Attachment 3843

ตอบข้อ 4.

$Z_{1} = \frac{1}{Z_{1}^{-1}} \ =\ \displaystyle {\frac{1}{\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i}}\ =\ \displaystyle ({\frac{1}{\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i}})({\frac{\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i}{\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i}}) \ =\ \frac{3}{5}+\frac{4}{5}i$


และ $2Z_{2} \ =\ 5 - 5Z_{1}$

จะได้ $Z_{2} \ =\ 1-2i$ ดังนั้น $\overline{Z_{2}} \ =\ 1+2i$

Attachment 3845

ตอบข้อ 2

1) จะได้ $|\ \overline{u}\ | = \sqrt{1+{\sqrt{3}}^2} = 2$

2) จาก $|\ \overline{u}\ -\ \overline{v}\ | = \sqrt{{{|\ \overline{u}\ |}^2}-{{|\ \overline{v}\ |} ^2}-2\overline{u}\cdot\overline{v}}$
แทนค่าจะได้ $2\overline{u}\cdot\overline{v} = -3$

3)$|\ \overline{u}\ -\ \overline{v}\ | = \sqrt{4+9-3} = \sqrt10$

ข้อนี้ ถ้าถามจำนวนนักเรียนที่สอบได้วิชาภาษาอังกฤษและวิชาคณิตศาสตร์ คงต้องนำ 17 มารวมด้วยครับ
ตอบ 26

:please: ขอบคุณครับ

(ว่าแล้ว ... ถ้าผิด ก็ต้องมีผู้รู้มาช่วย) :haha:
(ทำไปก่อน ผิดถูกยังไง เดี๋ยวก็มีผู้รู้มาช่วยแก้ ... คณิตศาสนตร์ อ่านอย่างเดียว ไม่ถึงนิพพานครับ ... ต้องทำเอง :haha:)

ว่าแต่ คุณkowit pat ฟิตมากครับ
โพสเฉลยทีหลายข้อเลย ถ้าเหนื่อย
ผมก็เป็นกำลังใจให้นะครับ

แฮะ ๆ ไม่ไหวแล้วครับ :wacko:

พอดีเมื่อเช้าว่าง ตอนนี้เข้าใจแล้วครับว่าเหนือ PAT ยังมี Latex :laugh:

ผมคิดว่าข้อสอบชุดนี้เหมาะกับคุณkowit pat. มาก เพราะมีคำว่า PAT เหมือนกันครับ
Attachment 3866
เพราะเป็นลำดับเรขาคณิต ดังนั้น $y = xr, z = xr^2$ โดยที่ $x \not= y = xr$ จะได้ว่า $r\not= 1$
และ $x,2xr, 3xr^2$ เป็นลำดับเลขคณิต แสดงว่า $(x+3xr^2) = 2(2xr) $
$0 = (3r^2-4r+1) = (3r-1)(r-1)$ จะได้ $r = \frac{1}{3}$ เพราะว่า $r\not= 1$ :sung:

Attachment 3867
$f(x) = ax+b; a < 0 $ เพราะเป็นฟังก์ชันลด
จะได้ $f(f(f(f(x)))) = a(a(a(ax+b)+b)+b)+b = a^4x+b(a^3+a^2+a+1) = 16x+45$
จะได้ว่า $a^4 = 16; a = -2$ และ $b(a^3+a^2+a+1) = -5b = 45; b = -9$
ดังนั้น $a+b = -11$ :D

ท่าน Banker กวาดเช่นเดิม :D

รบกวนข้ออนุกรมตรีโกณหน่อยครับ :please:

