ขอสูตรหาพจน์ทั่วลำดับเลขคณิตกรณี d ไม่เท่ากัน

[อินดี้มาเอง]

ตัวอย่างนะครับ
กรณี 2 4 6 8
กรณี d เท่ากัน คือ d=2 แบบนี้เราจะใช้สูตรหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตได้คือสูตร an=a1+(n-1)d แบบนี้จริงไหมครับ

แต่ปัญหาของผมก็คือผมไปเจอโจทย์ประเภทนี้ครับ
-1 2 -3 4
ซึ่งผมไม่สามารถที่จะหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตได้เลย:(:(
ผมผมจึงอยากได้สูตรการหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตผมไปอ่านในหนังสือ ในหนังสือให้ใช้การสังเกตุแต่ในการสังเกตุบางข้อนั้น
ไม่สามารถจะสังเกตุและหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตได้เลย..จึงทำให้เสียเวลากับการทำโจทย์
ผมจึงอยากขอให้ท่านผู้รู้บอกสูตรการหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตให้ผมหน่อยนะครับ
ประเภทแบบว่า มีสูตรนี้หาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตประเภท d ไม่เท่ากันได้ทุกข้อเลยอะครับ
ยังไงขอบคุณมากนะครับ.....

[หยินหยาง]

กำหนดพจน์ให้แค่นี้ ก็คงใช้การสังเกตจะง่ายกว่า คือประกอบด้วยลำดับ 2 ชุด คือ -1,-3,-5,...,-(2n-1) กับอีกชุดคือ 2, 4, 6,...,(2n)
จะได้ว่า พจน์คี่ $a_{2n-1} =-(2n-1)$
พจน์คู่ $a_{2n} = 2n$

[t.B.]

หรือจะเป็น $a_n = (-1)^n\times n$ ก็ได้เหมือนกัน

ปล.ลำดับเลขคณิตแล้ว d ไม่เท่าจะเรียกว่า ลำดับเลขคณิตได้ยังไงอะครับ

[EulerTle]

ลองดูตัวอย่างอนุกรมนี้นะครับ 1,5,10,16,23 สังเกตว่าเป็นการ +4,+5,+6,+7...
แสดงว่า23=1+ 4+5+6+7 การจะหาพจน์ที่ n ของอนุกรมข้างต้นต้องนำ เลขลำดับของตัวที่ต้องการหา- 1
ที่มาก็คือเราจะใช้สูตรผลบวกของอนุกรมเลขคณิตเราจึงต้องลบพจน์แรกออกไปจากนั้นนำพจน์แรก+กับผลรวมเลขคณิตของผลต่าง
เราก็จะได้พจน์ที่ต้องการหา เช่น 3, 6,10... จงหาพจน์ที่ 501 สังเกตว่า +3,+4,...
501-1=500 จากนั้นใช้สูตรอนุกรมเลขคณิตหาพจนที่ 500 ของลำดับ 3,4,5... เพื่อหาผลบวกของอนุกรมเลขคณิต an=a1+(n-1)d =503
503+3=506

[mercedesbenz]

ตัวอย่างนะครับ
กรณี 2 4 6 8
กรณี d เท่ากัน คือ d=2 แบบนี้เราจะใช้สูตรหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตได้คือสูตร an=a1+(n-1)d แบบนี้จริงไหมครับ

แต่ปัญหาของผมก็คือผมไปเจอโจทย์ประเภทนี้ครับ
-1 2 -3 4
ซึ่งผมไม่สามารถที่จะหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตได้เลย:(:(
ผมผมจึงอยากได้สูตรการหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตผมไปอ่านในหนังสือ ในหนังสือให้ใช้การสังเกตุแต่ในการสังเกตุบางข้อนั้น
ไม่สามารถจะสังเกตุและหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตได้เลย..จึงทำให้เสียเวลากับการทำโจทย์
ผมจึงอยากขอให้ท่านผู้รู้บอกสูตรการหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตให้ผมหน่อยนะครับ
ประเภทแบบว่า มีสูตรนี้หาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตประเภท d ไม่เท่ากันได้ทุกข้อเลยอะครับ
ยังไงขอบคุณมากนะครับ.....


นิยามของลำดับเลขคณิตคือ ลำดับที่ผลต่างที่ได้จากพจน์ที่ $n+1$ ลบด้วยพจน์ที่ $n$ มีค่าคงตัว
ค่าคงตัวนั้นเรียกว่า ผลต่างร่วม $(d)$ ดังนั้น ถ้าลำดับนั้นมี $d$ ไม่เท่ากัน ก็ไม่ใช่ลำดับเลขคณิตครับ
เป็นแค่เพียงลำดับเฉยๆ ถ้าเป็นลำดับทั่วๆไปก็ต้องพิจารณาจากการสังเกต (แต่บางครั้งก็ยากจริงๆครับ)
จากโจทย์ $-1, 2, -3, 4, -5,...$
เนื่องจากเราสังเกตว่า ถ้าไม่มีเครื่องหมายลบ มันเป็นลำดับเลขคณิต แต่เครื่องหมาย ลบ บวก ลบ สลับกันไปอย่างนี้เรื่อยๆ
เกิดจาก $(-1)^n$ ถ้านั้น พจน์ทั่วไปคือ $(-1)^{n}n$

ลองสังเกตอีกตัวอย่าง $3, -5, 7, -9, 11, ... $ จะสังเกตเห็นว่า 3, 5, 7, 9,... เป็นลำดับเลขคณิต
ดังนั้นพจน์ทั่วไปของลำดับนี้คือ $(-1)^{n+1}(2n+1)$ ครับ

ตัวอย่างเพิ่ม ครับ ลองสังเกตสิว่า ลำดับทั่วไปของ $9, 99, 999, 9999, 99999,...$ คืออะไรเอ่ย

[mercedesbenz]

ลองดูตัวอย่างอนุกรมนี้นะครับ 1,5,10,16,23 สังเกตว่าเป็นการ +4,+5,+6,+7...
แสดงว่า23=1+ 4+5+6+7 การจะหาพจน์ที่ n ของอนุกรมข้างต้นต้องนำ เลขลำดับของตัวที่ต้องการหา- 1
ที่มาก็คือเราจะใช้สูตรผลบวกของอนุกรมเลขคณิตเราจึงต้องลบพจน์แรกออกไปจากนั้นนำพจน์แรก+กับผลรวมเลขคณิตของผลต่าง
เราก็จะได้พจน์ที่ต้องการหา เช่น 3, 6,10... จงหาพจน์ที่ 501 สังเกตว่า +3,+4,...
501-1=500 จากนั้นใช้สูตรอนุกรมเลขคณิตหาพจนที่ 500 ของลำดับ 3,4,5... เพื่อหาผลบวกของอนุกรมเลขคณิต an=a1+(n-1)d =503
503+3=506

ถ้าเป็น $1,5,10,16,23,...$ เราเรียกว่า ลำดับครับ ไม่ใช่อนุกรม เพราะมันคนละความหมายกัน
ถ้าเป็นอนุกรมต้องเป็นผลบวกของลำดับอย่างเช่น
$1+5+10+16+23+\cdots $

สูตร ลำดับเลขคณิต $a_n=a_1+(n-1)d$

สูตรอนุกรมเลขคณิต $S_n=\frac{n}{2}[2a_1+(n-1)d]=\frac{n}{2}[a_1+a_n]$