เรขาคณิตของอัตราส่วนผสม

[tngngoapm]

กำหนดรูปnเหลี่ยม$A_1A_2...A_n$มีมุม$A_1,A_2,...,A_n$เป็นจุดยอดและมีพิกัด $(x_1,y_1),(x_2,y_2),...(x_n,y_n)$ตามลำดับ
และรูปnเหลี่ยมรูปนั้นสามารถมีวงกลมแนบในได้
...จะสามารถหาพิกัด$(x_i,y_i)$ซึ่งเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมแนบในnเหลี่ยมนี้ได้คือ
การหาค่าเฉลี่ยแบบมีน้ำหนักของจุดโดยให้น้ำหนักดังนี้...
$จุดA_1มีน้ำหนักถ่วงเท่ากับ sinA_1$
$จุดA_2มีน้ำหนักถ่วงเท่ากับ sinA_2$
........
........
$และจุดA_nมีน้ำหนักถ่วงเท่ากับ sinA_n$
หรือ...$x_i=\frac{(sinA_1)(x_1)+(sinA_2)(x_2)+...+(sinA_n)(x_n)}{(sinA_1+sinA_2+...+sinA_n)} $
$y_i=\frac{(sinA_1)(y_1)+(sinA_2)(y_2)+...+(sinA_n)(y_n)}{(sinA_1+sinA_2+...+sinA_n)} $

[tngngoapm]

กำหนดรูปnเหลี่ยม$A_1A_2...A_n$มีมุม$A_1,A_2,...,A_n$เป็นจุดยอดและมีพิกัด $(x_1,y_1),(x_2,y_2),...(x_n,y_n)$เรียงกันตามลำดับและรูปnเหลี่ยมรูปนั้นสามารถมีวงกลมแนบในได้
...จะสามารถหาพิกัด$(x',y')$ซึ่งเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมแนบนอกnเหลี่ยมนั้นได้ยกตัวอย่างเช่น
วงกลมแนบนอกที่ติดกับด้านที่อยู่ระหว่างพิกัด$(x_2,y_2)และ(x_3,y_3)$จะมีพิกัดของจุดศูนย์กลางวงกลมดังนี้
$x'=\frac{(sinA_2)(x_2)+(sinA_3)(x_3)-(sin(A_2+A_3))(x_o)}{(sinA_2+sinA_3-sin(A_2+A_3)} $
$y'=\frac{(sinA_2)(y_2)+(sinA_3)(y_3)-(sin(A_2+A_3))(y_o)}{(sinA_2+sinA_3-sin(A_2+A_3)} $
โดย$x_o,y_o$หามาจากการแก้สมการ$det(M)=0และdet(N)=0$
เมื่อ$M=\bmatrix{x_1&y_1& 1 \\ x_2&y_2 & 1\\x_o&y_o&1} $
$N=\bmatrix{x_3&y_3& 1 \\ x_4&y_4& 1\\x_o&y_o&1} $

[tngngoapm]

การผสมของผสม3อย่างเข้าด้วยกันเช่นพริก,น้ำตาลและเกลือให้ได้สุดยอดพริกเกลือจิ้มมะม่วงเช่น...
ให้สัดส่วนของพริกและน้ำตาลมากกว่า1/2
และให้สัดส่วนของน้ำตาลและเกลือมากกว่า2/3
รวมทั้งสัดส่วนของเกลือและพริกมากกว่า1/3ด้วยนั้น...
มีโอกาสที่จะผสมได้สุดยอดพริกเกลือนี้เพียง16/105เท่านั้น

[tngngoapm]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tngngoapm

การผสมของผสม3อย่างเข้าด้วยกันเช่นพริก,น้ำตาลและเกลือให้ได้สุดยอดพริกเกลือจิ้มมะม่วงเช่น...
ให้สัดส่วนของพริกและน้ำตาลมากกว่า1/2
และให้สัดส่วนของน้ำตาลและเกลือมากกว่า2/3
รวมทั้งสัดส่วนของเกลือและพริกมากกว่า1/3ด้วยนั้น...
มีโอกาสที่จะผสมได้สุดยอดพริกเกลือนี้เพียง16/105เท่านั้น

สามเหลี่ยมABCในระนาบ...
ในด้านABกำหนดจุดซึ่งอยู่บนด้านABนั้นและแบ่งความยาวของด้านนั้นเป็นอัตราส่วน2:1
...ด้านBCกำหนดจุดซึ่งอยู่บนด้านBCนั้นและแบ่งความยาวของด้านนั้นเป็นอัตราส่วน3:2
...ด้านCBกำหนดจุดซึ่งอยู่บนด้านCAนั้นและแบ่งความยาวของด้านนั้นเป็นอัตราส่วน3:1
จะได้ว่าสามเหลี่ยมซึ่งเกิดจากการตัดกันของเส้นตรง3เส้นบนด้านในอัตราส่วนดังกล่าวไปยังจุดA,BและCซึ่งอยู่ตรงข้ามด้านนั้น...
จะมีพื้นที่เป็นเศษ16ส่วน105ของพื้นที่สามเหลี่ยมABC

[tngngoapm]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tngngoapm

สามเหลี่ยมABCในระนาบ...
ในด้านABกำหนดจุดซึ่งอยู่บนด้านABนั้นและแบ่งความยาวของด้านนั้นเป็นอัตราส่วน2:1
...ด้านBCกำหนดจุดซึ่งอยู่บนด้านBCนั้นและแบ่งความยาวของด้านนั้นเป็นอัตราส่วน3:2
...ด้านCBกำหนดจุดซึ่งอยู่บนด้านCAนั้นและแบ่งความยาวของด้านนั้นเป็นอัตราส่วน3:1
จะได้ว่าสามเหลี่ยมซึ่งเกิดจากการตัดกันของเส้นตรง3เส้นบนด้านในอัตราส่วนดังกล่าวไปยังจุดA,BและCซึ่งอยู่ตรงข้ามด้านนั้น...
จะมีพื้นที่เป็นเศษ16ส่วน105ของพื้นที่สามเหลี่ยมABC

เพิ่มเติมตามรูปแนบ

[tngngoapm]

ถ้าผสมแม่สีคือ 1.แดง 2.เขียว และ3.น้ำเงิน เข้าด้วยกันเช่น
1) ผสมแดงกับเขียวเข้าด้วยกันจะได้ สีเหลือง
2)ผสมเขียวกับน้ำเงินเข้าด้วยกันจะได้ สีฟ้าอมเขียว
3)ผสมแดงกับน้ำเงินเข้าด้วยกันจะได้ สีม่วงแดง
...โดยมีสมมติฐานที่ว่า จุดเปลี่ยนสีของการผสมแม่สีต่างๆเข้าด้วยกันอยู่ที่อัตราส่วนทองคำ$(\varphi )$
จะได้ว่าโอกาสที่จะผสมแม่สีทั้งสามเข้าด้วยกันแบบไม่ตั้งใจให้ได้สีขาวมีโอกาสเพียง $1/(4+6\varphi )$ หรือประมาณ 73ใน1000เท่านั้น

[tngngoapm]

สมมติว่าประเทศไทยส่งออกส้มในปีพ.ศ.2559เท่ากับ $x_1 ตัน$
ปีพ.ศ.2560เท่ากับ $x_2 ตัน$
ปีพ.ศ.2561เท่ากับ $x_3 ตัน$
คำถามคือเราจะพยากรณ์ได้หรือไม่ว่าในปีต่อๆไปเราจะส่งออกส้มได้กี่ตัน?
...ปัจจัยที่จะทำให้ส่งออกส้มได้มากหรือน้อยขึ้นกับหลายๆอย่าง
แต่ถ้าเรารู้อย่างหนึ่งว่าในทางสถิติหลายปีที่ผ่านมาการส่งออกส้มได้มากน้อยจะมีวงรอบทุกๆ3ปี
...อย่างน้อยเราจะใช้หลักค่าเฉลี่ยไปก่อนคือในปีที่4การส่งออกส้มน่าจะสามารถพยากรณ์ได้คือ..
$x_4=(x_1+x_2+x_3)/3$..หรือ
ในปีที่5คือ
$x_5=(x_2+x_3+x_4)/3$...
..หรือการส่งออกส้มในปีที่$n$คือ
$$x_n=(x_{n-1}+x_{n-2}+x_{n-3})/3$$
...คำถามคือในสภาวะวงรอบเช่นนี้จะนำให้ประเทศไทยขายส้มได้อย่างมากไม่น่าจะเกินกี่ตัน?

[tngngoapm]

ถ้ามีเครื่องดื่มผสมเกลือแร่ชนิดหนึ่ง3ขวดมีความเข้มข้นของเกลือแร่นั้นดังนี้...
ขวดที่1...เข้มข้นร้อยละ7$(x_1)$
ขวดที่2...เข้มข้นร้อยละ10$(x_2)$
และขวดที่3เข้มข้นร้อยละ13$(x_3)$
ทำการผสมเครื่องดื่มขวดที่4...โดยผสมขวดที่1,ขวดที่2และขวดที่3เข้าด้วยกันในอัตราส่วน1:1:1
หรือจะได้ขวดที่4มีความเข้มข้นเท่ากับ$(7+10+13)/3=ร้อยละ10$...ทำเช่นนี้ไปเรื่อยในขวดที่5,6,7,...
หรือเครื่องดื่มขวดที่$n...x_n=(x_{n-1}+x_{n-2}+x_{n-3})/3$
...จะได้ว่าเครื่องดื่มที่ผสมได้จะมีแนวโน้มลู่เข้าหาความเข้มข้นค่าหนึ่งซึ่งหาได้โดยเสมือนการนำเครื่องดื่มขวดที่1,ขวดที่2และขวดที่ 3มาผสมกันในอัตราส่วน$ 1:2:3$ซึ่งเท่ากับ
$[7(1)+10(2)+13(3)]/6=ร้อยละ11$

[tngngoapm]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tngngoapm

ถ้ามีเครื่องดื่มผสมเกลือแร่ชนิดหนึ่ง3ขวดมีความเข้มข้นของเกลือแร่นั้นดังนี้...
ขวดที่1...เข้มข้นร้อยละ7$(x_1)$
ขวดที่2...เข้มข้นร้อยละ10$(x_2)$
และขวดที่3เข้มข้นร้อยละ13$(x_3)$
ทำการผสมเครื่องดื่มขวดที่4...โดยผสมขวดที่1,ขวดที่2และขวดที่3เข้าด้วยกันในอัตราส่วน1:1:1
หรือจะได้ขวดที่4มีความเข้มข้นเท่ากับ$(7+10+13)/3=ร้อยละ10$...ทำเช่นนี้ไปเรื่อยในขวดที่5,6,7,...
หรือเครื่องดื่มขวดที่$n...x_n=(x_{n-1}+x_{n-2}+x_{n-3})/3$
...จะได้ว่าเครื่องดื่มที่ผสมได้จะมีแนวโน้มลู่เข้าหาความเข้มข้นค่าหนึ่งซึ่งหาได้โดยเสมือนการนำเครื่องดื่มขวดที่1,ขวดที่2และขวดที่ 3มาผสมกันในอัตราส่วน$ 1:2:3$ซึ่งเท่ากับ
$[7(1)+10(2)+13(3)]/6=ร้อยละ11$

ในกรณีที่เราเพิ่มน้ำหนักหรืออคติในอัตราส่วนผสมเช่นของผสม3อย่างผสมกันในอัตราส่วน$1:2:3$
หรือเขียนเป็นความสัมพันธ์ของอัตราส่วนเวียนผสมได้ว่า$x_n=(3x_{n-1}+2x_{n-2}+x_{n-3})/6$
เมื่อnเป็นจำนวนนับที่มากกว่า3
.....จะได้ว่า...$$\lim_{n \to \infty} x_n=(x_1+3x_2+6x_3)/10$$
เมื่อ$x_1,x_2และx_3$เป็นค่าพารามิเตอร์เริ่มต้นของของผสม3อย่างนั้น

[tngngoapm]

...ถ้าเรามีน้ำสตรอเบอรี่ตั้งต้นอยู่3ขวดคือขวดA,BและCโดยแต่ละขวดมีค่าพารามิเตอร์ความหวานที่แตกต่างกันคือ...
...ขวดA...มีค่าพารามิเตอร์ความหวาน$x_a$...
...ขวดB...มีค่าพารามิเตอร์ความหวาน$x_b$...
และขวดC...มีค่าพารามิเตอร์ความหวาน$x_c$แล้ว...
...เมื่อนำน้ำสตรอฯทั้ง3ขวดมาผสมกันให้ได้ค่าพารามิเตอร์ความหวานที่ละมุนขึ้นโดยมึสูตรในการผสม3สูตร...เช่น
...สูตรที่1...นำน้ำสตรอฯทั้งสามขวดมาผสมกันในอัตราส่วน1:2:3...
...สูตรที่2...นำน้ำสตรอฯทั้งสามขวดมาผสมกันในอัตราส่วน2:3:4...
และสูตรที่3...ผสมกันในอัตราส่วน3:4:5...แล้ว
จะได้น้ำสตรอเบอรี่ที่มีค่าพารามิเตอร์ความหวานใหม่ขึ้นมา3ขวดคือ$x'_a,x'_bและx'_c$ตามลำดับแล้ว...
...เราสามารถหาค่า...$x'_a,x'_bและx'_c$ได้โดยเขียนเป็นสมการเมตริกซ์ได้ดังนี้..
$$X'=YX$$
เมื่อ...$X'คือเมตริกซ์พารามิเตอร์ผลลัพธ์=\bmatrix{x'_a \\x'_b \\x'_c} $
$Xคือเมตริกซ์พารามิเตอร์ตั้งต้น=\bmatrix{x_a \\x_b \\x_c} $
$Yคือเมตริกซ์อัตราส่วนผสม=\bmatrix{1/6 & 2/6&3/6 \\ 2/9& 3/9&4/9\\3/12&4/12&5/12} $

[tngngoapm]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tngngoapm

สามเหลี่ยมABCในระนาบ...
ในด้านABกำหนดจุดซึ่งอยู่บนด้านABนั้นและแบ่งความยาวของด้านนั้นเป็นอัตราส่วน2:1
...ด้านBCกำหนดจุดซึ่งอยู่บนด้านBCนั้นและแบ่งความยาวของด้านนั้นเป็นอัตราส่วน3:2
...ด้านCBกำหนดจุดซึ่งอยู่บนด้านCAนั้นและแบ่งความยาวของด้านนั้นเป็นอัตราส่วน3:1
จะได้ว่าสามเหลี่ยมซึ่งเกิดจากการตัดกันของเส้นตรง3เส้นบนด้านในอัตราส่วนดังกล่าวไปยังจุดA,BและCซึ่งอยู่ตรงข้ามด้านนั้น...
จะมีพื้นที่เป็นเศษ16ส่วน105ของพื้นที่สามเหลี่ยมABC

ปัญหาทางเรขาคณิตสามารถใช้วิธีทางเมตริกซ์เข้ามาช่วยแก้ปัญหาได้..
โดยในรูปจุดยอดของสามเหลี่ยมรูปในที่แรเงาแทนด้วย...
จุด$A'$คือจุดที่ใกล้จุด$A$ของสามเหลี่บมรูปใหญ่..
และเช่นเดียวกับจุด$B'$กัล$C'$...
คือจุดที่ใกล้กับจุด$B$กับ$C$ของสามเหลี่ยมรูปใหญ่ตามลำดับ...
หรือจุด$A'$คือจุดที่เกิดโดยการให้น้ำหนักต่อจุด$A:B:C=9:2:3$ตามลำดับ..
จุด$B'$คือจุดที่เกิดโดยการให้น้ำหนักต่อจุด$A:B:C=3:6:1$ตามลำดับ..
และจุด$C'$คือจุดที่เกิดโดยการให้น้ำหนักต่อจุด$A:B:C=1:2:3$ตามลำดับ..
...กำหนดเมตริกซ์อัตราส่วนได้คือ$\bmatrix{9/14 & 2/14&3/14 \\ 3/10&6/10 & 1/10\\1/6&2/6&3/6} $
...ซึ่งดีเทอมิแนนท์ของเมตริกซ์อัตราส่วนนี้จะเท่ากับอัตราส่วนของพื้นที่สามเหลี่ยมรูปเล็กต่อรูปใหญ่...$16/105$

[tngngoapm]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tngngoapm

...ถ้าเรามีน้ำสตรอเบอรี่ตั้งต้นอยู่3ขวดคือขวดA,BและCโดยแต่ละขวดมีค่าพารามิเตอร์ความหวานที่แตกต่างกันคือ...
...ขวดA...มีค่าพารามิเตอร์ความหวาน$x_a$...
...ขวดB...มีค่าพารามิเตอร์ความหวาน$x_b$...
และขวดC...มีค่าพารามิเตอร์ความหวาน$x_c$แล้ว...
...เมื่อนำน้ำสตรอฯทั้ง3ขวดมาผสมกันให้ได้ค่าพารามิเตอร์ความหวานที่ละมุนขึ้นโดยมึสูตรในการผสม3สูตร...เช่น
...สูตรที่1...นำน้ำสตรอฯทั้งสามขวดมาผสมกันในอัตราส่วน1:2:3...
...สูตรที่2...นำน้ำสตรอฯทั้งสามขวดมาผสมกันในอัตราส่วน2:3:4...
และสูตรที่3...ผสมกันในอัตราส่วน3:4:5...แล้ว
จะได้น้ำสตรอเบอรี่ที่มีค่าพารามิเตอร์ความหวานใหม่ขึ้นมา3ขวดคือ$x'_a,x'_bและx'_c$ตามลำดับแล้ว...
...เราสามารถหาค่า...$x'_a,x'_bและx'_c$ได้โดยเขียนเป็นสมการเมตริกซ์ได้ดังนี้..
$$X'=YX$$
เมื่อ...$X'คือเมตริกซ์พารามิเตอร์ผลลัพธ์=\bmatrix{x'_a \\x'_b \\x'_c} $
$Xคือเมตริกซ์พารามิเตอร์ตั้งต้น=\bmatrix{x_a \\x_b \\x_c} $
$Yคือเมตริกซ์อัตราส่วนผสม=\bmatrix{1/6 & 2/6&3/6 \\ 2/9& 3/9&4/9\\3/12&4/12&5/12} $

...ถ้าเมตริกซ์อัตราส่วน...$Y=\bmatrix{1/6 & 2/6&3/6 \\ 2/9& 3/9&4/9\\3/12&4/12&5/12} $
...เมตริกซ์...$Y^n(เมตริกซ์Yคูณกันnครั้ง)$..จะยังคงเป็นเมตริกซ์อัตราส่วน
(เมตริกซ์ในแต่ละแถวมีผลรวมเท่ากับ1และทุกสมาชิกเป็นจำนวนบวก)
แต่จะเป็นเมตริกซ์อัตราส่วนใหม่ที่เกิดโดยการเวียนผสมด้วยอัตราส่วนเดิม$n$ครั้ง..
และถ้าเวียนผสมด้วยอัตราส่วนเดิมนี้ไปเรื่อยๆจะได้เมตริกซ์อัตราส่วนใหม่ที่มีค่าดิเทอร์มิแนนท์เท่ากับศูนย์...
หรือมีการลู่เข้าของอัตราส่วนเดิมที่แตกต่างกัน3อัตราส่วนเข้าสู่อัตราส่วนเดียวกัน
..เช่นตัวอย่างนี้คือ
$$\lim_{n \to \infty} Y^n=\bmatrix{2/9 & 3/9&4/9 \\ 2/9& 3/9&4/9\\2/9&3/9&4/9} $$

[tngngoapm]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tngngoapm

...ถ้าเมตริกซ์อัตราส่วน...$Y=\bmatrix{1/6 & 2/6&3/6 \\ 2/9& 3/9&4/9\\3/12&4/12&5/12} $
...เมตริกซ์...$Y^n(เมตริกซ์Yคูณกันnครั้ง)$..จะยังคงเป็นเมตริกซ์อัตราส่วน
(เมตริกซ์ในแต่ละแถวมีผลรวมเท่ากับ1และทุกสมาชิกเป็นจำนวนบวก)
แต่จะเป็นเมตริกซ์อัตราส่วนใหม่ที่เกิดโดยการเวียนผสมด้วยอัตราส่วนเดิม$n$ครั้ง..
และถ้าเวียนผสมด้วยอัตราส่วนเดิมนี้ไปเรื่อยๆจะได้เมตริกซ์อัตราส่วนใหม่ที่มีค่าดิเทอร์มิแนนท์เท่ากับศูนย์...
หรือมีการลู่เข้าของอัตราส่วนเดิมที่แตกต่างกัน3อัตราส่วนเข้าสู่อัตราส่วนเดียวกัน
..เช่นตัวอย่างนี้คือ
$$\lim_{n \to \infty} Y^n=\bmatrix{2/9 & 3/9&4/9 \\ 2/9& 3/9&4/9\\2/9&3/9&4/9} $$

$$\lim_{n \to \infty} Y^n=\lambda Y',Y'=adj.(Y-I)$$

เมื่อ...$\lambda คือค่าคงที่$
$adj.คือแอดจอยน์ของเมตริกซ์$
และ$Iคือเมตริกซ์เอกลักษณ์$

[tngngoapm]

สารAมีพารามิเตอร์ตั้งต้น $(x_a,y_a,z_a)$
สารBมีพารามิเตอร์ตั้งต้น $(x_b,y_b,z_b)$
และสารCมีพารามิเตอร์ตั้งต้น $(x_c,y_c,z_c)$
...เมื่อนำสารทั้งสามชนิดตามลำดับมาผสมกันในอัตราส่วน$\alpha :\beta :\gamma $
ของผสมDที่ได้จะมีพารามิเตอร์ผลลัพธ์$(x_d,y_d,z_d)$
อยู่ในระนาบสามเหลี่ยมของพารามิเตอร์ตั้งต้นA,BและC...
หรือเขียนเป็นสมการเมตริกซ์ของสามเหลี่ยมระนาบของพารามิเตอร์ตั้งต้นได้ดังนี้..

$$\bmatrix{x_a & x_b&x_c \\ y_a& y_b&y_c\\z_a&z_b&z_c}\bmatrix{\alpha \\ \beta \\\gamma } =\bmatrix{x_d\\ y_d\\z_d} $$
โดยที่ $\alpha ,\beta ,\gamma >0และ\alpha +\beta +\gamma =1$

[poper]

สุดยอดมากเลยครับ ได้รับความรู้ใหม่เยอะเลยครับ
ปัญหาอัตราส่วนเป็นอะไรที่ค่อนข้างจะเข้าใจยากอยู่ ถ้ามีการนำเรขาคณิตมาใช้แก้ปัญหาได้นี่น่าจะดีครับ ในโรงเรียนก็ไม่มีสอน
แล้วดูเหมือนว่าจะนำมาประยุกต์ใช้ได้หลายหลาย เพิ่มมิติก็ได้ สุดยอดจริงๆครับ