ว่างแล้ว มาต่อกันสัก 2 ข้อ ดีกว่า
Attachment 3869
และข้อ 29 จัดให้ตามคำเรียกร้องงงงง... :p
Attachment 3872
$\begin{array}{rcl} \sum_{n = 1}^{44} cos \ n^o & = & cos \ 1^o+cos \ 2^o+...+cos \ 43^o+cos \ 44^o \\
& = & (cos \ 1^o+cos \ 44^o)+(cos \ 2^o+cos \ 43^o)+...+(cos \ 22^o+cos \ 23^o)\\
& = & (2cos \ 22.5^ocos \ 21.5^o)+(2cos \ 22.5^ocos \ 20.5^o)+...+(2cos \ 22.5^ocos \ 0.5^o)\\
& = & 2cos \ 22.5^o(cos \ 21.5^o+cos \ 20.5^o+...+cos \ 0.5^o) ---- (1) \end{array}$

$\begin{array}{rcl} \sum_{n = 1}^{44} sin \ n^o & = & sin \ 1^o+sin \ 2^o+...+sin \ 43^o+sin \ 44^o \\
& = & (sin \ 1^o+sin \ 44^o)+(sin \ 2^o+sin \ 43^o)+...+(sin \ 22^o+sin \ 23^o)\\
& = & (2sin \ 22.5^ocos \ 21.5^o)+(2sin \ 22.5^ocos \ 20.5^o)+...+(2sin \ 22.5^ocos \ 0.5^o)\\
& = & 2sin \ 22.5^o(cos \ 21.5^o+cos \ 20.5^o+...+cos \ 0.5^o) ---- (2) \end{array}$

ให้ $a = \dfrac {\sum_{n = 1}^{44} sin \ n^o} {\sum_{n = 1}^{44} cos \ n^o } = \dfrac {สมการ (2)}{สมการ (1)} = \dfrac {sin \ 22.5^o2}{cos \ 22.5^o} = tan \ 22.5^o $

$\begin{array}{rcl} \dfrac {\sum_{n = 1}^{44} cos \ n^o} {\sum_{n = 1}^{44} sin \ n^o } - \dfrac {\sum_{n = 1}^{44} sin \ n^o} {\sum_{n = 1}^{44} cos \ n^o } & = & \dfrac{1}{a}-a = \dfrac{1}{tan \ 22.5^o}-tan \ 22.5^o\\ & = & \dfrac {1-tan^2 \ 22.5^o}{tan \ 22.5^o} = 2(\dfrac {1-tan^2 \ 22.5^o}{2tan \ 22.5^o}) \\ & = & \dfrac{2}{tan \ 45^o} = 2 \ Ans \end{array} $

โจทย์สถิติไม่ทำ เพราะจำไม่ได้และไม่อยากอ่านน... ทำข้อนี้ดีกว่า :p
Attachment 3875
$(x+1)\geqslant 0 และ (3x-1)\geqslant 0 และ (7x-1)\geqslant 0$ ดังนั้น $x\geqslant \dfrac{1}{3}$

$\begin{array}{rcl} (x+1)+(3x-1)+2\sqrt{(x+1)(3x-1)} & = & 7x-1 \\ 2\sqrt{(x+1)(3x-1)} & = & 3x-1\\ (4x+4)(3x-1) & = & (3x-1)(3x-1) \end{array} $
ได้ $ x = \dfrac{1}{3} หรือ -5$ --> แต่ $(x\geqslant \dfrac{1}{3})$, ดังนั้น $ x = \dfrac{1}{3}\ (มีค่าเดียว)$
ได้ $ y = 3x+1 = 3( \dfrac{1}{3})+1 = 2\ $ --> T = {2}
ผลบวกของสมาชิกใน T = 2 ตอบครับ :sung:

ข้อ 13
Attachment 3877
$b=(sin15)(cos15)=\frac{sin30}{2}=\frac{1}{4}$
$a=-\frac{\sqrt{6}}{2}$
$$a^4-b={(-\frac{\sqrt{6}}{2})}^4-\frac{1}{4}$$
$$=\frac{36-2}{16}=2$$
ตอบข้อ 3 ครับ

