หารสังเคราะห์ครับ จะได้ว่าเศษเหลือคือ 36 หรือหารยาวก็ได้

นั่นคือ $\frac{x^4-6x^3-5x^2-8x-6}{x-7} = q(x) + \frac{36}{x-7}$

แต่ถ้า x เป็นจำนวนเต็มบวก แล้ว จะเป็นการหารลงตัวเมื่อ x - 7 หาร 36 ลงตัว

นั่นคือ $x- 7 = \pm1, \pm 2, ... , \pm 36$ (ตัวประกอบทั้งหมดของ 36 มี 18 จำนวน)

แต่ $x - 7 \ne -9, -12, -18, -36$ เพราะจะทำให้ x ไม่เป็นจำนวนเต็มบวก

ดังนั้นจึงมี x ที่ใช้ได้ 18 - 4 = 14 จำนวน

งั้นข้อต่อไปเลยนะครับ

ให้ p,q เป็นรากของสมการ x^2+5x+1=0 และ r,s เป็นรากของสมการ x^2+3x+1=0
แล้ว (q-r)(p-r)(p+s)(q+s) มีค่าเท่าไหร่

มีจำนวนเต็ม x,y ที่ต่างกันกี่คู่ที่อยู่ระหว่าง 1 และ 100 ที่ 49 ไปหาร x^2+y^2 ลงตัว
ถ้า (x,y) กับ (y,x) ถือว่าเป็นคู่เดียวกัน

อันนี้ไม่ค่อยเกี่ยวกับสมการกำลังสองเท่าไหร่ครับ แต่ผมอยากรู้คำตอบ

ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจุด E,F,G,H เป็นจุดกึ่งกลางด้าน AB,BC,CD,DA ตามลำดับ
ลาก AG,CE,DF,BH ตัดกันเกิดรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน MNPQ ซึ่งมีจุด R,S,T,U เป็นจุดกึ่งกลาง
ด้าน MN,NP,PQ,QM ตามลำดับ หากลากเส้นอย่างที่ได้ทำมาอีกทีหนึ่งและรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ตรงกลางมีพื้นที่ 15 ตร.หน่วย จงหาพื้นที่รูปสี่เหลี่ยม ABCD

รูปสามเหลี่ยม ABC มีเส้นแบ่งครึ่งมุม A พบ BC ที่จุด D จากจุด B ลากเส้นตั้งฉากกับ AD ที่จุด E
HG ผ่านจุด E และขนานกับ AC พบ BC ที่จุด G และ AB ที่จุด H
ถ้า AB=26,BC=28,AC=30 จงหา DG

$x^2$+5x+1 = 0

ให้ p,qเป็นรากของสมการ
p+q = -5
pq = 1

$x^2$+3x+1
ให้ r,sเป็นรากของสมการr
r+s = -3
rs = 1
(p-r)(q-r)(p+s)(q+s)
=(pq+ps-rq-rs)(qp+qs-rp-rs)
=(ps-rq)(qs-rp)
=$pqs^2$-$p^2$rs-rs$q^2$+$r^2$pq
=$s^2$-$p^2$-$q^2$+$r^2$
={$(r+s)^2$-2rs}-{$(p+q)^2$-2pq}
={$(-3)^2$-2}-{$(-5)^2$-2}
=7-23
=-16

375 ครับใช้การเลื่อนรูป

ท่านgonครับ ในข้อแรกถ้าคำตอบของสมการเป็นจำนวนเต็มบวกหมดแล้ว ค่า d จะเป็นจำนวนจริงบวกได้อย่างไรครับ ช่วยชี้แนะหน่อยครับ

จำนวนเต็มบวกเป็นสับเซตของจำนวนจริงบวกครับ

#24
ผมหมายถึงถ้าคำตอบของสมการพหุนามที่โจทย์ให้มาเป็นจำนวนบวกทั้งหมดแล้ว

ค่าของ d ในสมการพหุนามนี้จะเป็นบวกได้รึเปล่า ถ้าได้ช่วยยกตัวอย่างให้ดูว่าได้จริงหน่อยครับ

ถูกทั้งสองข้อเลยครับ

อยากให้ช่วยทำข้อ #18 ด้วยนะครับ อยากรู้จริงๆ

ข้อต่อไป
ถ้า x,y,z เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับระบบสมการ x+2y+3z=13,x^2+4y^2+9z^2+3x-2y+15z=82
แล้ว xyz+x+y+z มีค่าเท่าใด

ถ้า a^2-2a=-1,b^2-3b=1และc^2-4c=1 แล้ว 3a^3-b^3+c^3+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+200 มีค่าเท่าใด

ให้ $x=7k_1+m$ และ $y=7k_2+n$

โดยที่ $\left\{\,\right. m,n\left.\,\right\} \subset \left\{\,\right. 0,1,2,3,4,5,6\left.\,\right\} $

และ

$\left\{\,\right. k_1,k_2\left.\,\right\} \in \mathbf{Z^+}\cup\left\{\,\right. 0\left.\,\right\} $

$$49\left|\,\right. (x^2+y^2)$$
$\leftrightarrow$
$$ 49\left|\,\right. ((7k_1+m)^2+(7k_2+n)^2)$$
$\leftrightarrow$
$$ 49\left|\,\right. [49(k_1^2+k_2^2)+14(k_1+k_2)+(m^2+n^2)]$$
$\leftrightarrow$
$$ 49\left|\,\right. [14(k_1+k_2)+(m^2+n^2)]$$
เนื่องจาก $7\left|\,\right. 49$ และ $7\left|\,\right. 14(k_1+k_2)$

ดังนั้น $7\left|\,\right. (m^2+n^2)$

เนื่องจาก $\left\{\,\right. m,n\left.\,\right\} \subset \left\{\,\right. 0,1,2,3,4,5,6\left.\,\right\} $

จึงมีเพียง $(0,0)$ ที่สอดคล้อง [สามารถหาได้โดยมองความสัมพันธ์ของหลักหน่วย หรือ การแทนค่า(ซึ่งไม่เยอะ)]

จะได้ว่า
$$ 49\left|\,\right. 14(k_1+k_2)$$
$$ 7\left|\,\right. 2(k_1+k_2)$$
ดังนั้น $7\left|\,\right. k_1+k_2...(1)$

แทน $x=7k_1$ และ $y=7k_2$ ลงใน $x^2+y^2$ ;

$$ 49\left|\,\right. 7(k_1^2+k_2^2)$$
$$ 7\left|\,\right. k_1^2+k_2^2$$
แต่ $k_1^2+k_2^2=(k_1+k_2)^2-2k_1k_2$

$ 7\left|\,\right. (k_1+k_2)^2-2k_1k_2$ แต่จาก (1) จะได้ว่า

ดังนั้น $7\left|\,\right. 2k_1k_2$ หรือ $7\left|\,\right. k_1k_2...(2)$

สังเกตว่า $1\leqslant x,y \leqslant 100$

$1\leqslant 7k_1 \leqslant 100$ และ $1\leqslant 7k_2 \leqslant 100$


$1\leqslant k_1\leqslant 14$ และ $1\leqslant k_2\leqslant 14$

เนื่องจาก 7 เป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้นจะได้คู่อันดับ $(k_1,k_2)$ คือ

$(7,i),(i,7),(14,i),(i,14)$ ;$1\leqslant i\leqslant 14 ,i\in \mathbf{Z} $

ดังนั้น มีคู่อันดับ $(x,y)$ ทั้งหมด $14(4)=56$ คู่อันดับ

แต่ (7,i) กับ (i,7) และ (14,i) กับ (i,14) ถือเป็นคู่เดียวกัน

เหลือเพียง 28 คู่อันดับ

แต่เรานับ (7,14) กับ (14,7) ซ้ำ จึงต้องหักออก

ดังนั้น จึงมีคู่อันดับ (x,y) เท่ากับ 26 คู่อันดับที่สอดคล้อง

ผมได้105ครับ