|
1 ไฟล์และเอกสาร
Attachment 2003
การแข่งขันแบบพบกันหมด มีการแข่งขันทั้งสิ้น 5+4+3+2+1 = 15 ครั้ง แต่ละครั้งที่แข่ง มี แพ้ 1 ครั้ง ชนะ 1 ครั้ง รวมทั้งหมดมี แพ้ 15 ครั้ง และชนะ 15 ครั้ง ดังนั้นผลรวมคะแนนทุกคนเท่ากับ 15 + 0 = 15 คะแนน เอาง่ายๆแบบนี้แหละ :D |
1 ไฟล์และเอกสาร
Attachment 2004
แนวคิด จาก $\sqrt{\frac{x}{x+1}+20} - \sqrt{\frac{x}{x+1}+4} = 2$ ให้ $A = \dfrac{x}{x+1}$ ....(1) จะได้ $\sqrt{A+20} - \sqrt{A+4} = 2$ $\sqrt{A+20} = \sqrt{A+4} + 2$ $A+20 = (\sqrt{A+4} + 2)^2 = 4 + A + 4 + 4 \sqrt{A+4} $ $ 4 \sqrt{A+4} = 12 $ $ \sqrt{A+4} = 3 $ $A + 4 = 9$ $A = 5 $ แทนค่า A จาก (1) จะได้ $ \dfrac{x}{x+1} =5 $ $x = 5x+5$ $x = -\frac{5}{4}$ ตอบ รากของสมการคือ $ -\frac{5}{4}$ |
2 ไฟล์และเอกสาร
ยังไม่มีใครทำต่อ
งั้นก็เรขาคณิตข้อแรกก่อนครับ Attachment 2016 ลากเส้นตามรูป สามเหลี่ยม abO จะได้ $10^2 = y^2 + (\frac{y}{2})^2$ $y^2 = 80 \ \ = $ พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส A .......(1) $y = 4\sqrt{5} $ ......(2) Attachment 2017 สามเหลี่ยม dcO $10^2 = x^2 + (x + (\frac{y}{2}))^2$ $100 = x^2 + (x+ 2\sqrt{5})^2$ $x^2 + 2 \sqrt{5} -40 = 0$ $(x+ 4\sqrt{5})(x- 2\sqrt{5})$ $x = 2\sqrt{5}$ $x^2 = 20 = $ พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส B = พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส C A + B + C = 80+20+20 = 120 ตอบ ผลบวกของพื้นที่ A, B และ C เท่ากับ 120 ตารางเซนติเมตร |
ของ ม.นเรศวร 7 ข้อ 3 ชั่วโมง ยากมากกก
|
ช่วยhint อสมการ ข้อ 3,4 หน่อยครับ ขอบคุณครับ
|
ข้อ 3 ผมใช้ AM-GM-HM
ข้อ 4 ผมใช้ Cauchy-Schwarz พิสูจน์ ให้ $a,b,c\in \mathbb{R} ^+$ โดย อสมการ AM-GM จะได้ว่า $(\frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a})+(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c})\geqslant 6$ $3(\frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}) \geqslant 2(3+(\frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}))=2((a+b+c)(\frac{1}{a}+ \frac{1}{b} +\frac{1}{c} ))$ $\frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\geqslant \frac{2}{3}(a+b+c)(\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c} )$.............(*) โดยอสมการ GM-HM $\frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} }\leqslant \sqrt[3]{abc}$ $ (\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c} )\geqslant \frac{3}{\sqrt[3]{abc} }$ $ \frac{2(a+b+c)}{3} (\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c} )\geqslant \frac{2(a+b+c)}{\sqrt[3]{abc} }$.........................(**) จาก(*)และ(**) จะได้ว่า $\frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\geqslant \frac{2(a+b+c)}{\sqrt[3]{abc} }$ $1+\frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+1\geqslant 2+\frac{2(a+b+c)}{\sqrt[3]{abc} }$ $\therefore (1+\frac{a}{b} )(1+\frac{b}{c} )(1+\frac{c}{a} )\geqslant 2(1+\frac{(a+b+c)}{\sqrt[3]{abc} })$ ตามต้องการ พิสูจน์ ให้ $a,b,c\in \mathbb{R} ^+$ โดยอสมการ Cauchy-Schwarz จะได้ว่า $\frac{a}{\sqrt{2ab+3ac}}(\sqrt{2ab+3ac})+\frac{b}{\sqrt{2bc+3ba}}(\sqrt{2bc+3ba})+\frac{c}{\sqrt{2ca+3cb}}(\sqrt{2ca+3cb}) \leqslant \sqrt{(\frac{a^2}{2ab+3ac}+\frac{b^2}{2bc+3ba}+\frac{c^2}{2ca+3cb})}\sqrt{2ab+3ac+2bc+3ba+2cb+3ca}$ $a+b+c\leqslant \sqrt{(\frac{a^2}{2ab+3ac}+\frac{b^2}{2bc+3ba}+\frac{c^2}{2ca+3cb})}\sqrt{5(ab+bc+ca)}$ $\frac{a+b+c}{\sqrt{5(ab+bc+ca)} }\leqslant\sqrt{(\frac{a^2}{2ab+3ac}+\frac{b^2}{2bc+3ba}+\frac{c^2}{2ca+3cb})}$ $\frac{(a+b+c)^2}{5(ab+bc+ca)}\leqslant (\frac{a^2}{2ab+3ac}+\frac{b^2}{2bc+3ba}+\frac{c^2}{2ca+3cb})=\frac{a}{2b+3c}+\frac{b}{2c+3a}+\frac{c}{2a+3b}$........(*) และ โดยอสมการ AM-GM จะได้ว่า $\frac{a^2+b^2}{2}+\frac{b^2+c^2}{2}+\frac{c^2+a^2}{2}\geqslant ab+bc+ca$ $a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\geqslant 3(ab+bc+ca)$ $(a+b+c)^2\geqslant 3(ab+bc+ca)$..................(**) จาก (*) และ (**) จะได้ว่า $\frac{3(ab+bc+ca)}{5(ab+bc+ca)}\leqslant \frac{a}{2b+3c}+\frac{b}{2c+3a}+\frac{c}{2a+3b}$ $\therefore \frac{3}{5}\leqslant \frac{a}{2b+3c}+\frac{b}{2c+3a}+\frac{c}{2a+3b}$ ตามต้องการ |
อ้างอิง:
The inequality becomes $(a+b+c)(ab+bc+ca)\geq 3abc + 2(abc)^{2/3}(a+b+c)$. Then use AM-HM and AM-GM. 4. Another Solution : $x=2b+3c,y=2c+3a,z=2a+3b$. $a=\dfrac{-6x+9y+4z}{35}$ $b=\dfrac{4x-6y+9z}{35}$ $c=\dfrac{9x+4y-6z}{35}$. Then use AM-GM inequality. |
ขอบคุณมากคับ
|
ว่าแต่ประกาศผลค่าย 2 เมื่อไหร่ครับอยากรู้มากครับ :please:
บางวันผมไม่ได้ไปที่ค่ายเลยไม่รู้รายละเอียดต่างๆ ปล.เห็นด้วยครับข้อสอบปีนี้ง่ายกว่าปีก่อน :great: |
#24
ที่ง่ายกว่าปีก่อนๆ อาจจะเพราะว่าปีนี้คะแนนสอบเข้ามันต่ำเป็นพิเศษก็ได้นะครับ |
ข้อ 4 คอมบินาทอริก มันง่ายขนาดนั้นเลยเหรอคับ ผมว่ามันต้ิองมีอะไรแน่ๆเลย - -
ข้อ 4 NT นี่ Induction หรือเปล่าคับ ??? |
I3. A.M.-G.M. Inequality
