เหลือเศษเท่าไร
1 ไฟล์และเอกสาร
ช่วยให้แนวคิดหน่อยครับ
|
สังเกตว่า $7^7\equiv 7^3\equiv 3\pmod{10}$ แล้วไล่้จากบนล่างครับ
|
คุณ nongtum ครับ ใช้วิธีคิดแบบมัธยมต้นได้ไหมครับ
ไม่เข้าใจสัญลักษณ์ ≡ กับ mod10 |
ถ้างั้น เริ่มจากสังเกตแบบแผนของเลขท้ายของ $7^1,\ 7^2,\ 7^3,\ 7^4,\dots$ ดูครับ
เมื่อเ็ห็นแล้วก็ไล่เลขท้ายลงมาเรื่อยๆนะครับ สัญลักษณ์ $a\equiv b \pmod{c}$ หมายถึง $c$ หาร $a-b$ ลงตัวครับ |
เศษ 7 รึเปล่าเอ่ย??
71 จะลงท้ายด้วย 7 72 จะลงท้ายด้วย 9 73 จะลงท้ายด้วย 3 74 จะลงท้ายด้วย 1 แล้ววนเป็น 7 ใหม่ ถ้าลองคิดดูคือถ้าตัวเลขที่ยกกำลังสามารถหาร 4 ได้ จะลงท้ายด้วยเลขหนึ่ง กรณีนี้เป็น 72401 ซึ่งเลขที่ยกกำลังมันหารด้วย 4 แล้วเหลือเศษ 1 ดังนั้น ถ้า 72400 ลงท้ายด้วย 1 72401 ก็จะลงท้ายด้วย 7 แล้วเมื่อหารด้วย 10 แล้ว จะเหลือเศษ 7 อ่ะค่า ถูกมั้ยเอ่ย?? |
อ้างอิง:
|
อ๋อ.. ค่ะ ขอบคุณค่ะ ^ ^
|
ตามหลักเลขยกกำลังให้a=จำนวนเต็มบวก mและnเป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 0 a^m^n=a^mn
ดังนั้น 7^7^7^7^7=7^7x7x7x7 =7^49x49 =7^2401 ลองนำ 7 มายกกำลังแล้วหารด้วย 10 7^1 หาร 10 เหลือเศษ 7 7^2 เหลือเศษ 9 7^3 เหลือเศษ 3 7^4 เหลือเศษ 1 สังเกตว่าเมื่อนำ7ไปคูณที่7^4 อีกครั้งเลขโดดหลังสุดจะลงท้ายด้วย 7ทำให้เมื่อนำ10 ไปหารจะเหลีอเศษ 7 ดังนั้น นำ 2401 หารด้วย 4เหลือเศษ 1 ดังนั้นจึงหลือเศษ 7 |
มีอีกวิธีนะครับแต่ใช้หลักของเลขยกกำลังอยู่นะครับโดยการหาเลขโดดในหลักหน่วยของ7^2401
ลองนำ 7 มายกกำลัง 7^1 เลขโดดในหลักหน่วยคีอ 7 7^2 เลขโดดในหลักหน่วยคือ 9 7^3 เลขโดดในหลักหน่วยคือ 3 7^4 เลขโดดในหลักหน่วยคีอ 1 สังเกตว่าเมี่อนำ 7 คูณกับ7^4 เลขโดดในหลักหน่วยจะเป็น 7 นำ 2401 หารด้วย 4 จะเหลือเศษ 1 ดังนั้น เลขโดดในหลักหน่วยของ 7^2401คือ 7 เลขที่เลขโดดในหลักหน่วยที่ไม่ใช่ 0 หารด้วย 10 จะเหลีอเศษเป็นเลขโดดในหลักหน่วยของจำนวนนั้น เช่น 562 หาร 10จะเหลีอเศษ 2 ดังนั้นเหลีอเศษ 7 |
ข้อนี้รู้สึกถกเถียงกันมานานแล้ว :confused:
ดังนั้นผมขอแสดงแนวคิดเพื่อให้เข้าใจกันได้ง่ายขึ้นนะครับ :) แนวคิด : กำหนดให้ i, k, m, n เป็นเลขจำนวนเต็ม และจากหลักผลบวกยกกำลัง n (เป็นเลขคี่) จะได้ว่า $(4+a)^n = 4^n + n.4^{n-1}.a + ...+ n.4.a^{n-1} + a^n = 4.(m) + a^n$ และเมื่อ a = 3 จะได้ว่า $a^n = 3^{เลขคี่} = (4-1)^{เลขคี่} = 4.(i) - 1 = 4.(i-1) + 3$ วิธีทำ : เนื่องจาก $7^{7^{7^{7^7}}} = 7^{(4+3)^{7^{7^7}}} = 7^{(4+3)^{เลขคี่}}$ จะได้ว่า $7^{7^{7^{7^7}}} = 7^{(4.k+3)}$ = xx...xx3 (ลงท้ายด้วยเลข 3) ดังนั้น $7^{7^{7^{7^7}}}$ เมื่อถูกหารด้วย 10 แล้วจะมีเศษเป็น 3 ครับ |
เอ๋อ คือว่า วิธีที่ใช้ mod อ่าครับ เราจะรู้ได้ไงหรอครับ ว่าจะต้องหาจำนวนไหนมาลบออก ถึงจะหารด้วย 10 ลงตัวอ่าครับ
มันมีวัธึคิดรึป่าวคับ หรือว่าต้องสุ่มเอา ช่วยบอกหน่อยครับ ปล. ผมเห็นมีคนโพส โจทย์ $2553 ^{2553}$ / 25 เหลือเศษเท่าไหร่ ถ้าใช้วิธีที่ใช้ mod เนี่ยจะทำไงครับ ช่วยบอกหน่อยครับ :please: |
#11
การหารด้วยสิบ ดูแค่เลขท้ายที่เกิดน่าจะพอแล้วครับ ส่วนที่ถามต่อช่วงหลัง ทำถึกๆหน่อยก็แบบนี้ครับ: $2553^{2553}\equiv 3^{2553}\equiv 27^{851}\equiv 2^{851}\equiv 2\cdot (2^{10})^{85}\equiv -1\cdot 2\equiv 23\pmod{25}$ |
อ้างอิง:
|
#13
ไม่ได้เดาสุ่ม แต่ต้องช่างสังเกตและขยันทดนิดนึงครับ ลองสังเกตตัวเลขด้านล่างเผื่อจะเข้าใจที่ทำข้างบนได้ดีขึ้น $2553=25\cdot102+3,\ 3^3=27=25+2,\ 2^{10}=1024=25\cdot41-1,\ -2=23-25$ |
ขอบคุณพี่ nongtum มากครับผมเริ่มเข้าใจถึงที่มาแล้วครับ เอ่อ แล้วเรื่อง mod นี้อ่าครับมันอยู่ในบทเรียนเรื่องอะไรของชั้นไหนอ่าครับ
|
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 06:04 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha