ข้อ 13. จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่มากที่สุด ที่ทำให้ให้ $((n!)!)!$ เป็นตัวประกอบตัวหนึ่งของ $((2009)!)!$

เฉลยวิธีทำ:

เมื่อ $((n!)!)!$ เป็นตัวประกอบตัวหนึ่งของ $((2009)!)!$ หมายถึง $((n!)!)!$ หาร $((2009)!)!$ ลงตัว

ซึ่งจะเป็นไปได้ ก็ต่อเมื่อ $n!$ ต้องน้อยกว่าหรือเท่ากับ $2009$ เท่านั้น

เนื่องจาก $6! = 720$ และ $7! = 5040$ ดังนั้น จำนวนเต็มบวก $n$ ที่มากที่สุดตามเกณฑ์ที่ต้องการ คือ $6$

ข้อ 12. ให้ $A = \{1, 2, 3, ?, 12\}$ จงหาจำนวนสับเซต $S$ ของ $A$ โดยที่ผลบวกของสมาชิกที่น้อยที่สุดของ $S$
กับสมาชิกที่มากที่สุดของ $S$ เท่ากับ $13$

เฉลยวิธีทำ:

สับเซตที่เข้าเกณฑ์ตามที่โจทย์กำหนด จะต้องมีสมาชิกค่าต่ำสุดและค่าสูงสุด ดังนี้
$\{1, ?, 12\}, \{2, ?, 11\}, \{3, ?, 10\}, \{4, ?, 9\}, \{5, ?, 8\}\;$ และ $\;\{6, ?, 7\}$

แต่ละกรณีข้างต้น มีจำนวนตัวเลขระหว่างกลางอยู่ $\;(max - min - 1)\;$ จำนวน ซึ่งแต่ละจำนวนอาจรวมหรือ
ไม่รวมเข้ามาในสับเซตก็ได้ ดังนั้นแต่ละกรณีจึงมีจำนวนสับเซตได้ $\;2^{(max - min -1)}\;$ สับเซต

จำนวนสับเซต $S$ ทั้งหมด
$= 2^{(12 ? 1 ? 1)} + 2^{(11 ? 2 ? 1)} +2^{(10 ? 3 ? 1)} +2^{(9 ? 4 ? 1)} +2^{(8 ? 5 ? 1)} +2^{(7 ? 6 ? 1)}$
$= 2^{10} + 2^8 +2^6 +2^4 +2^2 +2^0$
$= 1024 + 256 + 64 + 16 + 4 + 1$
$= 1365$ สับเซต

ข้อ 17. กำหนดลำดับฟิโบนักชี (Finbonacci) $F_1, F_2, F_3, ?$ โดยที่ $F_1 = F_2 = 1$ และ $F_{n+1} = F_n + F_{n-1}$
เมื่อ $n \geqslant 2\;$ ให้ $X = \{n | 1 \leqslant n \leqslant 1000$ และ $13$ เป็นตัวประกอบของ $Fn \}$ จงหา $|X|$

เฉลยวิธีทำ: (อาศัยทฤษฎีบทที่แน่นอน)

อาศัยทฤษฎีบทที่ว่า ?สำหรับจำนวนเฉพาะ p ใดๆ, มีจำนวนฟิโบนักชีนับอนันต์ ที่สามารถหารด้วย p ลงตัว
และจำนวนทั้งหมดอยู่ห่างเท่าๆ กันในลำดับฟิโบนักชี (For any prime p, there are infinitely many
Fibonacci numbers that are divisible by p and these are all equally spaced in the
Fibonacci sequence)? ซึ่งผมอ้างอิงจากหน้า 287 ในหนังสือ Elementary Number Thoery,
David M. Burton, sixth edition, 2007. (มีบทพิสูจน์สมบูรณ์ในเล่มดังกล่าวด้วย)

ดังนั้นสิ่งที่เราต้องหา ก็คือ ลำดับของจำนวนฟิโบนักชีตัวแรกสุดที่หารด้วย $13$ ลงตัว ซึ่งเราพบว่า $7$ ตัวแรก
ของลำดับฟิโบนักชีมีดังนี้ $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13$ นั่นคือลำดับที่ $7$ หารด้วย $13$ ลงตัว แปลว่า ทุกตัวที่อยู่
ในลำดับซึ่งเป็นพหุคูณของ $7$ ย่อมหารด้วย $13$ ลงตัวด้วย

เนื่องจาก $1000 = 7 \times 142 + 6$ จึงมีจำนวนฟิโบนักชีอยู่ $142$ ตัวที่หารด้วย $13$ ลงตัวในช่วง
$1 \leqslant n \leqslant 1000$ ตามเงื่อนไขในโจทย์ นั่นคือ $|X| = 142$ เป็นคำตอบที่ต้องการ

หมายเหตุ: ข้อนี้หากไม่อ้างหรือไม่รู้ทฤษฎีบท ก็ไม่มีทางมั่นใจได้ว่าทุกๆ 7 ลำดับจะหารด้วย 13 ลงตัวหรือไม่
ต่อให้เราทดลองบวกไปถึงลำดับที่ 21 แล้วหาร 13 ลงตัว ก็ไม่ได้แปลว่าลำดับที่ 28 จะหารด้วย 13 ลงตัว
ดังนั้น ทฤษฎีบทดังกล่าวจึงจำเป็นและเพียงพอ

ข้อ 19 ตอบ 94 กำลังหาวิธีเฉลยแบบง่าย ๆอยู่ครับ

ข้อ 19 ผมแชร์วิธีข้างล่างนี้ ไม่รู้ว่าใครมีวิธีอื่นดีกว่านี้บ้าง
.
ข้อ 19. ให้ $N = 7777777777$ จงหา $Sum(N^2)$

