ข้อสอง เรขาค่าย1 ปี2554 ผมได้ว่ามันไม่จริงอะครับ
|
ผมรู้แล้วครับ FE ข้อ 6 ที่ติดข้องกันอยู่อาจารย์ให้โจทย์ผิดมาครับ รู้สึกจะต้องเป็น
$$f(x-f(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x)-2$$ เหมือนว่าอาจารย์ต้องการแปลงโจทย์จาก IMO 1999 จาก -1 เป็น -2 ครับ |
#45 AM.-GM. $\sqrt{a}\sqrt{2ab+2+a}\le [a+(2ab+2+a)]/2=a+ab+1$ ครับ
|
ขอบคุณครับ พี่จูกัดเหลียง
|
พีชคณิต ค่าย2 ปี 2554 ข้อ 3 จะทำไงหรอครับ
ปล.ผมยังไม่เคยเรียนFE แล้วดันมาเรียนวิชาสุดท้ายเลย ผมยังทำไม่เป็นเลย:cry::cry: คือให้แทน x,y เป็นอะไรก้ได้แล้วก็ลบๆบวกๆหา f(x) ให้ได้ แบบนี้หรอครับ:please::please::please: อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
|
กลับมาบอกรุ่ยต่อไปครับ
ค่าย1 78คะแนนติดค่ายสอง สูงสุดปีนี้200คะแนน เต็ม250 |
พีชคณิต. ค่ายสองยากจังเลยครีบไว้ว่างๆจะแสกนให้
4.จงหาจำนวนตรรกยะx y zทั้งหมดที่ทำให้ X+y+z,xyz,1/x+1/y+1/z. เป็นจำนวนเต็ม ปล.ที่ไม่พิมlatexเพราะ พิมในโทรศัพท์นะครับ |
เนื่องจาก $xyz, \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} \in \mathbb{Z}$
$\therefore xy+yz+zx \in \mathbb{Z}$ ให้ x,y,z เป็นรากของ $k^3+ak^2+bk+c = 0$ $\because a=-(x+y+z), b = xy+yz+zx, c=-xyz$ $\therefore a,b,c \in \mathbb{Z}$ ให้รากตรรกยะของสมการนี้อยู่ในรูป $\dfrac{p}{q}, p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}$ จะได้ $q|1$ ดังนั้น $q = 1$ ดังนั้น $x,y,z \in \mathbb{Z}$ จึงเป็นการเพียงพอที่จะ solve $ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} \in \mathbb{Z}$ (ซึ่งยังยากอยู่ดี ;);)) |
คอมบิมีimoข้อ6ด้วยครับ สมบัติp อะใรนั่น ผมดันลืมเสียดายมาก
โจทย์คือ การเรียชสับเปลี่ยนของ$x_1x_2...x_2n$ของเซต{1,2,...,2n}โดยที่ n€N จะเรียกว่ามีสมบัติP ถ้ามี i€{1,2,...,2n-1} อย่างน้อยหนึ่งค่าที่ $|x_i-x_{i+1}|=n$ จงแสดงว่า สำหรับแต่ละ n จะมีการเรียงสับเปลี่ยนที่มีสมบัติPอยู่มากกว่าที่ไม่มีสมบัติP มาเพิ่มอีกนิด เอาตัวพิมพ์ไปก่อนละกัน เรขา มีข้อนี่น่าสนใจ 5.กำหนดสามเหลี่ยมabc สร้างรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าออกไปภายนอกบนด้านab เรียกabr สำหรีบจุดXใดๆในระนาบจงพิสูจน์ว่า XA+XB+XC >,= RC และจงหาเงื่อนไขที่เกิดสมการ พืช 3.จงหาpที่ทำให้สมการ $5x^3-5(p+1)x^2+(71p-1)x-(66p-1)=0$ มีรากเป็นจำนวนเต็มบวกสามราก NT 1.ให้pเป็นจำนวนเฉพาะที่หารด้วย4แล้วไม่เหลือเศษ3 จงแสดงว่ามีจำนวนเต็ม a,b ที่ทำให้ $a^2+b^2$ หารด้วยpลงตัว โดยที่ a,b หารด้วยpไม่ลงตัว |
อ้างอิง:
นั่นคือ สำหรับจำนวนเฉพาะใดๆ, $$\Big[ \Big( \frac{p-1}{2} \Big) ! \Big] ^2 \equiv (-1)^{\frac{p+1}{2}} \pmod{p}$$ แต่เพราะ $p \equiv 1 \pmod{4}$ เท่านั้น แสดงว่า $$\frac{p+1}{2} \equiv 1 \pmod{2}$$ ดังนั้น $$\Big[ \Big( \frac{p-1}{2} \Big) ! \Big] ^2 \equiv -1 \pmod{p}$$ $$\Big[ \Big( \frac{p-1}{2} \Big) ! \Big] ^2 +1^2 \equiv 0 \pmod{p}$$ แสดงว่ามีจำนวนเต็ม $a=\Big( \dfrac{p-1}{2} \Big) !$ และ $b=1$ ที่โจทย์ต้องการ ส่วนในกรณีที่ $p=2$ ก็ใช้ $a=b=1$ ได้ครับ (ลืมไปว่าโจทย์ไม่ได้กำหนดว่าเป็นจำนวนเฉพาะคี่ :p) |
อ้างอิง:
โดยเราจะเลือกทีละตัวจับมาเรียงกัน และพิจารณาการหยิบจากตารางดังต่อไปนี้ $$\vmatrix{1 \\ 2 \\ \vdots \\ n} \vmatrix{n+1 \\ n+2 \\ \vdots \\ n+n}$$ ถ้าเราเลือกตัวหนึ่งขึ้นมา ตัวถัดไปที่เลือกต้องไม่ใช่แถวเดียวกัน และในการเลือกตัวต่อไปก็ในทำนองเดียวกัน ดังนั้น จำนวนวิธีจึงเป็น $$2n(2n-2)(2n-3) \cdots (3)(2)(1)=\frac{(2n)!}{2n-1}$$ แต่จำนวนวิธีสับเปลี่ยนทั้งหมดคือ $(2n)!$ ซึ่งสำหรับ $n \ge 2$ จะได้ว่า $$\frac{(2n)!}{2} > \frac{(2n)!}{2n-1}$$ หรือก็คือ จำนวนวิธีที่ไม่มีสมบัติ P มีน้อยกว่าครึ่งหนึ่งของจำนวนวิธีทั้งหมด หรือก็คือ จำนวนวิธีที่มีสมบัติ P มีมากกว่าจำนวนวิธีที่ไม่มีสมบัติ P # ส่วนในกรณี $n=1$ ชัดเจนอยู่แล้ว ( วิธีทำผมมันดูแปลกๆยังไงไม่รู้นะครับ รู้สึกไม่มั่นใจเลย :sweat: ) |
เรขาครับ
พิจารณาเพียงกรณี จุด P อยู่ข้างใน \triangle ABC โดย Ptolemy จะได้ว่า AP*BR+BP*AR\geqslant AB*PR ดังนั้น AP+BP\geqslant PR AP+BP+CP\geqslant PR+CP AP+BP+CP\geqslant RC |
พีชคณิต
ให้ $a,b,c$ เป็นราก จะได้ $(a-1)(b-1)(c-1)=0$ ที่เหลือน่าจะไปต่อได้ ที่น่าสนใจคือ NT เปลี่ยนเป็น ทุกๆ $a$ จะมี $b$ แล้วจะจริงไหม ?? |
update ข้อสอบค่าย 2 ปีล่าสุด กำลังทยอยลงครับ
|
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 23:57 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha