การเดินในตาราง

[math lover]

เดินจากล่างสุดไปบนสุด
ไปทางทิศN S ตวอ.
โดยไม่ซ้ำเส้นทางเดิมได้กี่วิธี

[banker]

ถ้าต้องลงใต้ด้วย ไม่กล้าไป

กลัวครับ

[math lover]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

ถ้าต้องลงใต้ด้วย ไม่กล้าไป

กลัวครับ

ช่วยคิดให้หน่อยครับ

[banker]

ถ้าลงใต้ด้วย ไปไม่ถูกครับ

แต่ถ้าแค่ เหนือกับ ตะวันออก พอได้

[math lover]

ถ้าแค่ เหนือกับ ตะวันออก ได้ 12870 วิธี ใช่ไหมครับ

[ปากกาเซียน]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ math lover

ถ้าแค่ เหนือกับ ตะวันออก ได้ 12870 วิธี ใช่ไหมครับ

ใช่ครับมาจาก$\binom{16!}{8!8!}$

[math lover]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ math lover

เดินจากล่างสุดไปบนสุด
ไปทางทิศN S ตวอ.
โดยไม่ซ้ำเส้นทางเดิมได้กี่วิธี

[gon]

ก่อนจะตอบคำถามข้างบน ลองศึกษาจากรูปนี้ดูนะครับ จากรูปที่ 1, 2, 3 วิธีการเดินตามเส้นสีน้ำเงิน ซึ่งยอมให้เดินในทิศเหนือ ใต้ และตะวันออกเท่านั้น

รูปที่ 1 แทนได้ด้วย (3, 3, 4, 4)
รูปที่ 2 แทนได้ด้วย (1, 4, 2, 3)
รูปที่ 3 แทนได้ด้วย (3, 1, 4, 2)

แล้วถ้าลองเขียนสี่อันดับ $(a, b, c, d)$ โดยที่ $1 \le a, b, c, d \le 4$ มั่ว ๆ เช่น (1,1,1,1) หรือ (1,2,3,4) จะแทนได้ด้วยการเดินแบบใด? นั่นก็คือจะมีวิธีการเดินจากจุดมุมซ้ายล่างไปบนขวาสุด ได้กี่วิธี?

ถ้าคิดไม่ออก

จะเห็นว่า วิธีการเดินทางแต่ละแบบจะเขียนแทนได้ด้วย การเขียนสี่อันดับ $(a, b, c, d)$ แต่ละแบบซึ่งแตกต่างกันเสมอ ในทางคณิตศาสตร์เรากล่าวว่าจะมีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง จากเส้นทางไปยังสี่อันดับ $(a, b, c, d)$ ซึ่งแทนที่เราจะนับ วิธีการเดินแต่ละแบบโดยตรง เราก็นับสี่อันดับ $(a, b, c, d)$ แทน และโดยกฎการคูณ จะมีสี่อันดับ $(a, b, c, d)$ ในที่นี้ได้ทั้งหมด $4 \times 4\times 4\times 4 = 4^4$ วิธี

ถ้าเข้าใจแล้วก็ลองขยายแนวคิด ไปยังรูปขนาด $m\times n$ ใด ๆ ดูครับ จะได้ว่าคำตอบคือ ...

[artty60]

ขอบคุณครับท่านgon ได้ความรู้เพิ่มอีกแล้ว

ถ้าตามเงื่อนไขนี้ตาราง $m\times n$ ก็คงเป็น $m^n$

ขออีกนิดนะครับ ถ้าเดินได้อิสระไปทางตะวันตก(หรือทางซ้าย)ได้ด้วยล่ะครับจะคิดอย่างไรดีครับ

[math lover]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ artty60

ขอบคุณครับท่านgon ได้ความรู้เพิ่มอีกแล้ว

ถ้าตามเงื่อนไขนี้ตาราง $m\times n$ ก็คงเป็น $m^n$

ขออีกนิดนะครับ ถ้าเดินได้อิสระไปทางตะวันตก(หรือทางซ้าย)ได้ด้วยล่ะครับจะคิดอย่างไรดีครับ

อยากรู้ด้วยครับ

[artty60]

อ้อ ใช่ครับ ดูผิดไป ขอบคุณครับ

[polsk133]

วิธีสวยมากครับ

[math lover]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ math lover

อยากรู้ด้วยครับ

[math lover]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ แฟร์

ตารางที่คุณ gon ยกตัวอย่าง
เป็นตาราง 3X4 (3 แถว 4 หลัก ในเรื่องเมทริกซ์)
เดินไปในทิศ เหนือ , ตะวันออก , ใต้ โดยห้ามเดินซ้ำเส้นทางเดิม
เดินได้ 4^4 วิธี = (3+1)^4 วิธี

ดังนั้น ตาราง m×n
เดินได้ (m+1)^n วิธี

แสดงว่าได้43046721 วิธีใช่ไหมครับ

[polsk133]

หลังจากคุณ gon โพสวิธีทำ เมื่อครูหลายๆคนได้มาเห็น อีกไม่นานข้อสอบแนวนี้อาจแพร่หลายในไทย