ขอบคุณครับสำหรับวิธีทำ

ขอบคูณครับสำหรับวิธีทำดูแล้วเข้าใจครับ

สมการ (1) 5x + 12y = 60
สมการ (2) $\sqrt{x^2+y^2} $ = d

*ผมชอบแนวคิดที่ว่า d = $\sqrt{x^2+y^2} $ คือระยะทางจากจุด(o,o) ไปหาจุด(x,y) ครับ *

ดังนั้นระยะทางd ที่สั้นที่สุด ก็คือ ระยะทางจากจุด(0,0)ลากไปตั้งฉากกับสมการเส้นตรงที่ให้ไว้นั่นเอง
และอยู่บนเส้นตรง 12x - 5y = 0 ด้วย
Attachment 880
--> ที่จุดตัด $ y_1 $ = $( \frac {12}{5} )x_1 $ แทนในสมการ (1) และ(2) ตามลำดับ

ได้ $5x_1$ + $12(\frac {12}{5} x_1)$ = 60 --> $x_1$ = $\frac {60(5)}{169} $

และ d = $\sqrt{x_1^2 + (\frac {12}{5} x_1)^2} $ = $\sqrt{ \frac {169}{25} x_1^2 } $ = $ \frac {13}{5} x_1$ = $ \frac {13}{5} \times \frac {60(5)}{169} $ = $ \frac {60}{13} $ ตอบ

ความจริง ข้อนี้มันมีหลายวิธีนะครับ เช่น ใช้Calculus ครับ พอร์ดกราฟออกมา ใช้อสมการ Cauchy ครับ
แต่วิธีที่ง่ายที่สุดแบบมองปุ้บตอบปั้บได้เลยคือ ใช้ Cauchy ครับ

จากของคุณหยินหยาง
ที่จัดรูปเป็น
$\frac{5}{13}*\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2} }+\frac{12}{13}*\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2} } = \frac{60}{13}*\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2} }$
มีใครช่วยอธิบายให้ผมฟังได้ไหมครับ
อยากเข้าใจวิธีนี้มากๆเลยครับ มันเร็วมาก และทำง่าย
แต่ไม่อยากนำไปใช้โดยไม่เข้าใจครับ
ปล. ผมส่งข้อความหาคุณหยินหยางละ แต่เผื่อกระทู้มันจะนานมากเเล้ว กลัวไม่มีคนตอบ
ปล.2 อยากให้ช่วยอธิบายโคชี่หน่อยครับ คือ รู้ว่าเป็นอะไรแต่ไม่รู้วิธีใช้อะครับ

มันมาจากการหาค่าสูงสุดต่ำสุดของ $a\sin \theta+b\cos \theta$

จาก $5x+12y=60$
จากเรื่องตรีโกณ $x=\cos \theta,y=\sin \theta$
$5\cos \theta+12\sin \theta=60$
เอา $\sqrt{5^2+12^2} =13$ หารตลอด
$(\frac{5}{13} )x+(\frac{12}{13} )y=(\frac{60}{13} )$
เอา $\sqrt{x^2+y^2} $ หารตลอดอีก
$\frac{5}{13}*\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2} }+\frac{12}{13}*\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2} } = \frac{60}{13}*\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2} }$
มอง $\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2} }=\sin \theta,\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2} }=\cos \theta$
$\frac{5}{13}=\cos \omega,\frac{12}{13}=\sin \omega$

$\sin (\theta+\omega) =\frac{60}{13}*\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2} }$
$\sqrt{x^2+y^2} =\frac{60}{13}*\frac{1}{\sin (\theta+\omega) }$
ค่าต่ำสุดของ $\sqrt{x^2+y^2}$ จะเกิดเมื่อค่า $\sin (\theta+\omega)$ มีค่าสูงสุด ซึ่งเท่ากับ $1$
ค่าต่ำสุดของ $\sqrt{x^2+y^2}$ จึงเท่ากับ $\frac{60}{13}$