\[\prod_{cyc}(1+\frac{a}{b})=2+\sum_{sym}\frac{a}{b}=2+\frac{1}{3}\sum_{cyc}(\frac{a}{b}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c})+\frac{1}{3}\sum_ {cyc}(\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{a}{c})\geqslant 2+2\sum_{cyc}\sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}}=2(1+\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}})\] I4. Cauchy-Schwarz Inequality \[\sum_{cyc}\frac{a}{2b+3c}=\sum_{cyc}\frac{a^2}{2ab+3ca}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{5ab+5bc+5ca}\geqslant \frac{3ab+3bc+3ca}{5ab+5bc+5ca}=\frac{3}{5}\]  |
คอมบินาทอริก ข้อ 5 มันคือ ไอ้นี่ใช่ป่ะ ยังไม่ได้หาคำตอบนะ
$$\sum_{n = 1}^{2000}n\binom{2000}{n} = 2^{2000}-2+\binom{2000}{1000}$$ คิดต่อไม่ได้ละ |
อ้างอิง:
$k^{2^n}-1=(k-1)(k+1)(k^2+1)(k^4+1)\cdots (k^{2^{n-1}}+1)$ ถ้าพิสูจน์ได้ว่า $8|k^2-1$ ก็จบครับ |
2 ไฟล์และเอกสาร
มาต่อเรขาคณิตข้อ 2
Attachment 2032 ABCD เป็นสี่เหลี่ยมคางหมู ต่อ ON จะได้ ON ตั้งฉาก BC (เส้นสัมผัสวง) สามเหลี่ยม OPC เท่ากับทุกประการกับ สามเหลี่ยม ONC (ดดด) สามเหลี่ยม OPCมีพื้นที่ เท่ากับ สามเหลี่ยม ONC ทำนองเดียวกัน สามเหลี่ยม ONB มีพื้นที่ เท่ากับ สามเหลี่ยม OQB จะได้ $\bigtriangleup PCO + \bigtriangleup OQB = \bigtriangleup OCN + \bigtriangleup ONB = \bigtriangleup OCB $ ......(1) Attachment 2033 ลาก MC แบ่งครึ่งมุมภายยอก PCB ---> x = x ลาก MB แบ่งครึ่งมุมภายนอก QBC พบกันที่ M ---> y = y จะได้ สี่เหลี่ยม OCMB เป็สี่เหลี่ยมมุมฉาก พิสูจน์สี่เหลี่ยม OCMB เป็นสี่เหลี่ยมมุมฉาก $\because \ \ x + x + y +y = 180^\circ $ (ผลบวกมุมภายในของเส้นขนาน) $x+y = 90 ^\circ $ ดังนั้น $ \ \ CMB = 90^\circ $ ทำนองเดียวกัน OC แบ่งครึ่งมุม PCN และ OB แบ่งครึ่งมุม QBC จะได้ OCM และ OBM เป้นมุมฉาก ดังนั้น สี่เหลี่ยม OCMB จึงเป็นสี่เหลี่ยมมุมฉาก สี่เหลี่ยม OCMB มีพื้นที่ = 4x2 = 8 ตารางนิ้ว สี่เหลี่ยม PCQB = 2 (สามเหลี่ยม OCB) (จาก(1)) = 8 ตารางนิ้ว .....(2) Attachment 2033 $\because \ \ COB$ เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังนั้น $CB =2\sqrt{5} $ จากคุณสมบัติเส้นสัมผัสวง จะได้ PC = CN และ NB = BQ ดังนั้น CB = PC +QB = ผลบวกด้านคู่ขนาน $=2\sqrt{5} $ พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู $ PCBQ = 8 = \frac{1}{2} \cdot 2r ( 2\sqrt{5} $) จะได้ $r = \frac{4}{\sqrt{5}}$ จะได้พื้นที่สี่เหลี่ยม $DPQA = r \cdot 2r = 2 \cdot \frac{4}{\sqrt{5}} \cdot \frac{4}{\sqrt{5}} = 6.4 $ ตารางนิ้ว .....(3) พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู $ABCD = $ สี่เหลี่ยม$ AQPD + $ สี่เหลี่ยมคางหมู$QBCP = 6.4 + 8 = 14.4$ ตารางนิ้ว |
| เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 16:42 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha