|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
ช่วยพิสูจน์หน่อยครับ
ช่วยพิสูจน์หน่อยครับhttp://mathhelpforum.com/calculus/19...s-problem.html
23 กันยายน 2012 16:08 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ ReborN402 |
#2
|
|||
|
|||
ตัวหนังสือเล็กมากจนอ่านไม่ออก เอาตัวโจทย์มาลงที่นี่ได้มั้ยครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#3
|
|||
|
|||
ผมืำไม่เปนอ่าครับ TAT ประมานว่า
f=$\frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}$. เมื่อ $(x,y)ไม่เท่ากับ(0,0)$ =0 เมื่อ $(x,y)=(0,0) จงพิสุจน์ว่า $f_xy$ ไม่เท่ากับ$ f_yx$ ผมทำไม่เปน หมายถึง second order partial derivativeอ่าครับ 23 กันยายน 2012 20:11 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 4 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ ReborN402 |
#4
|
|||
|
|||
$\frac{\partial^2{f}}{\partial x\partial y}$ ไม่เท่ากับ $\frac{\partial^2{f}}{\partial y\partial x}$
ผมพยายามแล้วครับทำไม่ได้ TTATT 23 กันยายน 2012 20:30 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 6 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii |
#5
|
|||
|
|||
ถ้า $(x,y)\neq (0,0)$ จะได้
$f_x=\dfrac{(x^2+y^2)(3x^2y-y^3)-xy(x^2-y^2)(2x)}{(x^2+y^2)^2}$ $f_y=\dfrac{(x^2+y^2)(x^3-3xy^2)-xy(x^2-y^2)(2y)}{(x^2+y^2)^2}$ ต่อไปหา $f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}$ $=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(h,0)}{h}$ $=0$ $f_y(0,0)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(0,0+h)-f(0,0)}{h}$ $=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(0,h)}{h}$ $=0$ ดังนั้น $f_{xy}(0,0)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f_x(0,0+h)-f_x(0,0)}{h}$ $=\lim_{h\to 0}\dfrac{f_x(0,h)}{h}$ $=\lim_{h\to 0}\dfrac{-h^5/h^4}{h}$ $=-1$ $f_{yx}(0,0)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f_y(0+h,0)-f_y(0,0)}{h}$ $=\lim_{h\to 0}\dfrac{f_y(h,0)}{h}$ $=\lim_{h\to 0}\dfrac{h^5/h^4}{h}$ $=1$ ซึ่งจะเห็นว่าไม่เท่ากัน
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#6
|
|||
|
|||
ขอบคุณมากครับ ผมสงสัยอีกนิดอะครับว่าทำไมไม่เท่ากัน เหมือนอาจารย์ในห้องจะบอกว่ามันเท่ากัน หรือเปล่า ยังไงก็ขอบคุณมากครับ
|
#7
|
|||
|
|||
มันจะเท่ากันที่จุดอื่น ยกเว้นที่ $(0,0)$ ครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#8
|
|||
|
|||
อ๋อออ ขอบคุณมากๆครับ
|
#9
|
||||
|
||||
Partial Derivative สลับกันได้ถ้า Partial Derivative มัน continuous น่ะครับ
ข้อนี้เลยเป็นตัวอย่างค้านให้ดู จัดรูป $ \frac{xy(x^2-y^2)}{x^2 + y^2} = xy - \frac{2 x y^3}{x^2 + y^2}$ เทอมหลังคือส่วนแย่ของฟังก์ชันนี้ y มีดีกรี 1 แต่ x มีดีกรี -1 เลยเริ่มไม่สมมาตร แต่ตัว $f , f_x , f_y $ ยัง continuous ที่ (0,0) อยู่เพราะดีกรีของเศษมันยังเกินตัวส่วนอยู่ แต่พอดู second order derivative มันจะมีเทอมที่ดีกรีเศษกับส่วนเท่ากัน ทำให้ $f_{xy} , f_{yx}$ ไม่ continuous ที่ (0,0) f อาจจะดูยากหน่อย แต่ตัวอย่างที่คล้ายๆกันก็ $\frac{ x y}{x^2 + y^2}$ ซี่งไม่ continous ที่ (0,0) 24 กันยายน 2012 02:57 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Anarist |
|
|