พิสูจน์ ช่วยหน่อยครับ

[mobbolla]

จงแสดงว่า ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะคี่แล้ว $$ 2(p-1)! \equiv -1( mod p) $$

[PP_nine]

หมายถึงตัวนี้หรือเปล่าครับ

$(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}$

[nooonuii]

ถ้า $p=3$ ก็ปิ๋วแล้ว

[mobbolla]

นั้นสิครับอาจาร์ยให้โจทย์มาผิดแหง

[PP_nine]

ไม่งั้นก็

สำหรับจำนวนเฉพาะคี่ $p$ จงพิสูจน์ว่า $2(p-3)! \equiv -1 \pmod{p}$

[mobbolla]

แต่โจทย์มาแบบที่ผมเขียนเลยอะสิครับ

แล้วถ้า ให้ p เป็นจำนวนเฉพาะคี่แล้ว จงแสดงว่า $$ 1^2\cdot 3^2\cdot ...\cdot (p-2)^2 \equiv (-1)ยกกำลัง((p+1)/2)$$ อะครับ

[PP_nine]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ mobbolla

แล้วถ้า ให้ p เป็นจำนวนเฉพาะคี่แล้ว จงแสดงว่า $$ 1^2\cdot 3^2\cdot ...\cdot (p-2)^2 \equiv (-1)^\frac{p+1}{2} \pmod{p}$$ อะครับ

let $A=1^2 \cdot 3^2 \cdots (p-2)^2$ and $B=2^2 \cdot 4^2 \cdots (p-1)^2$

by Wilson's theorem, $(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}$

then, $AB \equiv 1 \pmod{p}$

but $B=2^{p-1} \Big[ \Big( \frac{p-1}{2} \Big) ! \Big] ^2$

lemma

$\Big[ \Big( \frac{p-1}{2} \Big) ! \Big] ^2 \equiv (-1)^{\frac{p+1}{2}} \pmod{p}$

because

$1(p-1) \equiv -1^2 \pmod{p}$

$2(p-2) \equiv -2^2 \pmod{p}$

$\vdots$

$\Big( \frac{p-1}{2} \Big) \Big( \frac{p+1}{2} \Big) \equiv -\Big( \frac{p-1}{2} \Big) ^2 \pmod{p}$

thus,

$(p-1)! \equiv (-1)^{\frac{p-1}{2}} \Big[ \Big( \frac{p-1}{2} \Big) ! \Big] ^2 \pmod{p}$

$\Big[ \Big( \frac{p-1}{2} \Big) ! \Big] ^2 \equiv (-1)^{\frac{p+1}{2}} \pmod{p}$

by Fermat's little theorem and lemma,

$B \equiv (-1)^{\frac{p+1}{2}} \pmod{p}$

$\therefore A \equiv (-1)^{\frac{p+1}{2}} \pmod{p}$

[mobbolla]

ขอบคุณครับ

lemma คือ ท.บ. หรอครับ

[PP_nine]

คือบทแทรกประมาณเนี้ยแหละครับๆ

[mobbolla]

อ่อ ขอบคุณมากครับ

[nooonuii]

Lemma = บทตั้ง

Corollary = บทแทรก

[polsk133]

ขอบคุณ#11มากครับ