-28=0$
ก.27 ข.100 ค.125 ง.-100 จ.ไม่มีข้อถูกต้อง
2.จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้

1) $(\sqrt{5}+1)^2553+(\sqrt{5}-1)^2553$ เป็นจำนวนอตรรกยะ

2) รากของสมการ $\sqrt[3]{6}x^2+4\sqrt[3]{48}x+4\sqrt[3]{162}$ เป็นจำนวนอตรรกยะ

3) $\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{5}+\sqrt{3\sqrt[3]{25}+3\sqrt[3]{5}-9}$ เป็นจำนวนอตรรกยะ

4) $3.141592653589793$ เป็นจำนวนอตรรกยะ

จากข้างต้นมีข้อถูกกี่ข้อ
ก.0 ข้อ ข.1 ข้อ ค.2 ข้อ ง.3 ข้อ จ.4 ข้อ
3.
ก. ข. ค. ง. จ.
4.รูป $\bigtriangleup ABC$ มีมุมฉากที่ C และด้นประกอบมุมฉากCA,CB ยาว $\sqrt{27},\sqrt{32}$ ตามลำดับ ให้ X,Y เป็นจุดบนด้าน CA,CB โดยที่่ AY=BX และพื้นที่ $\bigtriangleup CXY$ เป็น $\sqrt{6}$ จงหาค่าของ $AY^2$
ก.35 ข.$\sqrt{35}$ ค.25 ง.5 จ.ไม่มีข้อถูก
5.
ก. ข. ค. ง. จ.
6.จงหาวิธีในการเลือกจำนวนที่ต่างกันสี่จำนวน a,b,c,d โดยไม่คำนึงถึงลำดับ จาก 1,2,3,4,5,6 ซึ่งทำให้ abcd+1 มี 13 เป็นตัวประกอบ
ก.0 วิธี ข.1 วิธี ค.2 วิธี ง.3 วิธี จ.4 วิธี
7.ถ้า $a_{r+1}=\frac{a_{r}}{a_{r+1}}$ และ $a_{0}=3$ จงหา $\frac{1}{a^{2}_{1}}+\frac{1}{a^{2}_{2}}+\frac{1}{a^{2}_{3}}+...+\frac{1}{a^{2}_{72}}$
ก.2552 ข.2652 ค.5184 ง.128780 จ.No correct
8.จงหาจำนวนเต็มบวก n ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ 2010^{2010}<n^{n^{n}}
ก.4 ข.5 ค.6 ง.7 จ.8
9.การแข่งขันเกิดข้อสอบรั่วจึงสอบสวนผู้ออกข้อสอบ 5 คนดังนี้
A : C & D โกหก
B : A & E โกหก
C : B & D โกหก
D : C & E โกหก
E : A & B โกหก
ไม่ว่าอย่างไรใครก็ตามอาจพูดจริงหรือโกหกก็ได้ บุคคลใดที่โกหกอย่างแน่นอน
ก.A ข.B ค.C ง.D จ.E
10.
ก. ข. ค. ง. จ.

ใครว่างช่วยทำต่อที่ครับง่วงแล้วครับ
ผิดอย่างไรก็ขอโทษนะครับ

[★★★☆☆]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ MR.Quest

ตอนที่ 1 ปรนัยข้อละ 2 คะแนน
1.จงหาผลบวกกำลัง 3 ของรากที่เป็นจำนวนจริงทั้งหมดของสมการ $x^3-x^2-5x-28=0$
ก.27 ข.100 ค.125 ง.-100 จ.ไม่มีข้อถูกต้อง

ตอบ ข.

ให้ $y=x^3$

$x^3-28 = x^2+5x$

$(x^3-28)^3=(x^2+5x)^3$

$x^9 - 3(28)x^6 + 3(28)^2x^3 - 28^3 = x^6 + 125x^3 + 3(x^2)(5x)(x^2+5x)$

$y^3 - 3(28)y^2 + 3(28)^2y - 28^3 = y^2 + 125y +15y(y-28)$

จะได้สัมประสิทธิ์ของ $y^2$ คือ -3(28) - 1 - 15 = -100

ดังนั้นผลบวกที่ต้องการคือ -(-100) = 100

[JKung]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ★★★☆☆

ตอบ ข.

ให้ $y=x^3$

$x^3-28 = x^2+5x$

$(x^3-28)^3=(x^2+5x)^3$

$x^9 - 3(28)x^6 + 3(28)^2x^3 - 28^3 = x^6 + 125x^3 + 3(x^2)(5x)(x^2+5x)$

$y^3 - 3(28)y^2 + 3(28)^2y - 28^3 = y^2 + 125y +15y(y-28)$

จะได้สัมประสิทธิ์ของ $y^2$ คือ -3(28) - 1 - 15 = -100

ดังนั้นผลบวกที่ต้องการคือ -(-100) = 100

100 คือรวมจน.จินตภาพ แต่โจทย์ต้องการแค่จำนวนจริง ข้อนี้เลยไม่มีคำตอบถูกค่ะ

[★★★☆☆]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JKung

100 คือรวมจน.จินตภาพ แต่โจทย์ต้องการแค่จำนวนจริง ข้อนี้เลยไม่มีคำตอบถูกค่ะ

ขอบคุณที่บอกครับ ผมโดนหลอกเต็ม ๆ x ที่เป็นจำนวนจริงมีเพียงค่าเดียวคือ x = 4

[JKung]

ตอนที่ 2 อัตนัย ข้อละ 3คะแนน

1.จงหาจำนวนตัวหารที่ไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ทั้งหมดของ $2^{2010}\bullet 3^{2010}\bullet 5^{2010}$

2.ทรงกรวยอันหนึ่ง มีความยาวสูงเอียงเท่ากับ 17 หน่วย และรัศมีที่ฐานยาว 8 หน่วย จงหารัศมีของทรงกลมที่ใหญ่ที่ที่สามารถอยู่ในบริเวณส่วนบนที่ถูกปิดระหว่างกรวยกับทรงกลมที่ใหญ่ที่สุดที่สามารถอยู่ในกรวยได้ (ตอบเป็นทศนิยม 3 ตำแหน่ง)

3.สี่เหลี่ยมคางหมูรูปหนึ่ง มีความยาวด้านคู่ขนานกันเป็น(x,y) โดยที่ x<y และความยาวของสองด้านที่เหลือ เป็น 15 หน่วยและ 17 หน่วย ให้ x+y=12 จงหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูที่มากที่สุดที่เป็นไปได้ พร้อมกับหาค่า (x,y) ทั้งหมดที่ทำให้พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูใหญ่ที่สุด

4.จงหาความน่าจะเป็นในการวาง Rook กับ Bishop อย่างละ 1ตัว บนตารางขนาด 8x8 โดยที่ตัวหมากทั้งสองไม่ขู่กินกันได้ (Rookเดินได้เฉพาะแนวตั้งและแนวนอน ส่วน Bishop เดินได้เฉพาะแนวทแยง)

5.ชายคนหนึ่งตัดเชือกเส้นหนึ่งออกเป็น 3 เส้นอย่างสุ่ม จงหาโอกาสที่ความยาวของเชือก 3 เส้นสามารถเป็นความยาวด้านของสามเหลี่ยมได้

6.สี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD กำหนดให้บนด้าน ABและCD มีจุดที่แตกต่างกันอยู่ a จุด ด้าน BCและDA มีจุดที่แตกต่างกันอยู่ b จุด ลากเส้นเชื่อมจุดที่กำหนดให้ระหว่างด้าน ABกับCD และ BCกับDA โดยที่จุดหนึ่งจุดสามารถลากได้หนึ่งเส้นเท่านั้น จะเกิดจุดตัดได้อย่างมากที่สุดกี่จุด

