ตอนที่3 ข้อที่21-30 5คะแนน

21. ใส่รูปไม่เป็น ขอข้ามนะครับ --*

22.ถ้า $3x^2 +kxy −2y^2 − 7x +7y − 6$ แยกตัวประกอบในรูปเชิงเส้นและมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มจงหาค่า k

23.ในการทอยลูกเต๋า 3ลูกพร้อมกัน 1ครั้ง จำนวนวิธีผลรวมของแต้มบนหน้าลูกเต๋ามีค่าเท่ากับ 14 มีอยู่ทั้งหมดกี่วิธี

24.O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม โดยมีเส้นผ่านศูนย์กลางยาว 34ซม. คอร์ดAB ตัดกับคอร์ดCD เป็นมุมฉากที่จุด x ถ้าคอร์ดAB ยาว 2√253 ซม. และOX ยาว 10ซม.จงหาผลคูณของความยาวของCX กับความยาวของXD เป็นกี่เซนติเมตร

25.จงหาเศษของการหาร $1032^{1032}$ ด้วย 100 เป็นเท่าไร

26. กำหนด a,b เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่ $A = \left\{\,1,2,3,4,...,2010\right\}$ ถ้าเลือก a และ b จาก A นำมาสร้างเป็นคู่อันดับ $\left(\,a,b\right)$ โดยที่ $\left|\,a-b\right| \leqslant 4$ จะสร้าง $\left(\,a,b\right)$ ได้กี่คู่อันดับที่สอดคล้องกับเงื่อนไขดังกล่าว

27. กำหนดให้ N เป็นจำนวนนับ และ N! = N(N-1)(N-2)...(1) เช่น 5! = 5x4x3x2x1 ให้ A = 1!+2!+...+100! เลขโดด C เป็นตัวเลขในหลักหน่วยของ A และเลขโดด D เป็นตัวเลขในหลักหน่วยของ $\frac{A}{10}$ จงหาค่าของ C+D

28. บทนิยาม สำหรับจำนวนเต็มบวก n กำหนด Sum(n) แทนผลบวกของเลขโดดทุกจำนวนที่เขียนแทน n ในระบบเลขฐานสิบ เช่น Sum(976) = 9+7+6 = 22 กำหนด
$$n = \left(\,14^\frac{1}{8} - 7^\frac{1}{16}\right)\left(\,14^\frac{1}{4} + 7^\frac{1}{8} \right)\left(\,14^\frac{1}{2} + 7^\frac{1}{4} \right)\left(\,14 + 7^\frac{1}{2} \right)\left(\,7^\frac{1}{16}\right)\left(\,28^\frac{1}{16} + 1\right)$$
จงหาค่าของ Sum(n)

29. กำหนด x,y และ z เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่งสอดคล้องกับสมการ
xyz + 10xy + 6yz + 8zx + 80x + 60y + 48z = 2072 จงหาค่าของ 2x + 3y + 4z เป็นเท่าไร

30. กำหนด (a+b+c) + (b+c+d) + (c+d+a) + (d+a+b) = 2009
และ $\frac{1}{a+b+c} + \frac{1}{b+c+d} + \frac{1}{c+d+a} + \frac{1}{d+a+b} = \frac{9}{49}$
จงหาค่าของ $\frac{a}{b+c+d} + \frac{b}{c+d+a} + \frac{c}{d+a+b} + \frac{d}{a+b+c}$ เป็นเท่าไร

คำตอบผม

21. 196
22. 5
23. 15
24. 189
25. 76
26. 12150
27. 4
28. 18
29. 89
30. 119

ขอวิธีคิดข้อ 29 ด้วยครับ

ข้อ 21 ผมมั่วได้ 350 ซะงั้น

สรุปแล้วพลาดข้อละ 5 คะแนนเยอะมาก :died:

ข้อ 24 ผมได้ 279 cm ครับ

ข้อ21ใครก็ได้ช่วยเฉลยทีครับ แบบละเอียดนะครับ

ข้อ29ได้ว่า
(x+6)(y+8)(z+10)=2552
2552=8*11*29
ได้ว่า x=2 y=3 z=19
หรือ x=2 y=21 z=1

ได้คำตอบเป็น 89 กับ 71:p

ได้โปรดแยกให้ดูหน่อยครับ:please::please:

ตอนที่หนึ่ง ข้อ1-10 3คะแนน

1. จงหาค.ร.น. ของ 84 90 และ 120

2. จงหาผลบวกของจำนวนเฉพาะ 9 จำนวนแรก มีค่าเท่ากับเท่าไร

3. จงหารากที่สามของ 91125

4. จงหาจำนวน 5 หลักที่มีค่ามากที่สุดที่หารด้วย 654 ลงตัว

5. จงหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ABCD เมื่อ AB = 48cm AC = 50cm

6. $ A = x^2 + 3x + 9\; และ\; B = x^2 - 3x + 9\; ถ้า \;AB = ax^4 + bx^2 + c\; แล้ว\; a+b+c\; มีค่าเท่าใด $

7. N เป็นจำนวนเต็มบวกที่หารด้วย 5,4,3,2 แล้วเหลือเศษ 4,3,2,1 ตามลำดับ ค่าต่ำสุดของ N ที่ทำให้ 11 หารลงตัวมีค่าเท่าใด

8. ถ้า $x = \sqrt{\frac{6}{7}} $ จงหาค่าของ $42 \left(\,x + \frac{1}{x}\right)^2 $

9. ถ้า m หารด้วย 10 เหลือเศษ 5 และ n หารด้วย 10 เหลือเศษ 2 แล้ว 3m-2n หารด้วย 5 เหลือเศษ p จงหาค่าของ p+3

10. ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมซึ่งมี AB:BC:CA = 2:5:4 อัตราส่วนของส่วนสูงทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม ABC (AD:BE:CF) มีค่าเท่าไร (ตอบเป็นอัตราส่วนอย่างต่ำ)

ตอนที่สอง 11-20 4คะแนน

11. ก้อยเขียนหนังสือและพิมพ์จำหน่ายจำนวน 2000 เล่ม ในช่วงแรก ขายได้ 1400 เล่ม ได้กำไร 20% ต่อมา ขายหนังสือที่เหลือขาดทุน 30% สุดท้ายเขาได้กำไรหรือขาดทุนร้อยละเท่าใด

12. จงหารากของสมการ $ \sqrt{x^2 + 2x - 2\sqrt{x^2 - 2x + 10}} - x = 0 $

13. ทรงกระบอกมีรัศมี $ 1\frac{2}{3} $ เซนติเมตร บรรจุในกรวยกลมที่มีรัศมี 5 เซนติเมตร และสูง 12 เซนติเมตร โดยที่ขอบของทรงกระบอกด้านบนอยู่ในระนาบเดียวกันกับฝากรวยกลมพอดี จงหา เก้าเท่าของปริมาตรของทรงกระบอกนี้ว่ากี่ลูกบาศก์เซนติเมตร (ตอบในรูปของ $\Pi$ )

14. รูปสามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านตรงข้ามมุมฉาก คือ AB, AC = 8 ซม. และ BC = 6 ซม. จุด D เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน AB จากจุด D ลากเส้นตั้งฉากกับ AB บน AC ที่จุด E จงหาความยาวของ DE กี่เซนติเมตร (ตอบเป็นทศนิยม 2 ตำแหน่ง)

15. ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า มี AB = 50 หน่วย BC = 40 หน่วย E เป็นจุดบน CD ทำให้ B$\hat A$C = C$\hat A$E จงหาพื้นที่รูปสามเหลี่ยม ADE เป็นกี่ตารางหน่วย

16. ชายคนหนึ่งต้องเดินทางไปทำงานโดยเดินจากที่พักผ่าน 4 ช่วยตึกไปทางทิศตะวันออกและเดินไปทางทิศเหนืออีก 3 ช่วงตึก จึงจะถึงที่ทำงานถ้าเขียนแผนการเดินทางผ่านช่วงตึก 1 ช่วงคือ ผ่าน 1 ช่อง ในตาราง 7x7 จงหาจำนวนเส้นทางการเดินที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่ชายคนนี้เดินทางไปทำงาน

17. AD เป็นส่วนสูงของรูปสามเหลี่ยม ABC ส่วนของเส้นตรง PQ, RS และ BC ขนานกัน โดยที่ส่วนของเส้นตรง PQ และ RS ตัด AD ที่จุด M และ N ตามลำดับ ถ้า AM = MN = ND และ พื้นที่รูปสี่เหลี่ยม PQSR เท่ากับ 24 ตารางหน่วย จงหาพื้นที่รูปสามเหลี่ยม ABC เป็นกี่ตารางหน่วย

18. จงหาจำนวนวิธีในการสร้างจำนวนคู่บวก 3 หลักจากเลขโดด 0,2,3,4,5,6,7 และไม่ใช้ตัวเลขโดดซ้ำกัน

19. กำหนด a,b,c เป็นคำตอบของสมการ $ x^3 - 3x^2 + kx - 12 = 0 $ จงหาค่า k ที่ทำให้ ab = -6

20. จงหาค่า k ที่เป็นบวกที่ทำให้กราฟของเส้นตรง $y-2x-k=0$ สัมผัสกราฟวงกลม $ x^2 + y^2 = 20 $

ตอนที่3 ข้อที่21-30 5คะแนน

21. ไม่ได้ใส่รูป

22.ถ้า $3x^2 +kxy −2y^2 − 7x +7y − 6$ แยกตัวประกอบในรูปเชิงเส้นและมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มจงหาค่า k

23.ในการทอยลูกเต๋า 3ลูกพร้อมกัน 1ครั้ง จำนวนวิธีผลรวมของแต้มบนหน้าลูกเต๋ามีค่าเท่ากับ 14 มีอยู่ทั้งหมดกี่วิธี

24.O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม โดยมีเส้นผ่านศูนย์กลางยาว 34ซม. คอร์ดAB ตัดกับคอร์ดCD เป็นมุมฉากที่จุด x ถ้าคอร์ดAB ยาว 2√253 ซม. และOX ยาว 10ซม.จงหาผลคูณของความยาวของCX กับความยาวของXD เป็นกี่เซนติเมตร

25.จงหาเศษของการหาร $1032^{1032}$ ด้วย 100 เป็นเท่าไร

26. กำหนด a,b เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่ $A = \left\{\,1,2,3,4,...,2010\right\}$ ถ้าเลือก a และ b จาก A นำมาสร้างเป็นคู่อันดับ $\left(\,a,b\right)$ โดยที่ $\left|\,a-b\right| \leqslant 4$ จะสร้าง $\left(\,a,b\right)$ ได้กี่คู่อันดับที่สอดคล้องกับเงื่อนไขดังกล่าว

27. กำหนดให้ N เป็นจำนวนนับ และ N! = N(N-1)(N-2)...(1) เช่น 5! = 5x4x3x2x1 ให้ A = 1!+2!+...+100! เลขโดด C เป็นตัวเลขในหลักหน่วยของ A และเลขโดด D เป็นตัวเลขในหลักหน่วยของ $\frac{A}{10}$ จงหาค่าของ C+D

28. บทนิยาม สำหรับจำนวนเต็มบวก n กำหนด Sum(n) แทนผลบวกของเลขโดดทุกจำนวนที่เขียนแทน n ในระบบเลขฐานสิบ เช่น Sum(976) = 9+7+6 = 22 กำหนด
$$n = \left(\,14^\frac{1}{8} - 7^\frac{1}{16}\right)\left(\,14^\frac{1}{4} + 7^\frac{1}{8} \right)\left(\,14^\frac{1}{2} + 7^\frac{1}{4} \right)\left(\,14 + 7^\frac{1}{2} \right)\left(\,7^\frac{1}{16}\right)\left(\,28^\frac{1}{16} + 1\right)$$
จงหาค่าของ Sum(n)

29. กำหนด x,y และ z เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่งสอดคล้องกับสมการ
xyz + 10xy + 6yz + 8zx + 80x + 60y + 48z = 2072 จงหาค่าของ 2x + 3y + 4z เป็นเท่าไร

30. กำหนด (a+b+c) + (b+c+d) + (c+d+a) + (d+a+b) = 2009
และ $\frac{1}{a+b+c} + \frac{1}{b+c+d} + \frac{1}{c+d+a} + \frac{1}{d+a+b} = \frac{9}{49}$
จงหาค่าของ $\frac{a}{b+c+d} + \frac{b}{c+d+a} + \frac{c}{d+a+b} + \frac{d}{a+b+c}$ เป็นเท่าไร

คำตอบของผม

1. 2520
2. 100
3. 45
4. 99408
5. 672
6. 91
7. 539
8. 169
9. 4
10.
11. กำไร 5%
12. 5
13. $200\pi$
14. 3.75 ซม.
15.
16.
17. 72
18. 105
19. -16
20.
21.
22.
23. 15
24.
25. 76
26.
27. 4
28.
29.
30.

ที่ตอบมา คือ มั่นใจ ส่วนที่ว่างไว้คือ....

สรุปแล้ว คะแนนสูงสุดที่เป็นไปได้ คือ 70

ตอนนี้ผมติดข้อ
7,10,11,15,16,18,20,22,23,24,25

รบกวนถ้าสะดวกยังไงช่วยแสดงวิธีคิดซักเล็กน้อยให้ด้วยนะครับ:cry::please:

ข้อ7 หา ค.ร.น. ของ5,4,3,2 คูณ11 ลบด้วย ห.ร.ม. ของ4,3,2,1 ครับ แต่ผมไม่เข้าใจว่าทำไมต้องเอา11คูณก่อนลบ--* เพราะตามหลักจริงๆต้องลบก่อนแล้วค่อยคูณ...รอคนอธิบายเพิ่มเติมครับ
ข้อ10 ต้องวาดรูปถึงเข้าใจ--*....วาดรูปตามที่กำหนดมาครับจากนั้นก็ลากส่วนสูงให้ตั้งฉากกับด้านทั้ง3
จะได้ว่าAD*5=BE*4=CF*2=พ.ท.3เหลี่ยมABC จากนั้นก็หาอัตราส่วนธรรมดาครับ
ข้อ11
กำหนดให้แต่ละเล่มนั้นเราขายราคาXบาท ดังนั้นทุน=2000X
ตอนแรกขาย1400 ได้กำไร20% ดังนั้นราคาขาย=1400X*120/100=1680X
หนังสือที่เหลือ600เล่มขายขาดทุน30%ดังนั้นราคาขาย=600X*70/100=420X
นำราคาที่ขายไปทั้งหมดรวมกันได้2100X ซึ่งมากกว่าต้นทุนคือ2000Xดังนั้นจึงกำไร=100X*100/2000X=5
กำไร5%
ข้อ15 ต้องวาดรูปแล้วใช้ตรีโกณอะครับข้อนี้ไม่วาดรูปให้ดูแล้วช่วยไม่ได้จริงๆครับ--* ต้องรอคนวาดรูปลงคอมสแกนให้อะครับ ลองใช้ตรีโกณสิครับจาได้ พ.ท.=180
ข้อ16 ผมไม่แน่ใจอะครับ ต้องสร้างตารางขนาด7*7 ตามที่บอกแล้วนับจุดด้านข้างจะได้ 29c2*22c2=110055 วิธี ครับ(ข้อนี้ผมเดาอะครับ)
ข้อ18 ต้องคิดแยกกรณีครับ
กรณีแรก ให้เลข0 อยู่หลังสุด(หน่วย) หลักร้อยที่เป็นไปได้คือ 2,3,4,5,6,7 6ตัว หลัก10ที่เป็นไปได้ก็จะเหลือ5ตัว กรณีแรกได้6*5=30แบบ
กรณี2 ให้เลข 2,4,6 อยู่หลักหน่วย หลักร้อยที่เป็นไปได้จะมี5ตัว ต่อมาหลักสิบที่เป็นไปได้ก็จะมี5ตัวเช่นกัน กรณี2ได้5*5*3=75แบบ
นำสองกรณีมารวมกันได้105แบบ ครับ
ข้อ20 จัดy=2x+kจากนั้นแทนในสมการวงกลมได้$5x^2+4kx+k^2-20$=0 การสัมผัสคือการที่เส้นตรงตัดกับวงกลมได้เพียงจุดเดียว
จึงให้สมการที่แทนแล้วนั้นเทียบสูตร $b^2-4ac$=0ครับ(เพราะให้คำตอบเพียงจุดเดียว)
แก้สมการแทนค่าโดยb=4k a=5 c=$k^2-20$ จะได้k=10หรือ-10 แต่กำหนดค่าบวก ตอบเฉพาะ10ครับ
ข้อ22 ต้องลองใช้เซนส์ในการแยกตัวประกอบหน่อยอะครับ...โดยแยก2วงเล็บ3พจน์ ลองแทนๆดูอะครับจะได้
(3X )(X ) ก่อนจากการดู ต่อมาดูหลักหน่วยตัวหลังจะเห็นว่ามี-7xอยู่ด้วย จึงลองแทนในวงเล็บถัดมาแบบนี้
(3X +2)(X -3) ถัดจากนั้นคือพจน์กลางที่เป็นYจะสังเกตุเห็นว่าพวน์กำลัง2=-2$Y^2$แสดงว่าต้องแยกได้2YกับYอย่างแน่นอนแต่เครื่องหมายบวกลบข้างหน้าต้องไปดูอีกทีที่7Y
ก็จะได้ว่าถ้าลองแทนแบบนี้
(3X-Y+2)(X+2Y-3) ค่าของYมันจะเท่ากับ7Yพอดี...จากนั้นก็กระจายพจน์ในวงเล็บออกมาและเทียบสัมประสิทธ์ให้ตรงกันก็จะได้ว่าK=5 ครับ

ข้อ23 ก็ลองเขียนวิธีลงไปเลยครับจะได้15วิธี ตามนี้เลยครับ
ถ้าลูกหนึ่งขึ้น6 ลูก2ขึ้น6 ลูก3จะต้องขึ้น2 จึงจะรวมได้14
ถ้าลูกหนึ่งขึ้น6 ลูก2ขึ้น5 ลูก3จะต้องขึ้น3 จึงจะรวมได้14
ถ้าลูกหนึ่งขึ้น6 ลูก2ขึ้น4 ลูก3จะต้องขึ้น4 จึงจะรวมได้14
ถ้าลูกหนึ่งขึ้น6 ลูก2ขึ้น3 ลูก3จะต้องขึ้น5 จึงจะรวมได้14
ถ้าลูกหนึ่งขึ้น6 ลูก2ขึ้น2 ลูก3จะต้องขึ้น6 จึงจะรวมได้14
ถ้าลูกหนึ่งขึ้น5 ลูก2ขึ้น6 ลูก3จะต้องขึ้น3 จึงจะรวมได้14
ถ้าลูกหนึ่งขึ้น5 ลูก2ขึ้น5 ลูก3จะต้องขึ้น4 จึงจะรวมได้14
ถ้าลูกหนึ่งขึ้น5 ลูก2ขึ้น4 ลูก3จะต้องขึ้น5 จึงจะรวมได้14
ถ้าลูกหนึ่งขึ้น5 ลูก2ขึ้น3 ลูก3จะต้องขึ้น6 จึงจะรวมได้14
ถ้าลูกหนึ่งขึ้น4 ลูก2ขึ้น6 ลูก3จะต้องขึ้น4 จึงจะรวมได้14
ถ้าลูกหนึ่งขึ้น4 ลูก2ขึ้น5 ลูก3จะต้องขึ้น5 จึงจะรวมได้14
ถ้าลูกหนึ่งขึ้น4 ลูก2ขึ้น4 ลูก3จะต้องขึ้น6 จึงจะรวมได้14
ถ้าลูกหนึ่งขึ้น3 ลูก2ขึ้น6 ลูก3จะต้องขึ้น5 จึงจะรวมได้14
ถ้าลูกหนึ่งขึ้น3 ลูก2ขึ้น5 ลูก3จะต้องขึ้น6 จึงจะรวมได้14
ถ้าลูกหนึ่งขึ้น2 ลูก2ขึ้น6 ลูก3จะต้องขึ้น6 จึงจะรวมได้14
ตามนี้เลยครับ ได้15 วิธี--*

ข้อ24 ต้องวาดรูปครับ คุณสมบัติวงกลมผมใช่ไม่ถนัดอะนะครับคือลองแทนดูครับ(ของผม) ให้ลองลากABตั้งฉากCDที่ไหนก็ได้ตัดกันที่XในวงกลมOจากนั้นลากเล้นOFตั้งฉากCDและลากเส้นเชื่อมODและOX
จะได้ODเป็นรัศมี17หน่วย ผมลองสุ่มแทนDFด้วย15 ครับ หาพิทากอรัสจะได้OF=8หน่วย จากที่OXกำหนดมาให้10หน่วยดังนั้นจากพิทากอรัส(ต่อ)จะได้XF=6
คุณสมบัติวงกลมเมื่อลากเล้นตั้งฉากคอร์ด คอร์ดจะแบ่งเป็น2ส่วนเท่ากัน
ดังนั้นCF=FD=15 จากที่CF=CX+XF แทนค่าXFลงไปจะได้CX=9
ดังนั้นแทนค่าCX*XD=9*21=189ครับ...(อันนี้มั่วครับต้องรอคนที่พิสูจณ์ข้อนี้ได้มาทำนะครับ--*)

ข้อ25
1032$\equiv$ 32mod100
1032^1032 $\equiv$ 32^1032mod100
ดังนั้นเราหา2หลักสุดท้ายจากการนำ32ยกกำลัง1032 หารด้วย100
32^1032=2^5160 คิดโดยการ2ยกกำลังไปเรื่อยๆ จะได้ว่าหลักหน่วยจะซ้ำกันทุกๆ4ตัว จึงเอา4หารตัวยกกำลังคือ5160ลงตัวจึงได้เลขสุดท้ายของหลักหน่วยคือ6
ต่อมาหลักสิบก็ลองเอา2ยกกำลังใดๆไปเรื่อยๆ(ไม่รู้จาทามไงแระ) รู้สึกว่าจะซ้ำกันวนกลับรอบเมื่อยกกำลังสองไปถึงตัวที่20กว่าๆ ก็ดูเหมือนเดิมว่ากี่ตัวซ้ำเอาจำนวนนั้นหาร5160แล้วดูเศษ ปรากฏว่าได้เศษ10กว่าๆได้หลักหน่วยตรงกับเลข7
ดังนั้นคำตอบของข้อนี้ที่หาร100 คือ76 (สนเพียงแค่2ตัวหลังพอ)
ข้อนี้ผมอธิบายไม่ดีนะครับ ต้องรบกวนผู้มีความรู้มากกกว่านี้ช่วยอะครับ--*

ว่าแต่ว่าทำไมผมพิมพ์ให้มันยกกำลัง1032ไม่ได้อะครับเนี่ย เข้ามาแก้หลายรอบแล้วก็ยังไม่ได้เลย--*

ปีนี้ไม่มีคนใจดีแอบเอาข้อสอบมาแสกนให้แหะ ไม่เหมือนปีที่แล้ว ^^

ไม่ใช่ไม่มีหรอก คงเพราะบ้านยากจนไม่มีเครื่องแสกนมากกว่า^^:p

ถ้าไม่มีเครื่องแสกน แนะนำว่าให้ถ่ายรูปเอาครับ ... .
ส่วนตัวข้อสอบ เดี๋ยวจะช้วยทำเป็น .jpg และ .pdf

ผมว่า สแกน เอาดีกว่าครับ จะได้ไม่ต้องเปิดหลาย ๆ รอบ อีกอย่างจะได้ ก๊อบได้ด้วยครับ :great::great:

ช่วยแยกให้ค่ะ
$xyz+10xy+6yz+8zx+80x+60y+48z=2072$
$xyz+10xy+6yz+8zx+80x+60y+48z + 480=2072 +480$
$xy(z+10)+6y(z+10)+8x(z+10)+48(z+10) = 2552$
$(z+10)[y(x+6)+8(x+6)] = 2552$
$(z+10)(y+8)(x+6) = 2552$

ข้อนี้เสียดายมากเลย
อุตส่ามั่นใจ แต่ดันลบเลขผิดไปตอบ 89 กับ 41
:cry:

คิดได้ 504 อ่ะค่ะ
คิดแบบนี้