เสริมประสบการณ์คณิตศาสตร์ ชุดที่ 30 เรื่องวุ่นๆของเมตริกซ์

บทความ/จัดพิมพ์ โดย: นาย เจษฎา กานต์ประชา

Eigenvalue and Eigenvectors

จาก \(AX = \lambda X\) จะได้

\(AX - \lambda X = 0\) หรือ \((A - \lambda I)X = 0\)

ดังนั้น \(\left|A - \lambda I \right| = 0\) เป็นสมการที่ใช้หาค่า eigenvalue ทั้งหมดได้ ยกตัวอย่างเช่น

ตัวอย่างที่ 1

\[\begin{array}{rcl} จาก\ A & = & \bmatrix{1 & 2 & 1 \\ 6 & -1 & 0 \\ -1 & -2 & -1} ต้องการหาค่า\ \text{eigenvalue}\ จะได้ \\ \left|A - \lambda I \right| & = & \left| \matrix{1 - \lambda & 2 & 1 \\ 6 & -1 - \lambda & 0 \\ -1 & -2 & -1 - \lambda} \right| = 0 \\ -\lambda^3 - \lambda^2 + 12\lambda & = & 0\ หรือ\ \lambda (\lambda + 4)(\lambda - 3) = 0 \end{array}\]

ได้ค่า eigenvalue 3 ค่าคือ 0 , -4 และ 3 ตามลำดับ

หลังจากได้ค่า eigenvalue มาแล้วก็ต้องหาค่า eigenvector ที่สอดคล้องกับแต่ละค่าของ eigenvalue ออกมา ทำได้ด้วยการแทนค่า eigenvalue แต่ละค่ากลับลงไปในสมการ

กรณี \(\lambda_1 = 0\) จะได้

\[(A - \lambda_1 I) X_1 = \bmatrix{1 - 0 & 2 & 1 \\ 6 & -1 - 0 & 0\\ -1 & -2 & -1 - 0} X_1 = \bmatrix{1 & 2 & 1 \\ 6 & -1 & 0\\ -1 & -2 & -1} X_1 = 0\]

เราคงไม่บอกว่า \(X_1 = 0\) เพราะนี่เป็นผลเฉลยที่ไร้ประโยชน์กับเรา ในกรณีนี้ให้ใช้ row operation ให้เป็นประโยชน์ เปลี่ยนเมตริกซ์ให้อยู่ในรูปเอ็ซซิลอน เพื่อให้ง่ายต่อการพิจารณาหา \(X_1\)ที่เหมาะสม

\[\begin{array}{rclcl} \matrix{-6R_1 + R_2 \\ R_1 + R_3} & \Rightarrow & \bmatrix{1 & 2 & 1 \\ 0 & -13 & -6\\ 0 & 0 & 0} X_1 & = & 0 \\ -\frac{1}{13}R_2 & \Rightarrow & \bmatrix{1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{6}{13}\\ 0 & 0 & 0} X_1 & = & 0 \\ -2R_2 + R_1 & \Rightarrow & \bmatrix{1 & 0 & \frac{1}{13} \\ 0 & 1 & \frac{6}{13}\\ 0 & 0 & 0} X_1 & = & 0 \end{array}\]

จะสังเกตได้ว่าแถวล่างสุดเป็นศูนย์ทั้งหมด ผลเฉลยของสมการนี้จึงมีเป็นอนันต์ (นอกจากนี้ สมาชิกตัวที่ 3 ของ \(X\) เป็นอิสระจากสมาชิกตัวอื่น จึงใช้เป็นตัวกำหนดค่าให้แก่สมาชิกตัวที่เหลือ) ก็ให้เราเลือกออกมาใช้สักผลเฉลยหนึ่ง จากการสังเกตสมการแรก(แถวแรก) จึงเลือก \(x_3 = -13\) จะได้ \(x_1 = 1\) แทนค่าลงในสมการที่สอง(แถวที่สอง)จะได้ \(x_2 = 6\) จึงได้ eigenvector เป็น

\[X_1 = \bmatrix{1 \\ 6 \\ -13}\]

กรณี \(\lambda_2 = -4\) จะได้

\[\begin{array}{rcl} (A - \lambda_2 I) X_2 & = & \bmatrix{1 - (-4) & 2 & 1 \\ 6 & -1 - (-4) & 0\\ -1 & -2 & -1 - (-4)} X_2 = \bmatrix{5 & 2 & 1 \\ 6 & 3 & 0\\ -1 & -2 & 3} X_2 = 0 \\ \text{row operations} & \Rightarrow & \bmatrix{1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 0} X_2 = 0 \end{array}\]

จากการสังเกตสมการแรก จึงเลือก \(x_3 = 1\) จะได้ \(x_1 = -1\) แทนค่าลงในสมการที่สองจะได้ \(x_2 = 2\) จึงได้ eigenvector เป็น

\[X_2 = \bmatrix{-1 \\ 2 \\ 1}\]

กรณี \(\lambda_3 = 3\) จะได้

\[\begin{array}{rcl} (A - \lambda_3 I) X_3 & = & \bmatrix{1 - 3 & 2 & 1 \\ 6 & -1 - 3 & 0\\ -1 & -2 & -1 - 3} X_3 = \bmatrix{-2 & 2 & 1 \\ 6 & -4 & 0\\ -1 & -2 & -4} X_3 = 0 \\ \text{row operations} & \Rightarrow & \bmatrix{1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2}\\ 0 & 0 & 0} X_3 = 0 \end{array}\]

จากการสังเกตสมการที่สอง จึงเลือก \(x_3 = -2\) จะได้ \(x_2 = 3\) แทนค่าลงในสมการแรกจะได้ \(x_1 = 2\) จึงได้ eigenvector เป็น

\[X_3 = \bmatrix{2 \\ 3 \\ -2}\]

เมื่อได้ค่า eigenvalue และ eigenvector ครบแล้ว

\[\begin{array}{rclcl} D & = & \bmatrix{\lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3} & = & \bmatrix{0 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 0\\ 0 & 0 & 3} \\ P & = & \bmatrix{X_1 & X_2 & X_3} & = & \bmatrix{1 & -1 & 2 \\ 6 & 2 & 3\\ -13 & 1 & -2} \end{array} \]

และ

\[\begin{array}{rcl} PDP^{-1} & = & \bmatrix{1 & -1 & 2 \\ 6 & 2 & 3\\ -13 & 1 & -2} \bmatrix{0 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 0\\ 0 & 0 & 3} \bmatrix{1 & -1 & 2 \\ 6 & 2 & 3\\ -13 & 1 & -2}^{-1} = \bmatrix{1 & 2 & 1 \\ 6 & -1 & 0\\ -1 & -2 & -1} = A\ จริง\ ดังนั้น\\ A^n & = & \bmatrix{1 & -1 & 2 \\ 6 & 2 & 3\\ -13 & 1 & -2} \bmatrix{0 & 0 & 0 \\ 0 & (-4)^n & 0\\ 0 & 0 & 3^n} \bmatrix{1 & -1 & 2 \\ 6 & 2 & 3\\ -13 & 1 & -2}^{-1} \end{array}\]