ข้อ 28
Attachment 3878
$(f_1og)(x)+(f_2oh)(x)=g(x)+h(x)=2$------------(1)
$(f_3og)(x)-(f_4og)(x)={[g(x)]}^2-{[h(x)]}^2+8=4x$
$={[g(x)]}^2-{[h(x)]}^2+=4x-8$------------(2)
จาก (2) จะได้
$[g(x)+h(x)][g(x)-h(x)]=4x-8$
$2[g(x)-h(x)]=4x-8$
$g(x)-h(x)=2x-4$----------(3)
(1)+(3): $2g(x)=2x-2$------>$g(x)=x-1$
(1)-(3): $2h(x)=-2x+6$----->$h(x)=-x+3$
$(goh)(x)=-x+2$
$(goh)(1)=1$

ข้อ 19 ลิมิตฝั่งซ้ายของ 1 เวลาถอด แอ๊บสลูท ออกมาน่าจะ ติดลบข้างหน้าเรือเปล่าครับ เพราะข้างในแอ๊บ จะติดลบนะครับ ถ้าค่าน้อยกว่า 1
เพราะงั้นผมเลยจะได้เป็น a+b = -3 น่ะครับ พอแก้สมการ จะได้ว่า a = 2 , b = -5 , ab = -10

ผิดตรงไหนชี้แนะด้วยนะครับ

ส่วน ข้อ 4 ผมขอแนะนำโดยการ หา x โดยไม่ต้องแบ่งเป็น 3 กรณีให้ยุ่งยาก เพราะยังไงๆเราก็ต้อง อินเตอร์เซคกับช่วง [0,1) อยู่แล้ว
งั้นผมเลย หาคำตอบของ A โดยแยกกรณีเดียวคือ กรณีที่ x เป็น [0,1) ครับ ได้คำตอบเท่ากัน

แต่ถ้าเพื่อความถูกต้อง ใช้วิธีเต็มก็อาจทำให้คนมาอ่านเข้าใจง่ายกว่าครับ

คือ ณ ตอนนี้ ผมได้ทำเฉลยวิธีทำไว้ทุกข้อแล้ว แต่ปัญหาคือ ไม่มีเวลา พิมพ์ และ อ่อนเรื่องการใช้ Latex กับ ไฟล์แนบด้วย งั้น ใครต้องการไอเดียข้อไหน หรือ ต้องการเช็คว่าตัวเองเฉลยถูกหรือเปล่า โพสต์ลงมา แล้วเดี๋ยวผมจะช่วยแนะนำหรือ บางครั้ง ผมอาจจะทำผิดจะได้มาแชร์ๆกันได้ครับ

ข้อ 20.ครับ นักเรียน 30 คน สอบปรากฎว่า ค่าเฉลี่ยเลขคณิต= 60 และ s.d.=10
ผลรวมค่ามาตรฐานทั้ง 30 คน ต้องเท่ากับ 0
ดังนั้น ผลรวมค่ามาตรฐาน 29 คนแรกเป็น 2.5 อีก 1 คนที่เหลือมีค่ามาตรฐานเท่ากับ -2.5
จะได้ว่า$\frac{x_i-60}{10} =-2.5$
$x_i=60-25=35$
ตอบ 1

ข้อ 30
Attachment 3886
จากโจทย์จะได้สมการ 4 สมการคือ
$3(5^a)=5^a+4$-------->$5^a=2$---------(1)
$3b=5^a+b+6=b+8$------->$b=4$---------(2)
$3(2^c)=2^c+d-1$--------(3)
$3d=2d+3$------>$d=3$------(4)
ดังนั้น $2^c=1$----->$c=0$
$\therefore b+c=4+0=4$

ข้อ 32
Attachment 3887
$u=(2,-5)\ \ \ v=(1,2)\ \ \ \ w=(a,b)$
$u\cdot w=2a-5b=-11$----------(1)
$v\cdot w=a+2b=8$--------------(2)
จาก (1),(2) -------> $a=2,b=3$------>$w=(2,3)$
ให้ $z=(5,1)$------->$w\cdot z=13$
$|w||z|=(\sqrt{13})(\sqrt{26})=13\sqrt{2}$
$\because w\cdot z=|w||z|cos\theta$
$\therefore 13=13\sqrt{2}cos\theta$
$cos\theta=\frac{1}{\sqrt{2}}$---->$\theta=45$
$tan\theta+sin2\theta=tan45+sin90=2$

ข้อ29...ผมเสนออีกวิธีหนึ่งครับ
$\sum_{n = 1}^{44} sin \ n^o = sin \ 1^o+sin \ 2^o+...+sin \ 43^o+sin \ 44^o =A$
$ \sum_{n = 1}^{44} cos \ n^o = cos \ 1^o+cos \ 2^o+...+cos \ 43^o+cos \ 44^o =B$
$cos \ 1^o+cos \ 2^o+...+cos \ 43^o+cos \ 44^o=sin \ 46^o+sin \ 47^o+...+sin \ 88^o+sin \ 89^o= B$

$A+B=(sin \ 1^o+sin \ 2^o+...+sin \ 43^o+sin \ 44^o ) +(sin \ 46^o+sin \ 47^o+...+sin \ 88^o+sin \ 89^o)$
$=(sin \ 1^o+sin \ 89^o)+(sin \ 2^o+sin \ 88^o)...+(sin \ 43^o+sin \ 47^o ) +(sin \ 44^o+sin \ 46^o)$
$=(2sin \ 45^o cos \ 44^o)+(2sin \ 45^o cos \ 43^o)+(2sin \ 45^o cos \ 42^o)+...+(2sin \ 45^o cos \ 2^o)+(2sin \ 45^o cos \ 1^o)$
$= 2sin \ 45^o(cos \ 1^o+cos \ 2^o+...+cos \ 43^o+cos \ 44^o)$
จะได้ว่า$A+B= 2\times \frac{\sqrt{2}}{2} \times B $
$A+B= \sqrt{2}B$
$A=(\sqrt{2}-1)B$
โจทย์ถาม$\frac{B}{A} -\frac{A}{B} $
$\frac{B}{A}=\frac{1}{\sqrt{2}-1} = \sqrt{2}+1$
$\frac{A}{B} =\sqrt{2}-1$
$\frac{B}{A} -\frac{A}{B} = \sqrt{2}+1-(\sqrt{2}-1) = 2$
ตอบ $ 2 $

ถูกต้องแล้วครับ :great:

ข้อ 31 ตอบ 4
https://docs.google.com/fileview?id=...YWY1Nzkx&hl=en

เอารูปมาใส่ให้ เดี๋ยวจะหายไปก่อน :D

ลองดูข้อนี้ซิครับว่าคำตอบคืออะไร และ สทศ. ที่แจกเฉลยให้ตามโรงเรียน เฉลยว่าอย่างไร เอามาให้วิจารณ์อีกข้อครับ
อย่าลืมนี่เป็นข้อสอบ PAT (pumpumpurpur and tingtong)

ได้ 362 หรือเปล่าครับ แต่ผมสงสัยครับว่า ตอบผิด กับ ไม่ตอบ นี่คนละวิธีกันหรือเปล่าครับ :confused:

อันนี้แหละที่เป็นประเด็น เพราะรู้มาว่าทาง สทศ.เฉลย ว่า.... ก็เลยอยากรู้ว่า ใครเคยเห็นของจริงหรือยังผมยังไม่เห็นของจริง เพียงแต่ได้ยินข่าวจากหลายๆคน เลยจะเช็คข่าว ก่อนระหว่างรอต้นฉบับที่เฉลย :)

จุดประสงค์ก็เพื่อวิจารณ์เพื่อให้เกิดการแก้ไขครับ

ทางโรงเรียนผมได้ขอเฉลยจากทาง สทศ มาแล้วครับ
ขอยืนยันว่า ตอบ 352 เกิดจาก 252 + 100 ครับ

ผมยังไม่ได้เห็นต้นฉบับ เท่าที่ทราบมาก็เป็นเช่นนั้น ซึ่ง คิดว่าทางคนออกข้อสอบคิดกรณี ของการตอบผิดกับไม่ตอบ (ได้ 0 คะแนน) เป็นวิธีเดียวกัน โดยดูจากคำตอบเป็นหลัก(ถ้าเดาไม่ผิด) ในข้อเท็จจริงผมเชื่อว่าถ้าใช้สติและฟังเหตุผลน่าจะรู้ได้ว่าเป็นคนละกรณีกัน
และนี่ก็เป็นอีกคำถามหนึ่งในหลายๆครั้งที่ข้อสอบ GAT-PAT ถึงได้เกิดการผิดพลาดได้ตลอดเวลา ทำให้คะแนนของคนคิดผิดได้ + 7 แต่คนคิดถูกกับได้ 0 นี่แหละ สทศ (สุดทางของการศึกษา):nooo::nooo::sweat:

ผมคิดว่าประเด็นคือจะนับเป็น 1 วิธีเมื่อได้คะแนนรวมเป็น 45 คะแนน
ซึ่งแบ่งได้เป็น 2 กรณี คือ
1. ทำข้อ1-10 ถูกทั้ง 10 ข้อ และ ทำข้อ 11-20 ถูก 5 ข้อ (ข้อที่เหลือจะทำผิดหรือไม่ทำก็ไม่มีผลต่อคะแนนรวม ถือว่าเป็นวิธีเดียวกัน)
2. ทำข้อ1-10 ถูกทั้ง 9 ข้อ และ ทำข้อ 11-20 ถูก 9 ข้อ (ข้อที่เหลือจะทำผิดหรือไม่ทำก็ไม่มีผลต่อคะแนนรวม ถือว่าเป็นวิธีเดียวกัน)

หมายเหตุ เวลาเราส่งกระดาษคำคอบไป ข้อที่เหลือเราทำผิด หรือเราไม่ทำ ผลคะแนนก็ออกมาเหมือนกัน ทั้งๆ ที่เราทำคนละวิธี

รบกวนเรื่อง Pat 1 ก.ค. 53 เรื่อง ลิมิตอนันต์
 

ตรงที่วงกลมทำไมถึงต้องเป็นแบบนี้(ในวงกลม) คะ

$$a_n=\frac{2a_1}{n^2+n}$$

ขอบคุณมากๆคะ เข้าใจแล้วคะ :)

ข้อ 34 นี้มันสมาคมปี 52 นี่ ดัดแปลงซะเนียนเชียว :dry:

แต่วิธีคิดข้างบนถ้าแสดงวิธีทำอาจถูกหักคะแนนได้นะครับ (พิสูจน์ก็ไม่ได้ยากอะไรหรอกนะ :happy: )

เริ่มจากโจทย์ $a_1+a_2+...+a_n=n^2a_n$

บวก $a_{n+1}$ เข้าไปได้ $(n+1)^2a_{n+1}=n^2a_n+a_{n+1}$

จัดรูปนิดหน่อยเป็น $a_{n+1}=\frac{n}{n+2}a_n$

ใช้ telescopic production อีกนิดก็ได้ว่า $a_n=\frac{2}{n(n+1)}a_1$

แต่ก่อนจะมาเป็นสมาคม 52 ก็เป็น BMO รอบแรกของปีประมาณ 96 (39) ถ้าจำไม่ผิดนะครับ. :laugh:

ลอกกันไปลอกกันมา !!!!

55+
ไม่แปลกๆ FE ยังออกได้เลย

Suwiwat B ปีนี้นาย ent ไหนๆ

LightLucifer ปีนี้นาย ent ไหนๆ :laugh:

คงหมอแหละ มีคุณค่าทางจิตใจดี 55+