ข้อ 19 ตอบ 115 องศา

ไม่ทราบมีความเห็นเป็นอย่างอื่นหรือเปล่า (ผมอาจผิดก็ได้)

Solution without approximation.
$$\frac{108}{997}<\frac{m}{n}<\frac{110}{999}\leftrightarrow \frac{999}{110}<\frac{n}{m}<\frac{997}{108}\leftrightarrow 9+\frac{9}{110}<\frac{n}{m}<9+\frac{25}{108}$$
We have $$9<\frac{n}{m}<10\longleftrightarrow 9m<n<10m.$$
Thus $n$ can be expressed in $9m+x$ for $x \in \mathbb{N}$ and $0<x<m$.
We have $$\frac{9}{110}<\frac{x}{m}<\frac{25}{108}$$
$$\frac{110}{9}>\frac{m}{x}>\frac{108}{25}$$
$$\frac{110x}{9}>m>\frac{108x}{25}$$
but we want to find the minimum value of $m+n$, that is we want to find the minimum value of $m,n$ that satisties the equation.
Thus $x=1$ and $\displaystyle{\frac{110}{9}>m>\frac{108}{25}}$, and we get $\min(m)=5$.
From $n=9m+x$, we have $n=9\cdot 5 +1=46$.

$$\therefore \frac{m}{n}=\frac{5}{46}$$

Thus the minimum value of $m+n$ that satisfies the equation: $\displaystyle{\frac{108}{997}<\frac{m}{n}<\frac{110}{999}}$ is $m+n=5+46=51$
as desired ##.

Answer: 32,760
Solution:
Let $$f(x)=(x+4)(x+5)(x+9)P(x)-(x-4)(x-5)(x-9)Q(x)=m.$$
We have
$$m=f(4)=8\cdot 9\cdot 13P(4)$$
$$m=f(5)=9\cdot 10 \cdot 14 P(5)$$
$$m=f(9)=13 \cdot 14 \cdot 18 P(9).$$
From $P(x)$ is a integer polynomial, if one of $P(4),P(5),P(9)$ is $0$ we get a contradiction from $m \in \mathbb{N}$ thus,
$$LCM[8\cdot 9\cdot 13,9\cdot 10 \cdot 14,13 \cdot 14 \cdot 18]|m$$
or
$$32,760|m.$$
For $x \in \mathbb{Z}$ we will find the maximum value of $$GCD[(x+4)(x+5)(x+9),(x-4)(x-5)(x-9)].$$
$$GCD[(x+4)(x+5)(x+9),(x-4)(x-5)(x-9)]=GCD[x^3+18x^2+101x+180,x^3-18x^2+101x-180]=GCD[36x^2+360,x^3-18x^2+101x-180]$$
$$GCD[36x^2+360,x^3-18x^2+101x-180]|36 \cdot GCD[x^2+10,x^3-18x^2+101x-180]=36 \cdot GCD[x^2+10,18x^2-91x+180=36 \cdot GCD[x^2+10,-91x]$$
$$36 \cdot GCD[x^2+10,-91x]| 36 \cdot 91 \cdot GCD[x^2+10,x]=36 \cdot 91 \cdot GCD[10,x]$$
$$36 \cdot 91 \cdot GCD[10,x]| 36 \cdot 91 \cdot 10=32,760$$
and we have $$GCD[(x+4)(x+5)(x+9),(x-4)(x-5)(x-9)]|32,760.$$

From the fact that the equation ,For $k,a,b \in \mathbb{Z}$ there are infinitely many pairs $(x,y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ such that
$$ax+by=kGCD(a,b)$$ and the minimum positive integer $c$ that satisfies the equation $$ax+by=c$$ is $GCD(a,b)$.

Thus $$\min(m)=32,760$$ as desired.

จากที่คุณราชาสมการทำไว้ อยากจะเพิ่มเติมตรงข้อ 3 นิดนึงว่าน่าจะตอบค่า x ติดลบได้ด้วย

เรขายากจังเลย ใครรู้วิธีคิดเด็ดๆช่วยบอกที

ขอคำชี้แนะโจทย์ข้อ5 ด้วยค่ะ

\[\begin{array}{rcl}
\sqrt{2500^2 + 1^2 + (\frac{2500}{2501})^2 } + \frac{2500}{2501} & = & \sqrt{2500^2 +2\cdot 2500 + 1^2 -2\cdot 2500+ (\frac{2500}{2501})^2 } + \frac{2500}{2501} \\

& = & \sqrt{(2500+1)^2 -2\cdot 2500+ (\frac{2500}{2501})^2 } + \frac{2500}{2501} \\

& = & \sqrt{(2501)^2 -2\cdot 2500+ (\frac{2500}{2501})^2 } + \frac{2500}{2501} \\

& = & \sqrt{(2501- \frac{2500}{2501})^2 } + \frac{2500}{2501} \\

& = & 2501- \frac{2500}{2501} + \frac{2500}{2501} \\

& = & 2501 \\


\end{array}\]

ขอขอบคุณbanker ที่ชี้แนะโจทย์ข้อ5 ค่ะ

ดีจังครับ...ขอบคุณมากครับ

มีเป็นแบบไฟล์ word หรือ pdf ไหมครับ

ขอบคุณที่มอบข้อสอบดีดีมาให้ลองทำ

ขอบคุณมากๆค่ะ

http://www.uploadtoday.com/download/?266694&A=290360
:rolleyes:

รกวนช่วยอธิบายถึงที่มาได้ไหมครับ
รบกวนช่วยอธิบายเป็นภาษาไทยได้ไหมครับ