เหลือเศษเท่าไร

[จอมยุทธแห่งบ้านหนองเข้]

ช่วยให้แนวคิดหน่อยครับ

[nongtum]

สังเกตว่า $7^7\equiv 7^3\equiv 3\pmod{10}$ แล้วไล่้จากบนล่างครับ

[จอมยุทธแห่งบ้านหนองเข้]

คุณ nongtum ครับ ใช้วิธีคิดแบบมัธยมต้นได้ไหมครับ
ไม่เข้าใจสัญลักษณ์ ≡ กับ mod10

[nongtum]

ถ้างั้น เริ่มจากสังเกตแบบแผนของเลขท้ายของ $7^1,\ 7^2,\ 7^3,\ 7^4,\dots$ ดูครับ
เมื่อเ็ห็นแล้วก็ไล่เลขท้ายลงมาเรื่อยๆนะครับ

สัญลักษณ์ $a\equiv b \pmod{c}$ หมายถึง $c$ หาร $a-b$ ลงตัวครับ

[Na-na*Zz]

เศษ 7 รึเปล่าเอ่ย??

7¹ จะลงท้ายด้วย 7
7² จะลงท้ายด้วย 9
7³ จะลงท้ายด้วย 3
7⁴ จะลงท้ายด้วย 1

แล้ววนเป็น 7 ใหม่ ถ้าลองคิดดูคือถ้าตัวเลขที่ยกกำลังสามารถหาร 4 ได้
จะลงท้ายด้วยเลขหนึ่ง

กรณีนี้เป็น 7²⁴⁰¹
ซึ่งเลขที่ยกกำลังมันหารด้วย 4 แล้วเหลือเศษ 1
ดังนั้น ถ้า 7²⁴⁰⁰
ลงท้ายด้วย 1
7²⁴⁰¹
ก็จะลงท้ายด้วย 7 แล้วเมื่อหารด้วย 10 แล้ว จะเหลือเศษ 7 อ่ะค่า




ถูกมั้ยเอ่ย??

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Na-na*Zz

เศษ 7 รึเปล่าเอ่ย??
7¹ จะลงท้ายด้วย 7
7² จะลงท้ายด้วย 9
7³ จะลงท้ายด้วย 3
7⁴ จะลงท้ายด้วย 1
แล้ววนเป็น 7 ใหม่ ถ้าลองคิดดูคือถ้าตัวเลขที่ยกกำลังสามารถหาร 4 ได้
จะลงท้ายด้วยเลขหนึ่ง
กรณีนี้เป็น 7²⁴⁰¹
ซึ่งเลขที่ยกกำลังมันหารด้วย 4 แล้วเหลือเศษ 1
ดังนั้น ถ้า 7²⁴⁰⁰
ลงท้ายด้วย 1
7²⁴⁰¹
ก็จะลงท้ายด้วย 7 แล้วเมื่อหารด้วย 10 แล้ว จะเหลือเศษ 7 อ่ะค่า

ถูกมั้ยเอ่ย??

ไม่ถูกครับ กรณีอย่างนี้ ต้องดูเลข 2 หลักสุดท้ายครับ แล้วลองสังเกตดูว่าจะวนอีกครั้งเมื่อไร และถ้าทำตามที่ว่าจะได้คำตอบคือ 3 ครับ

[Na-na*Zz]

อ๋อ.. ค่ะ ขอบคุณค่ะ ^ ^

[EulerTle]

ตามหลักเลขยกกำลังให้a=จำนวนเต็มบวก mและnเป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 0 a^m^n=a^mn
ดังนั้น 7^7^7^7^7=7^7x7x7x7
=7^49x49
=7^2401
ลองนำ 7 มายกกำลังแล้วหารด้วย 10
7^1 หาร 10 เหลือเศษ 7
7^2 เหลือเศษ 9
7^3 เหลือเศษ 3
7^4 เหลือเศษ 1
สังเกตว่าเมื่อนำ7ไปคูณที่7^4 อีกครั้งเลขโดดหลังสุดจะลงท้ายด้วย 7ทำให้เมื่อนำ10 ไปหารจะเหลีอเศษ 7
ดังนั้น นำ 2401 หารด้วย 4เหลือเศษ 1
ดังนั้นจึงหลือเศษ 7

[EulerTle]

มีอีกวิธีนะครับแต่ใช้หลักของเลขยกกำลังอยู่นะครับโดยการหาเลขโดดในหลักหน่วยของ7^2401
ลองนำ 7 มายกกำลัง
7^1 เลขโดดในหลักหน่วยคีอ 7
7^2 เลขโดดในหลักหน่วยคือ 9
7^3 เลขโดดในหลักหน่วยคือ 3
7^4 เลขโดดในหลักหน่วยคีอ 1
สังเกตว่าเมี่อนำ 7 คูณกับ7^4 เลขโดดในหลักหน่วยจะเป็น 7
นำ 2401 หารด้วย 4 จะเหลือเศษ 1
ดังนั้น เลขโดดในหลักหน่วยของ 7^2401คือ 7
เลขที่เลขโดดในหลักหน่วยที่ไม่ใช่ 0 หารด้วย 10 จะเหลีอเศษเป็นเลขโดดในหลักหน่วยของจำนวนนั้น
เช่น 562 หาร 10จะเหลีอเศษ 2
ดังนั้นเหลีอเศษ 7

[Puriwatt]

ข้อนี้รู้สึกถกเถียงกันมานานแล้ว
ดังนั้นผมขอแสดงแนวคิดเพื่อให้เข้าใจกันได้ง่ายขึ้นนะครับ

แนวคิด : กำหนดให้ i, k, m, n เป็นเลขจำนวนเต็ม และจากหลักผลบวกยกกำลัง n (เป็นเลขคี่)

จะได้ว่า $(4+a)^n = 4^n + n.4^{n-1}.a + ...+ n.4.a^{n-1} + a^n = 4.(m) + a^n$

และเมื่อ a = 3 จะได้ว่า $a^n = 3^{เลขคี่} = (4-1)^{เลขคี่} = 4.(i) - 1 = 4.(i-1) + 3$

วิธีทำ :

เนื่องจาก $7^{7^{7^{7^7}}} = 7^{(4+3)^{7^{7^7}}} = 7^{(4+3)^{เลขคี่}}$

จะได้ว่า $7^{7^{7^{7^7}}} = 7^{(4.k+3)}$ = xx...xx3 (ลงท้ายด้วยเลข 3)

ดังนั้น $7^{7^{7^{7^7}}}$ เมื่อถูกหารด้วย 10 แล้วจะมีเศษเป็น 3 ครับ

[teamman]

เอ๋อ คือว่า วิธีที่ใช้ mod อ่าครับ เราจะรู้ได้ไงหรอครับ ว่าจะต้องหาจำนวนไหนมาลบออก ถึงจะหารด้วย 10 ลงตัวอ่าครับ
มันมีวัธึคิดรึป่าวคับ หรือว่าต้องสุ่มเอา ช่วยบอกหน่อยครับ
ปล. ผมเห็นมีคนโพส โจทย์ $2553 ^{2553}$ / 25 เหลือเศษเท่าไหร่ ถ้าใช้วิธีที่ใช้ mod เนี่ยจะทำไงครับ
ช่วยบอกหน่อยครับ

[nongtum]

#11
การหารด้วยสิบ ดูแค่เลขท้ายที่เกิดน่าจะพอแล้วครับ

ส่วนที่ถามต่อช่วงหลัง ทำถึกๆหน่อยก็แบบนี้ครับ:
$2553^{2553}\equiv 3^{2553}\equiv 27^{851}\equiv 2^{851}\equiv 2\cdot (2^{10})^{85}\equiv -1\cdot 2\equiv 23\pmod{25}$

[teamman]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nongtum

#11


ส่วนที่ถามต่อช่วงหลัง ทำถึกๆหน่อยก็แบบนี้ครับ:
$2553^{2553}\equiv 3^{2553}\equiv 27^{851}\equiv 2^{851}\equiv 2\cdot (2^{10})^{85}\equiv -1\cdot 2\equiv 23\pmod{25}$

คือผมงงตรงนี้อ่าครับ ว่ามันมาได้ยังไงอ่าครับ คือเราจะรู้ได้ไงอ่าครับว่า ต้องลบด้วยตัวอะไรอ่าครับ หรือว่าต้องเดาสุ่มไปอ่าครับ ผมงง อ่าครับ ช่วยอธิบายหน่อยครับ

[nongtum]

#13
ไม่ได้เดาสุ่ม แต่ต้องช่างสังเกตและขยันทดนิดนึงครับ ลองสังเกตตัวเลขด้านล่างเผื่อจะเข้าใจที่ทำข้างบนได้ดีขึ้น
$2553=25\cdot102+3,\ 3^3=27=25+2,\ 2^{10}=1024=25\cdot41-1,\ -2=23-25$

[teamman]

ขอบคุณพี่ nongtum มากครับผมเริ่มเข้าใจถึงที่มาแล้วครับ เอ่อ แล้วเรื่อง mod นี้อ่าครับมันอยู่ในบทเรียนเรื่องอะไรของชั้นไหนอ่าครับ