ข้อสอบ 5th TMO ณ โรงเรียนสวนกุหลาบ

[RoSe-JoKer]

สดๆร้อนๆจากโรงเรียนสวนกุหลาบ
http://b.imagehost.org/0745/IMG_0244.jpg << ข้อสอบวันแรก
http://b.imagehost.org/0745/IMG_0245.jpg << ข้อสอบวันที่สอง
ข้อ 2
จงหาจำนวนเต็มบวก N ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ
1.N มีตัวประกอบที่เป็นจำนวนเฉพาะอย่างน้อย 2 จำนวน
2.$N=a^2+b^2+c^2+d^2$ โดยที่ $a<b<c<d$ เป็นตัวประกอบที่มีค่าน้อยสุด 4 ตัวแรกของ N
ข้อ 3 ให้ $a_n=n(n+1)$ สำหรับ all N
pf ว่า
$n^\frac{1}{a_1}+....+n^\frac{1}{a_2n-1}\geqslant n^\frac{a_3n+2}{a_3n+1}$
ข้อ 6 ให้ $f:R+ \rightarrow R+$ เป็นฟังก์ชั่นที่สอดคล้อง
$(f(xy))^2=f(x^2)f(y^2)$
สำหรับทุกจำนวนจริงบวก $x,y$ ที่ $x^2y^3>2008$ pf ว่า
$(f(xy))^2=f(x^2)f(y^2)$
เป็นจริง for all $x,y$ in $R+$


ภาพข้อสอบวันที่สองไม่ค่อยชัดถ้าอ่านตรงไหนไม่ได้ก็ PM มาละกันนะครับ

[nooonuii]

ผมว่าข้อ 3 ทั้งสองวันไม่ได้ลอกนา.....

[RoSe-JoKer]

ข้อสามวันแรกไม่ต้องพูดถึงแล้วมั้ง
ส่วนข้อสามวันที่สอง Am-Gm แล้ว induction จบเลยครับ T_T เป็นข้อแรกที่ผมทำได้ในวันที่สองเลยครับ

[SPLASH]

ตัวผมเองเสียดายกับ ข้อ 2 เเละข้อ 3 วันที่ 2 มากๆครับ
เสียเวลากับข้อ1 3ชั่วโมงครึ่งก็ยังไม่ออก ใช้ power of point เนอะ
ข้อ 6 ยากมากครับ

[tatari/nightmare]

สวัสดีครับคุณ RJKรู้สึกว่ากลับบ้านเร็วจังเลยนะครับ
เริ่มกันด้วย Question1(Day 2)
(วิธีนี้เป็นวิธีของผมเองซึ่งคิดได้หลังจากออกจากห้องสอบได้ 15 นาที T_T)
กำหนดจุด $L=w\cap CM,T=PL\cap AB,H=w\cap DN,Q=PD\cap AB$ เราจะแสดงว่า $H,T,L,P$
เป็นเส้นตรงเดียวกัน
เป็นการง่ายที่จะแสดงว่า MN ขนานกับ OP และ MN=MP=MA โดย Power of point กับจุด M จะได้ว่า
$ML\bullet MC=(MA)^2$ แต่จากที่ $MA=MP\therefore ML\bullet MC=(MP)^2$ นั่นคือ
MP เป็นเส้นสัมผัสวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม PLC ฉะนั้น $\angle MPL=\angle PCL$ แต่จากที่ว่า MN ขนานกับ OP จึงได้ว่า $\angle PCL=\angle BPQ\therefore \angle MPL=\angle BPQ$
ซึ่งเราจะได้ว่า $\triangle APT\cong \triangle BPQ\therefore AT=BQ$
แต่จากที่ $AN=BN$ ฉะนั้น $NT=NQ$
สมมติว่า $T'=HL\cap AB$ สังเกตว่าคอรด DH และ CL ผ่านจุดกึ่งกลางของคอรด AB (จุดN)
โดย Butterfly's theorem เราได้ว่า $NT'=NQ$ แต่จากที่ $NT=NQ\therefore NT=NT'$
นั่นคือ $T=T',\therefore H,T,L,P$เป็นเส้นตรงเดียวกัน
แต่จากที่ $\angle NHL=\angle PCL$ จึงได้ว่า $\angle NHL=\angle MPL$ นั่นคือ $AP$ ขนานกับ $NO$ # หมายเหตุ: มีใครทำข้อนี้ได้อีกบ้างครับ ถ้ามีช่วย POSTวิธีด้วยนะครับ THank YoU

[dektep]

ยินดีกับพี่ Rose-JoKer และคุณ tatari ด้วยนะครับ
ผมว่าคราวนี้ผมคงตามพี่ RoSe-JoKer หลายคะแนนเลยนะครับ
แต่ก็ยังดีที่ได้เหรียญทองเหมือนกัน

[nooonuii]

ข้อ 3 วันแรกนี่มันคล้ายโจทย์ CMO

ที่เป็นโจทย์ longlist round 0 เลยนี่นา

วันแรก ข้อ 4

My Solution:

อสมการจริงสำหรับทุกจำนวนจริงครับ

ให้ $x,y,z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนซึ่งนิยามโดย

$x=\big(a-\dfrac{b}{\sqrt{2}}\big)+\dfrac{b}{\sqrt{2}}i$

$y=\dfrac{b}{\sqrt{2}}+\big(c-\dfrac{b}{\sqrt{2}}\big)i$

$z=a+ci$

จะได้ว่า $z=x+y$

โดย Triangle Inequality จะได้

$|z|=|x+y|\leq |x|+|y|$

The rest is trivial!!!

[tatari/nightmare]

ขอแสดงความยินดีกับคุณ Rose-Joker คุณ dektep แล้วก็คุณ anomus1234(เขียนถูกเปล่าเนี้ย) ด้วยนะครับที่ได้เหรียญทอง
แล้วก็สำหรับเหรียญทองคนสุดท้ายคุณ Artninja ด้วยนะครับ

[Anonymous314]

ข้อ 2 วันที่ 2 ครับ

Hint

จะต้องแสดงว่า N หารด้วย 2 ลงตัวโดยวิธีการขัดแย้ง และ N หารด้วย 4 ไม่ลงตัวโดยวิธีการขัดแย้ง
ดังนั้น ตัวประกอบ 2 ตัวแรกคือ 1,2 ตัวที่ 3 จำเป็นต้องเป็นจำนวนเฉพาะ ตัวที่ 4 เป็น 2 เท่าของตัวประกอบตัวที่ 3
end

[nooonuii]

ยินดีกับทุกคนด้วยครับ

วันแรก ข้อ 6

My Solution:

ใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์พิสูจน์ว่า

$-(n-1) + f(nx) \leq nf(x) \leq (n-1)+f(nx)$

ทุก $n\in\mathbb{N},x\in\mathbb{R}$

ดังนั้น

$\Big|f(x)-\dfrac{1}{n}f(nx)\Big|\leq 1-\dfrac{1}{n}$

The rest is trivial!!!

[owlpenguin]

ทำไมในรูป คุณ Rose-joker ข้อ 9 วันแรกถึงตอบว่า $3^{10}-2^{10}$ ล่ะครับ
ผมทำได้ $3^{10}$ อ่ะครับ

[RoSe-JoKer]

ตอบคุณ owlpenguin ในข้อสอบนั้นผมทดอยู่นะครับแต่ข้อนั้นผมก็ตอบ $3^{10}-2^{10}$ ไปนั้นแหละผมไปลบกรณี A เป็นเซตว่างไป - - ผิดเลย 5 5
http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=150465 << วันที่สองข้อที่สอง
>>ยินดีกับพี่ Rose-JoKer และคุณ tatari ด้วยนะครับ
ผมว่าคราวนี้ผมคงตามพี่ RoSe-JoKer หลายคะแนนเลยนะครับ
แต่ก็ยังดีที่ได้เหรียญทองเหมือนกัน <<
อันนี้ผมฟลุ๊คครับ น้อง dektep โหดกว่าผมมากๆๆๆๆ อีกอย่างผมเป็นที่โหล่ค่ายด้วยครับ ส่วนเรื่องคะแนนนำผมว่าไม่ใช่หลายคะแนนหรอกครับคงไม่ถึง 3 คะแนนครับที่ห่างกันนิดเดียวเอง
ปล.ผมรู้สึกว่า TMO เหมือนงาน meeting Mathcenter เลยครับ - -"
ปล2.รู้สึกว่าจะมีคนบอกว่าได้วันที่ 2 ถึง 4 ข้อเลยนะครับ ว่าแต่เอ๊ะใครกันหนอออ ไซโคเก่งจัง 5 5

[nooonuii]

กลายเป็นไม่มีคนทำไปเลยครับ เพราะส่วนใหญ่ไปทำในห้องสอบกันมาแล้วทั้งนั้น

ขอเก็บวันแรกก่อนละกันครับ

1.

My Solution :

ใช้ Law of Cosine ได้

$\cos{\theta}=\dfrac{3\sqrt{3}}{\sqrt{31}}$

3.

My Solution:

$x=2,5$

5.

My Solution :

ข้อนี้จริงสำหรับพหุนามใดๆที่มีกำลังมากกว่า $1$

สมมติ $P(x)=k(x-a_1)(x-a_2)\cdots (x-a_n)$ โดยที่ $a_i$ แตกต่างกันหมด

ให้ $Q(x)=P(x+1)-P(x)-1$ จะได้ว่า

$Q(x)$ เป็นพหุนามที่มีกำลังไม่เกิน $n-1$ แต่มีรากที่แตกต่างกันถึง $n$ รากคือ $a_1,...,a_n$

ดังนั้น $Q(x)\equiv 0$

เราจึงได้สมการเชิงฟังก์ชัน

$P(x+1)=P(x)+1$

สมมติว่า $P(x)=a_nx^n+\cdots + a_1x+a_0, a_n\neq 0$

จะได้สัมประสิทธิ์หน้าเทอม $x^{n-1}$ ของ $P(x+1)$ เป็น

$\displaystyle{a_n\binom{n}{n-1}+a_{n-1}}$

ดังนั้น $\displaystyle{a_n\binom{n}{n-1}+a_{n-1}=a_{n-1}}$

$a_n=0$

ซึ่งขัดแย้ง

ดังนั้น $P(x)$ ต้องมีรากซ้ำ

7.

My Solution:

$(m+n)^2=m^2+n^2+2mn=3789+2mn$

$(m,n)+\dfrac{mn}{(m,n)}=633$

$mn=(m,n)[633-(m,n)]$

ดังนั้น

$(m+n)^2=3789+2(m,n)[633-(m,n)]$

เราจึงได้ว่า $(m,n)\mid 3789=3^2\cdot 421$

แต่ $(m,n)^2\leq mn\leq\dfrac{m^2+n^2}{2}=\dfrac{3789}{2}$

ดังนั้น $(m,n)=1,3,$ หรือ $9$

แทนค่าแล้วตรวจสอบจะพบว่า $(m,n)=3$ และ $m+n=87$

8.

My Solution:

$$2551\cdot 543^n-2008\cdot 7^n\equiv -1\pmod{3}$$
ดังนั้นเป็นกำลังสองสมบูรณ์ไม่ได้

9.

My Solution:

สมมติ $B\subseteq\{1,2,...,n\}$ โดยที่ $n(B)=k,k=0,1,...,n$
เราสามารถเลือกสับเซตของ $B$ ได้ทั้งหมด $2^k$
แต่สับเซตที่มีขนาด $k$ มีอยู่ทั้งหมด $\displaystyle{\binom{n}{k} }$ สับเซต
เราจึงได้ว่ามีจำนวนคู่อันดับ $(A,B)$ ได้ทั้งหมด $$\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}2^k=3^n $$

[dektep]

4. วันแรก
จากรูปและ law of cosine
แล้วจะเจออสมการสามเหลี่ยม #

[nooonuii]

วันที่สอง

3.

My Solution:

$\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_3}+\cdots+\dfrac{1}{a_{2n-1}}=\dfrac{1}{n+1}+\cdots+\dfrac{1}{2n}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\geq \dfrac{n^2}{n\cdot n+(1+2+\cdots + n)}$ (AM-HM)

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\dfrac{2n}{3n+1}$

ดังนั้น

$\displaystyle{n^{1/a_1}+n^{1/a_3}+\cdots+n^{1/a_{2n-1}}\geq n\cdot n^{1/n(1/a_1+1/a_3+\cdots + 1/a_{2n-1})}}$ (AM-GM)

$\displaystyle{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\geq n^{1+\frac{2}{3n+1}}}$

$\displaystyle{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=n^{a_{3n+2}/a_{3n+1}}}$