7.พิจารณาวงกลม 2 วงตัดกัน(วงกลม P และ Q ตัดกันที่ AและB) ลากเส้นสัมผัสวงกลม P ผ่านจุด A ตัด PQ ที่ X และลากเส้นสัมผัสวงกลม Q ผ่านจุด A ตัด PQ ที่ Y ให้มุมXAY=120 ต่อ XA ไปถึง Z สร้างเส้นแบ่งครึ่งมุม YAZ ตัดเส้นตรง PQ ที่ M กำหนดให้ AM=12 และรัศมีวงกลมP=4 หารัศมีของวงกลม Q

8.จงหาเศษที่เหลือจากการหาร $1\bullet1!+2\bullet2!+3\bullet3!+...+2553\bullet2553! ด้วย 2553$

9.จงหาจำนวนสีที่มากที่สุด ที่สามารถระบายทุกช่องในตาราง 4x4 ช่องละสี (แต่หนึ่งสีอาจใช้หลายช่องได้) โดยที่ตารางย่อย 2x2 ในตางรางใหญ่ใดใด จะมีสีไม่เกิน 3สี

[MR.Quest]

แย่จัง ผมก็ตอบข้อ ข. ครับ :P

[JKung]

พึ่งมารู้ตอนออกจากห้องสอบว่าเค้าไม่เอาจินตภาพเหมือนกัน T T

ปีนี้เข้าสอบเลทไป 1 ชม. T T

[MR.Quest]

ผมก็เลท 1 ชม.ครับ ลืมเอาแว่นไปด้วยกว่าจะแก้โจทย์เสร็จเกือบครึ่งชม.

[tongkub]

รบกวนขอวิธีคิดข้อ 9 ด้วยครับ ผมคิดได้ข้อ C นีุ่ถูกไหมครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ MR.Quest

ตอนที่ 1 ปรนัยข้อละ 2 คะแนน
1.จงหาผลบวกกำลัง 3 ของรากที่เป็นจำนวนจริงทั้งหมดของสมการ $x^3-x^2-5x-28=0$
ก.27 ข.100 ค.125 ง.-100 จ.ไม่มีข้อถูกต้อง

$x^3-x^2-5x-28=0$

$(x-4) (x^2+3 x+7) = 0$

$x = 4, \frac{1}{2} (-3+i \sqrt{19}),\frac{1}{2} (-3-i \sqrt{19})$

ผลบวกกำลัง 3 ของรากที่เป็นจำนวนจริง = $4^3 = 64$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ MR.Quest

ตอนที่ 1 ปรนัยข้อละ 2 คะแนน

4.รูป $\bigtriangleup ABC$ มีมุมฉากที่ C และด้นประกอบมุมฉากCA,CB ยาว $\sqrt{27},\sqrt{32}$ ตามลำดับ ให้ X,Y เป็นจุดบนด้าน CA,CB โดยที่่ AY=BX และพื้นที่ $\bigtriangleup CXY$ เป็น $\sqrt{6}$ จงหาค่าของ $AY^2$
ก.35 ข.$\sqrt{35}$ ค.25 ง.5 จ.ไม่มีข้อถูก

$mn = 2\sqrt{6} $

$m^2n^2 = 24 $

$n^2 = \frac{24}{m^2}$ ...(*)



$n^2 + 32 = m^2 + 27 \ \ \ $ = $ (= BX^2 = AY^2)$

$m^2 - n^2 = 5$ ......(2)

$ m^2 - \frac{24}{m^2} = 5$

$m^4 -24 - 5m^2 = 0$

$(m^2-8)(m^2+3) = 0$

$m^2 = 8$

$AY^2 = AC^2 + CY^2 $

$AY^2 = 27+8 = 35$

$AY = \sqrt{35} $

ตอบ ข้อ ข.

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JKung

ตอนที่ 2 อัตนัย ข้อละ 3คะแนน


5.ชายคนหนึ่งตัดเชือกเส้นหนึ่งออกเป็น 3 เส้นอย่างสุ่ม จงหาโอกาสที่ความยาวของเชือก 3 เส้นสามารถเป็นความยาวด้านของสามเหลี่ยมได้

ข้อนี้แบบมัธยมทำยังไง ไม่รู้

แต่ถ้าแบบประถม ก็สมมุติเอาเลยครับ

เชือกยาว 6 หน่วย

ตัดเป็นสามเส้น โอกาสที่จะตัดได้เป็น (จำนวนเต็ม)

1+1+4

1+2+3

2+2+2

ที่จะเป็นสามเหลี่ยมได้ ก็คือ 2+2+2

ดังนั้น โอกาสที่ความยาวของเชือก 3 เส้นสามารถเป็นความยาวด้านของสามเหลี่ยมได้เท่ากับ $\frac{1}{3}$

เอาอย่างนี้แหละ ไม่รู้ถูกหรือเปล่า

[Scylla_Shadow]

comment - รู้สึกว่าปีนี้ข้อสอบรอบแรกจะ(ตรวจ)ง่ายกว่าปีที่แล้วนะครับ
- รอบสองยิ่ง(ตรวจ)ง่ายไปใหญ่เลยครับ
- รอบสองคนวิ่งส่งข้อสอบมันส์โคตร

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JKung

ตอนที่ 2 อัตนัย ข้อละ 3คะแนน


3.สี่เหลี่ยมคางหมูรูปหนึ่ง มีความยาวด้านคู่ขนานกันเป็น(x,y) โดยที่ x<y และความยาวของสองด้านที่เหลือ เป็น 15 หน่วยและ 17 หน่วย ให้ x+y=12 จงหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูที่มากที่สุดที่เป็นไปได้ พร้อมกับหาค่า (x,y) ทั้งหมดที่ทำให้พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูใหญ่ที่สุด

พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู = $\frac{1}{2} $ x (ผลบวกด้านคู่ขนาน) x สูง

พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู = $\frac{1}{2} $ x (x + y) x สูง

นั่นคือ พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู $\propto $ สูง

ความสูง $\leqslant 15 \ \ $ ดังรูปขวา

ดังนั้นพื้นที่มากที่สุด = $\frac{1}{2} \times 12 \times 15 = 90 \ $ตารางหน่วย

$17^2 -15^2 = 64 = 8^2 \ \ $ ดังนั้น $x = 2 \ \ \ y = 10$

(x, y) = {2, 10}

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ MR.Quest

ตอนที่ 1 ปรนัยข้อละ 2 คะแนน


8.จงหาจำนวนเต็มบวก n ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $2010^{2010}<n^{n^{n}}$
ก.4 ข.5 ค.6 ง.7 จ.8

$ \because \ \ 2010^{2010} = (2\times 3\times5\times67)^{2010} = 2^{2010} \times 3^{2010} \times 5^{2010} \times 67^{2010} $

เมื่อมี choices มาให้ ก็ใช้ให้เป็นประโยชน์

$ \because 4^4 = 256 ---> 4^{4^4}= 4^{256} = 2^{256} \times2^{256} $ ซึ่ง < $2^{2010} \times 3^{2010} \times 5^{2010} \times 67^{2010} $ หรือ $2010^{2010}$

$ \because 5^5 = 3125 ---> 5^{5^5} = 5^ {3125} = 5^ {2010} \times 5^{1115} $ ซึ่งก็ยังน้อยกว่า $2010^{2010}$

$\because \ \ 6^6 = 44656 --> 6^{6^6} = 6^{44656} = 2^{44656} \times 3^{4456} = 2^{2010} \times 3^{2010} \times 2^{44646} \times 3^{44646} $

$= 2^{2010} \times 3^{2010} \times 6^{2010} \times 6^{42636}$

$ = 2^{2010} \times 3^{2010} \times 6^{2010} \times (6^3)^{14212}$

$ = 2^{2010} \times 3^{2010} \times 6^{2010} \times (216)^{14212}$ ซึ่งมากกว่า $2010^{2010}$

ดังนั้น $5^{5^5} < 2010^{2010} < 6^{6^6}$

ตอบ จำนวนเต็มบวก n ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $2010^{2010}<n^{n^{n}}$ คือ $6$