|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
ช่วยอธิบายสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธุ์หน่อยครับ
1. สมการข้อใดเป็นสมการเอกพันธ์
1.1 $(x^2+3xy)y^'+(4xy-y^2)=0$ ช่วยตรวจหน่อยครับว่าทำถูกไหม : $(x^2+3xy)dy+(4xy-y^2)dx=0$ $t^2(x^2+3xy),t^2(4xy-y^2)$ $t^2$ เท่ากัน ตอบว่าเป็นสมการเอกพันธ์ 1.2 $yy^'=(x^2y^2-3xy)$ $ydy-(x^2y^2-3xy)dx=0$ $ty , t^2(x^2y^2-3xy)$ $t กับ t^2$ ไม่เท่ากัน ตอบว่าไม่เป็นสมการเอกพันธ์ แล้วมีวิธีตรวจแบบไม่ต้องแทนค่า t ไหมครับ 2. หาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ของ $(x^2y)dx=(x^3-y^3)dy$ เมื่อ $x=1,y=1$ 3. หาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ของ $y^"-y^'-12=0$ เมื่อ $y(0)=3,y^'(0)=5$ ช่วยอธิบายวิธีทำหน่อยครับ |
#2
|
|||
|
|||
วิธีมองคร่าวๆว่าเป็นสมการเอกพันธ์หรือไม่ให้มองที่กำลังรวมของแต่ละเทอมครับ
เช่น 1.1 $x^2,3xy,4xy,-y^2$ จะมีกำลังรวมเป็น $2$ หมด เพราะฉะนั้นเป็นสมการเอกพันธ์ 1.2 $y$ กำลังรวมเป็น $1$ $x^2y^2$ กำลังรวมเป็น $4$ $-3xy$ กำลังรวมเป็น $2$ เพราะฉะนั้นไม่เป็นสมการเอกพันธ์
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#3
|
|||
|
|||
ให้ $y=ux$ แล้วเปลี่ยนทุกอย่างให้อยู่ในรูป $x,u$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#4
|
|||
|
|||
ให้ $y=ux$ จะได้ $dy=udx$ โดยที่ u เป็นค่าคงที่ใช่ไหมครับ
จะได้ว่า $ux^3dx = u(1-u^3)x^3dx$ แล้วแทนค่า $x=1,u=1$ ถูกไหมครับ 14 กันยายน 2010 15:09 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ monster99 |
#5
|
|||
|
|||
จะต้องได้ว่า $dy=udx+xdu$ ครับ เพราะมอง $u$ เป็นฟังก์ชันของ $x$
จริงๆแล้วมันก็คือการเปลี่ยนตัวแปร $u=\dfrac{y}{x}$ นั่นเองครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#6
|
|||
|
|||
จาก $(x^2y)dx=(x^3-y^3)dy$ และ $y=ux $ และ $dy = udx=xdu$
จะได้ว่า $dx=(\frac{x^3}{x^2y} -\frac{y^3}{x^2y})dy$ $dx=(\frac{x}{y} -\frac{y^2}{x^2})dy$ แล้วทำไงต่อครับช่วยหน่อยครับ |
#7
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
$dy=udx+xdu$ กำจัด $y$ ทิ้ง $x^2(ux)dx=(x^3-u^3x^3)(udx+xdu)$ $ux^3dx=x^3(1-u^3)(udx+xdu)$ $udx=(1-u^3)(udx+xdu)$ $udx=(u-u^4)dx+x(1-u^3)du$ $u^4dx=x(1-u^3)du$ $x^{-1}dx=(u^{-4}-u^{-1})du$ ที่เหลือก็อินทิเกรตทั้งสองข้างได้แล้วล่ะครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#8
|
|||
|
|||
$\int x^{-1}\,dx = \int (u^{-4}-u^{-1})\,du $
$ln\left|\,x\right| +c = \frac{u^{-3}}{-3}-ln\left|\,u\right|$ จากนั้นแทนค่า $x=1, u=1$ จะได้ $c = -\frac{1}{3} $ แล้วทำยังไงต่อครับ |
#9
|
|||
|
|||
แทนค่า $u=\dfrac{y}{x}$ แล้วก็จัดรูปครับ
ผมจัดได้แบบนี้ $x^3=y^3(1-3\ln{|y|})$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#10
|
|||
|
|||
พอจะเข้าใจแล้วครับ ผมก็จัดรูปได้อย่างคุณ nooonuii ครับ ผมขอรบกวนต่อเลยครับ (คงจะไม่รำคาญผมซะก่อนนะครับ) แล้วข้อ 3 ที่มี $y^"$ ใช้วิธีเดิมหรือเปล่าครับ
|
#11
|
|||
|
|||
ข้อ $3$ อินทิเกรตเลยครับ จะได้
$y'-y-12x=c$ แทนค่า $x=0$ จะได้ $c=2$ ดังนั้น $y'+y=12x+2$ คราวนี้ก็ใช้สูตรสมการเชิงเส้นได้ครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 16 กันยายน 2010 00:22 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii |
#12
|
|||
|
|||
กลับมาขอรบกวนอีกครั้งแล้วครับ (หลังจากหายไปหลายวัน) ผมงงว่าสูตรสมการเชิงเส้น ก็คือ วิธีเดิมหรือเปล่าครับ (แทน $y=ux$) ซึ่งทำแล้วก็งงอยู่ครับ
17 กันยายน 2010 23:54 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ monster99 |
#13
|
|||
|
|||
คิดว่าไม่ใช่ครับ แต่มันใช้เทคนิคอย่างหนึ่งเหมือนกับสมการเอกพันธ์คือการหา integrating factor ครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
|
|