เฉลยวิธีทำ:

$N = 7777777777 = 7 \times 1111111111$
$N^2 = 49 \times (1111111111)^2 = (50-1) \times 12345678900987654321$
$\qquad = 61728395049382716050-12345678900987654321$
$\qquad = 60493827148395061729$
ดังนั้น $\;Sum(N^2) = 94$

ผมก็ใช้ $7777777777^2-2222222223^2=55555555540000000000$
แล้วก็คูณ $2222222223^2$ แต่ผมว่าเวลาสอบคงมีคำนวณพลาดแน่ๆครับ
ผมว่าน่าจะมีรูปแบบที่ใช้หาคำตอบได้โดยไม่ต้องคูณโดยตรงครับ
กำลังพยายามอยู่ครับ

เอาเรขาคณิตข้อ 25 ไปก่อนนะครับ
[IMG][/IMG]

แวะมาเพิ่มอีกข้อ ... ตอนนี้น่าจะเกินครึ่งทางหรือ 15 ข้อไปแล้ว ?

ข้อ 16. ให้ $X = \{1, 2, 3, ?, 63\}$ จงหาจำนวนสับเซต $S$ ของ $X$ โดยที่ผลรวมของสมาชิกทุกตัวใน $S$ เท่ากับ $2009$

เฉลยวิธีทำ:

เนื่องจาก $1+2+3+?+63 = (63\times64)/2 = 2016$ ซึ่งมากกว่า $2009$ อยู่ $7$
ดังนั้นสับเซต S ที่ต้องการจึงหาได้โดยการตัดบางจำนวนที่รวมกันได้ $7$ ออกไปจากเซต $X$ เดิม

กลุ่มจำนวนที่รวมกันได้ $7$ คือ $\{7\}, \{1, 6\}, \{2, 5\}, \{3, 4\}, \{1, 2, 4\}$ ซึ่งมีทั้งหมด $5$ กรณี
ดังนั้นจำนวนสับเซต $S$ จึงเท่ากับ $5$ สับเซต (คือ เอากลุ่มจำนวนที่รวมกันได้ $7$ ออกไปทีละกรณี)

หมายเหตุ: ยังไม่มีกระทู้แบบนี้สำหรับเฉลยปีอื่นเลย ใครต้องการเปิดกระทู้ เชิญเลยครับ! (ใจจริงอยากให้เจ้าของกระทู้นี้เป็นคนเปิด)

ข้อ 26. ยังไม่มีใครโพสต์ งั้นผมแสดงวิธีคิดของผมไว้ก่อน :-)

เฉลยวิธีคิด:

ลากเส้น $AD$ และ $ED$ โดยโจทย์กำหนด $\angle ADC = 74^\circ$
$\angle AED$ เป็นมุมในสามเหลี่ยมที่ตรงข้ามกับมุมของเส้นสัมผัสวงกลม ดังนั้น $\angle AED = \angle ADC = 74^\circ$
ในทำนองเดียวกันจะได้ $\angle ABC = \angle GAF = 32^\circ$

โจทย์กำหนด $AE : EB = AF : FC$ จึงสรุปได้ว่า $EF // BC$ ดังนั้น $\angle AEF = \angle ABC = 32^\circ$

คำนวณ $\angle DEF$ จาก $\angle DEF = \angle AED -\angle AEF = 74-32 = 42^\circ$
เนื่องจากมุมที่อยู่บนส่วนโค้งเดียวกันย่อมเท่ากัน ดังนั้น $\angle GAD = \angle DEF = 42^\circ$

พิจารณา $\triangle ABD$ จะได้ว่า $\angle BAD = \angle ADC -\angle ABD = 74-32 = 42^\circ$

ดังนั้น $\angle BAC = \angle GAD + \angle BAD = 42 + 42 = 84^\circ$

ทำไปทำมา มีแค่ผมกับคุณ Switchgear ช่วยกันเฉลยนะครับ

เรขาคณิตข้อ 29 ผมว่าคำตอบมีมากมายครับ ไม่ทราบว่าคุณSwitchgearมีความเห็นอย่างไรครับ
(ไม่รู้โจทย์ให้ข้อมูลมาไม่ครบหรือไม่ครับ)

ไม่ใช่ คุณ Switchgear แสดงความเห็นได้มั้ยครับ ถ้าได้ค่อยอ่านบรรทัดต่อไป ถ้าไม่ได้ขออภัยครับ

เพียงแค่มาบอกว่าข้อมูลที่ให้มาครบแล้วครับ ลืมข้อมูลที่ว่า AB แบ่งครึ่งและตั้งฉากกับ XO หรือเปล่าครับ

เชิญครับผมอยากแลกเปลี่ยนความคิด ไม่แบ่งแยกเลยครับ
แล้วจะได้ว่ายังไงครับ

#42
ขออนุญาตใช้รูปของ คุณ กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย นะครับ ให้ XO ตัดกับ AB ที่จุด Q จากที่โจทย์กำหนดจะได้ว่า XQ =QO แล้วใช้กฎของ sine ที่ว่า
$\frac{a}{sin A} = 2R$ จะได้ว่า $\frac{8}{sin 45^0} = 2R$ จะหา R ได้ซึ่งเท่ากับ XO แล้วต่อด้วย ทบ.พีธากอรัส ก็จะได้ AB ครับ

งั้น รัศมี OA = $4\sqrt{2}$ และ คำตอบคือ $4\sqrt{6}$ สินะครับ
ขอบคุณครับคุณหยินหยาง

#44

ใช่ครับ :great: