มีโจทย์เพชรยอดมงกุฏ 2551 ลองทำดูครับ
 

ช่วยกันเฉลยหน่อยครับ(โจทย์ไม่ครบนะครับ จำมาจากเพื่อน)
1. พิจารณาจำนวนเฉพาะทั้งหมด ระหว่าง 1-200 ซึ่งน้อยกว่าพหุคูณของ 5 อยู่ 1 และมากกว่าพหุคูณของ 6 อยู่ 1
ผลบวกของจำนวนเฉพาะเหล่านี้มีค่าเท่าไร (ตอบ 436)

2. ให้ $N = 1\cdot 1! + 2\cdot 2! + ... + 60\cdot 60!$ จงหาผลบวกตัวประกอบเฉพาะทุกตัวของ N+1
(ตอบ 440)

3. จงพิจารณาข้อความต่อไปนี่
ก. ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็มที่แตกต่างกันแล้ว $a^3b + ab^3 < a^4 + b^4$
ข. ถ้า a,b,c เป็นจำนวนจริงใดๆ แล้ว $a^4 + b^4 + c^4 > a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2$
พิจารณาว่า ข้อความ ก. และ ข. ถูกต้องหรือไม่ (ตอบ ก. และ ข. ถูก)

4. ให้ $N = 3(5^{5^5}) + 7^{7^7}$ จงหาเศษที่เหลือจากการหาร N ด้วย 8(ตอบ 4)

5. ให้ $\frac{2^n + 1}{641} = 409^2 + 2556^2$ แล้วค่าของ n เท่ากับเท่าไร(ตอบ 32)

6. ผลบวกของเลขโดดทั้งหมดที่ใช้ในการเขียน จำนวนตั้งแต่ 1-500,000 คือข้อใด(ตอบ 10,000,005)

ถ้าผมได้โจทย์เพิ่ม เดี๋ยวเอามาโพสต์ให้นะครับ

จำนวนเฉพาะทั้งหมด ระหว่าง 1-200 ซึ่งน้อยกว่าพหุคูณของ 5 อยู่ 1 คือ

19 29 59 79 89 109 139 149 179 199

แต่มีจำนวนที่เป็นสีแดงเท่านั้นที่มากกว่าพหุคูณของ 6 อยู่ 1


19 + 79 + 109 + 139 + 199 = 545

ถ้าเราเขียนแบบตั้งแถวเรียงกันลงมา

000000
000001
000002
000003
.
.
.
.
499999

เราก็จะได้ 500 000 แถว


หลักหน่วย จะมีเลขโดดอยู่ จำนวน 500 000 ตัว
เป็นเลข 0 จำนวน 50 000 ตัว
เป็นเลข 1 จำนวน 50 000 ตัว
.
.
.
เป็นเลข 9 จำนวน 50 000 ตัว

เมื่อรวมเลขโดดในหลักหน่วย จะได้ 50 000 x 45 = 2 250 000


ในทำนองเดียวกัน
เมื่อรวมเลขโดดในหลักสิบ จะได้ 50 000 x 45 = 2 250 000
เมื่อรวมเลขโดดในหลักร้อย จะได้ 50 000 x 45 = 2 250 000
เมื่อรวมเลขโดดในหลักพัน จะได้ 50 000 x 45 = 2 250 000
เมื่อรวมเลขโดดในหลักหมื่น จะได้ 50 000 x 45 = 2 250 000
รวม 5 หลัก 11 250 000

ส่วนหลักแสน
มีเลขโดด 500 000 ตัว (5แสนแถว)
เป็นเลข 0 ได้ 100 000 ตัว
เป็นเลข 1 ได้ 100 000 ตัว
เป็นเลข 2 ได้ 100 000 ตัว
เป็นเลข 3 ได้ 100 000 ตัว
เป็นเลข 4 ได้ 100 000 ตัว

ผลรวมเลขโดดหลักแสน = 100 000 x (0+1+2+3+4) = 1 000 000


ดังนั้นผลรวมเลขโดดตั้งแต่ 000001 ถถง 499 999 = 11 250 000 +1 000 000 = 12 250 000

เมื่อรวมกับ เลข 5 จาก 500 000 ก็จะได้ 12 250 005


ทำไมไม่ตรงกับ choice

ผมคิดได้เหมือนคุณ banker ครับ แต่ถ้าจะให้ได้เท่าเฉลย ต้องเอา 109 ออก
แต่ผมก็คิดว่ามันก็เป็นจำนวนเฉพาะเหมือนกัน

มีโจทย์มาให้ลองทำครับ ยากดี
$60^a = 3$ $60^b = 5$ จงหา
$12^\frac{1-a-b}{2(1-b)}$

$60^a = 3\cdots (1)$
$60^b = 5\cdots (2)$
$(1)\times(2);
60^{a+b} = 15$
$60^{-a-b} = \frac{1}{15}$
$60^{1-a-b} = 4\cdots (3)$
จาก (2);
$60^{1-b} = 12$
$60 = 12^\frac{1}{1-b}\cdots (4)$
(4) แทนใน (3);
$12^\frac{1-a-b}{1-b} = 4$
$12^\frac{1-a-b}{2(1-b)} = 2$ #

#5 ตกลงโจทย์ให้หาอะไรครับเนี่ย งง

ช่วยเฉลยข้อ 4ทีครับผมคิดได้ไม่ตรงกับคำตอบอ่ะ

ผมได้ 6 ครับ

เศษที่เหลือจากการหาร N ด้วย 8 ก็คือ เศษของการหาร $3(5)+7$ ด้วย 8

เท่ากับ 6 เหมือนกันครับ :D

5. ให้ $\frac{2^n + 1}{641} = 409^2 + 2556^2$ แล้วค่าของ n เท่ากับเท่าไร(ตอบ 32)

ต้องการหาค่า n ที่สอดคล้องกับสมการด้านบนครับ และเท่ากับ 32 จริงๆ(กดเครื่องคิดเลขแล้ว) :haha:

และ #5 คล้ายๆกับโจทย์ที่เคยมีการทำกันแล้ว คงนำมาให้ดูทั้งโจทย์และเฉลยครับ
ผมว่าโจทย์น่าจะเป็น $60^a = 3 $, $60^b = 5$ จงหาค่าของ $60^{\frac{(1-a-b)\ }{2(1-b) \ }} $

ขอโทษครับ พิมพ์ผิด แก้ให้แล้วครับ
ผมไม่รู้ว่าเฉลยผิดรึเปล่านะครับ แต่ในหนังสือเพชรยอดมงกุฏ
เค้าเฉลยมาอย่างนี้ครับ

ข้อสอบแข่งขันเพชรยอดมงกุฎฯ ปกครับ

ข้อสอบแข่งขันเพชรยอดมงกุฎฯ หน้า 1

ข้อสอบแข่งขันเพชรยอดมงกุฎฯ หน้า 2

ข้อสอบแข่งขันเพชรยอดมงกุฎฯ หน้า 3

ข้อสอบแข่งขันเพชรยอดมงกุฎฯ หน้า 4

ข้อสอบแข่งขันเพชรยอดมงกุฎฯ หน้า 5

ข้อสอบแข่งขันเพชรยอดมงกุฎฯ หน้า 6

ข้อสอบแข่งขันเพชรยอดมงกุฎฯ หน้า 7

ข้อสอบแข่งขันเพชรยอดมงกุฎฯ หน้า 8

ข้อสอบแข่งขันเพชรยอดมงกุฎฯ หน้า 9

ข้อสอบแข่งขันเพชรยอดมงกุฎฯ หน้า 10

ข้อสอบแข่งขันเพชรยอดมงกุฎฯ หน้า คำตอบ

ขอบคุณมากครับ
กำลังอยากได้อยู่พอดี
เขาว่าคนที่ชอบเลขจะเห็นโจทย์เลขเหมือนอาหาร
ตอนนี้ผมรู้สึกอิ่มจนจุกเลยล่ะครับ
ขอบพระคุณอีกรอบครับ

ข้อ37.ผมว่าเป็นโจทย์แบบถึกๆนะครับ ต้องคิดตรงๆจึงจะออก
ไม่มีวิธีคิดที่สวยหรูเลย ใครคิดออกบอกด้วยนะครับ

คุณ bell18 คิดยังไงอ่ะครับ ผมยังไม่ได้ซักวิธีเลย:cry:

ข้อ2 ของหัวกระทู้นะครับ-

N = 1*1!+2*2!+3*3!+...+60*60!
= 2!-1!+3!-2!+4!-3!+...+61!-60!
= 61!-1
N+1 = 61!

ตัวประกอบเฉพาะ คือ 2,3,5,7,11,13,17,19 โอ๊ย! อีกเยอะแยะขี้เกียจพิมพ์ (พิมพ์ยากมากครับ)

เนื่องจากโจทย์ข้อนี้เป็นตัวเลือก และผมทราบว่า n ต้องหารด้วย 3 แล้วเหลือเศษ 2 ทำให้เหลือตัวเลือกเพียงตัวเดียวคือ 32 ครับ (แนวคิด คือ mod 7)

สำหรับข้อ 37 พยายามแยกตัวประกอบก็แยกไม่ออก 641 กับ 409 เป็นจำนวนเฉพาะ แยก 2556 แล้ว พอได้ความสัมพันธ์กับจำนวนข้างหน้าคือ 4x(641-2)

พยายามหาเลขโดดหลักหน่วย ก็ได้ 6 ซึ่ง เอา 4 ไปหาร n ที่เป็น choice ก็หารลงตัวทุกจำนวน ถึงทางตัน

หาจำนวนหลักของ ด้านขวา โดยวิธีประมาณ โดยใช้เลข 400 500 2500 จากนั้นก็ลองใช้ $2^4$ ยกกำลัง 2 ไปเรื่อยๆ วิธีนี้พอได้ว่า n อยู่ระหว่าง 20 กับ 40

สุดท้าย ก็อาศัยเครื่องคิดเลขตรวจสอบ :D

ไม่ทราบท่านอื่นมีวิธีอื่นไหม แบบสวยๆ


เรียนถามคุณหยินหยาง ทำไมต้องหาร n ด้วย 3 ครับ แล้วแนวคิด mod 7 คิดยังไงครับ

ของผม ก็ ผมไม่ได้ใช้ mod 7

ผมใช้จำนวนเฉพาะแฟร์มาร์ (ให้ $F_n$จำนวนเฉพาะที่อยู่ในรูป $2^{2^n}+1$)
ซึ่ง $F_5=2^{2^{5}}+1=2^{32}+1=641(....)$

เผอิญมีในchoice ผมเลยตอบ 32 ไปอ่าครับ
ส่วนในchoice อื่นๆ 641 ไม่เป็นตัวประกอบของ $2^{ในchoice}$ เลย

ขอบคุณคุณScylla_Shadow

เล่นแฟร์มาต์เลยหรือครับ คุ้นๆว่า มีใครเคยโพสต์ชื่อนี้ไว้ในเว็บนี้เมื่อไม่นานมานี้ :D

แนวคิดของผมคือ

$2^n+1 = (641)(409^2+2556^2)$ ซึ่งผมจะเอา 7 ไปหารจะได้ว่า ฝั่งขวามือจะเหลือเศษ 5 ดังนั้นจะเขียนได้ว่า
$ 2^n+1 \equiv 5 (mod 7)$
$2^n \equiv 4 (mod 7)$ จะเห็นได้ว่า $n > 2$ และ $(4,7)=1$
$\therefore 2^{n-2} \equiv 1 (mod 7)$
และเพราะว่า 3 เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดซึ่ง $2^3 \equiv 1 (mod 7)$
ดังนั้น จะได้ว่า $3|n-2$

หมายเหตุเนื่องจากข้อนี้เป็นข้อสอบ ตัวเลือกจึงสามารถใช้วิธีคิดแบบนี้ได้และตัวเลือกที่ให้ก็มีเพียงตัวเดียวที่เข้าเงื่อนไขที่ว่านี้ด้วย

ปล. คุณ Scylla_Shadow นี่เล่นจำตัวเลขเลยหรือนี่:great: แต่อยากจะบอกว่าต้องระวังคือไม่สามารถบอกได้ว่าถ้า n เป็นตัวอื่นไม่ได้หมายความว่าจะไม่มี 641 เป็นตัวประกอบ แต่ถ้าโจทย์เปลี่ยนเป็น จงหา n ที่ $641|2^n+1$ ก็พอไหว

มันมายังไงอ่ะครับ งงอ่ะครับ:confused:
แล้วก็

เรารู้ได้ไงอ่ะครับว่า 7 ไปหารแล้วเหลือเศษ 5

#32
- $n!(n)=n!((n+1)-1)=(n+1)!-n!$

- เคยเรียน congruence หรือยังครับ

เคยครับ ตอนไปสอวน. จำได้นิดหน่อยครับ

641, 409, 2556 หารด้วย 7 เหลือเศษ 4, 3, 1
ดังนั้น $641(409^2+2556^2)$ หารด้วย 7 เหลือเศษเหมือนกับ $4(3^2+1^2)=40$ ซึ่งคือ 5

เข้าใจแล้วครับ ขอบคุณครับ

ผมได้ $2^n+1 = (25^2+4^2)(409^2+2556^2)$ ไม่รู้ว่ามีประโยชน์หรือเปล่าถ้าจะหาวิธีการหาคำตอบอีกทางนึง
ปล. ใครมีหนังสือทฤษฎีจำนวนของ สอวน. อยู่กัยตัวลองเปิดๆหาดูครับ(คุ้นๆดี)

ขอวิธีคิดข้อ 3 หัวข้อกระทู้หน่อยครับ

ข้อ 3 หัวข้อกระทู้นี่หมายึงข้อ 32 ในเพชรยอดใช่ไหมครับ
ตอบก.จริง(โดย rearang inq) ข. เท็จ เพราะมันต้อง มากกว่าหรือเท่ากับ($(a^2-b^2)^2$ >หรือเท่ากับ0)

3ก. ลองแยกตัวประกอบ $a^4+b^4-a^3b-ab^3$ ดูครับ