ร่วมเฉลย สอวน pratabong กรุงเทพ 2552
 

http://www.pratabong.com/P_web/math/..._Posn_2552.pdf

สืบเนื่องมาจาก กระทู้พี่ SIL ช่วยเฉลยข้อที่น่าสนใจหน่อยครับ :sweat: :please:

ถ้าคุณน้องสนใจมีหนังสือรวมเล่ม สอวน. ศูนย์สวนกุหลาบ ตั้งแต่รุ่นแรกเลยครับ ราคาไม่แพง ชื่อ "เฉลยคณิตศาสตร์โอลิมปิค ม.ต้น" (ประมาณนี้แหละ)

ไม่ต้องประมาณชื่อตรงๆคือ "เฉลยข้อสอบ สอวน. 2543-2548"

ถ้าจำไม่ผิดเล่มนั้นเขาเฉลยตั้งแต่ 2541-2552 อ่ะครับ :yum:

ขอโทษด้วยครับ:please::please: ผมคงไม่กล้าเอาหนังสือที่ว่ามาโชว์แล้วครับ เพราะสอวน.ของผมกับของคุณ -SIL- คงไม่เหมือนกันแล้วครับ เพราะเท่าที่รู้มา สอวน. มีการจัดสอบครั้งแรกก็ปี 2543 ครับถือเป็นรุ่นที่1 ซึ่งในรุ่นนั้นยังไม่มีการแข่ง TMO ครับ
ส่วน ในปีพุทธศักราช 2541 สมเด็จเจ้าฟ้าฯ กรมหลวงนราธิวาสราชนครินทร์ ทรงประทานเงินส่วนพระองค์ให้กับศาตราจารย์ศักดา ศิริพันธุ์ (นายกสมาคมวิทยาศาสตร์แห่งประเทศไทยฯในขณะนั้น) เพื่อดำเนินการจัดตั้ง "มูลนิธิ ส่งเสริมโอลิมปิกวิชาการ และพัฒนามาตรฐานวิทยาศาสตร์ศึกษา ในพระอุปถัมภ์สมเด็จพระเจ้าพี่นางเธอ เจ้าฟ้ากัลยาณิวัฒนา กรมหลวงนราธิวาสราชนครินทร์ (สอวน.)" และทรงรับเป็นองค์ประธานมูลนิธิฯ ด้วย มูลนิธิ สอวน. มีจุดมุ่งหมายเพื่อสนับสนุนการพัฒนากาศึกษาด้านวิทยาศาสตร์ และคณิตศาสตร์ของนักเรียนทั้งประเทศให้ได้มาตรฐานสากล และ ประเทศไทยจะได้นักเรียนที่มีความรู้ระดับมาตรฐานสากลมาเข้าร่วมแข่งขันคัด เลือกเป็นผู้แทนประเทศไทยไปแข่งขันทางวิชาการกับนานาชาติมากขึ้น ซึ่งเป็นการพัฒนาทรัพยากรบุคคลแบบยั่งยืน
ปล. ผมคงเข้าไม่ถึง สอวน.ของคุณ -SIL- แล้วครับ:p:p (ขำๆก่อนนอนก็แล้วกัน)

จำผิดจริงๆด้วยแฮะ :laugh: หนังสือที่ว่าคือ เล่มนี้ครับ (หาหน้าปกไม่เจอ ส่วนใหญ่เป็นสีชมพูครับ)

http://www.chulabook.com/description...=9786117082061
ปล. แล้วเลข 2541 มาจากไหนหว่า :sweat:

เล่มที่ว่า เคยดูผ่านๆ ผมว่าสำหรับผมนะ เฉลยไม่ถูกใจผม (ผมคงใช้คำกลางๆ) อยากเห็นหน้าปกและปี พ.ศ. ก็ดูที่นี่ก็ได้ครับ ของคุณ -SIL- ที่หน้าปก หายเพราะเค้าอายเลยหลบหน้าหนี แต่ไม่เป็นไรผมไปตามาให้ครับลองดูจากที่นี่
http://74.125.153.132/search?q=cache...ient=firefox-a

ปล.เล่มที่ผมบอกเป็นของ โรงเรียนสวนกุหลาบวิทยาลัย

สัปดาห์ที่แล้ว ผมเพิ่งซื้อเล่มที่คุณหยินหยางนำมาแนะนำไว้
มีเฉลยปี 2543-2551 ยังขาดเฉลยปี 2552 ที่กระทู้นี้พูดถึง

เสาร์-อาทิตย์ที่ผ่านมา ผมลองคิดเองและเทียบกับเฉลยดู
(เพื่อเตรียมสอนหลานสาว 2 คน) ส่วนใหญ่เฉลยก็ OK!
แต่มีหลายข้อที่เฉลยค่อนข้างยาวมาก และน่าจะเป็นส่วนที่
คุณหยินหยางบอกว่าไม่ถูกใจ!

แต่ภาพรวมผมว่า คนที่เตรียมสอบก็ควรซื้อเล่มนี้ไว้ :-)

ตอนนี้เฉลยปี 2552 มีออกมาขายแล้ว หาซื้อได้ที่ศูนย์หนังสือจุฬาฯ หรือซีเอ็ด

เฉลยข้อสอบคณิตศาสตร์ สอวน. พ.ศ.2549-2552
โครงการส่งเสริม โอลิมปิกวิชาการ และพัฒนามาตรฐานวิทยาศาสตร์ และ คณิตศาสตร์ศึกษา
ผู้เขียน รัชพล ธนาภากรรัตนกุล (ชาย พงษ์พัฒนาศิลป์)
จำนวน 136 หน้า
ราคาปก 110 บาท

เดี๋ยวจะกลายเป็นกระทู้สนทนาอย่างเดียว ไม่มีเฉลย :-)

งั้นผมขอเปิดตัวข้อ 1 ก่อนนะครับ ... พยายามจะไม่ให้เหมือนกับเล่มที่มีวางขาย
คนที่เข้ามาอ่านจะได้มีแนวคิดหลายแบบขึ้น (แนะนำให้ซื้อเล่มที่วางขายด้วย)

หมายเหตุ: ว่างๆ จะเข้ามาเปลี่ยนเป็น LaTex ให้ครับ ตอนนี้ต๊ะไว้ก่อน :-)
.

ข้อ 10. ให้ $x$ เป็นจำนวนจริงที่เป็นคำตอบของสมการ $x^2-3x+1 = 0$ จงหาค่าของ $x^9+x^7+x^{-9}+x^{-7}$

เฉลย:

$\quad x^2-3x+1 = 0 \quad \rightarrow \quad x^2+1 = 3x \quad \rightarrow \quad x + \frac{1}{x} = 3$

$\quad (x + \frac{1}{x})^2 = 3^2 \quad \rightarrow \quad x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 9 \quad \rightarrow \quad x^2 + \frac{1}{x^2} = 7$

$\quad (x^2 + \frac{1}{x^2})^2 = 7^2 \quad \rightarrow \quad x^4 + 2 + \frac{1}{x^4} = 49 \quad \rightarrow \quad x^4 + \frac{1}{x^4} = 47$

$\quad (x^4 + \frac{1}{x^4})^2 = 47^2 \quad \rightarrow \quad x^8 + 2 + \frac{1}{x^8} = 2209 \quad \rightarrow \quad x^8 + \frac{1}{x^8} = 2207$

$\quad x^9+x^7+x^{-9}+x^{-7} = (x^8 + \frac{1}{x^8})(x + \frac{1}{x}) = 2207\times 3 = 6621$

ข้อ 9. นะครับ ให้ $f(x)=mx+c$
f($x_1$+$x_2$+$x_3$+$x_4$+$x_5$)=f($x_1$)+f($x_2$)+f($x_3$)+f($x_4$)+f($x_5$)-8
m($x_1$+$x_2$+$x_3$+$x_4$+$x_5$)+c=m($x_1$+$x_2$+$x_3$+$x_4$+$x_5$)+5c-8
$- 4c = -8$
ได้ c= 2 ดังนั้น $f(0)=2$

ทำไมให้ $f(x)=mx+c$ อ่าครับ

เป็นฟังก์ชันพื้นฐานของข้อสอบประเภท functional equation นะครับ
ของม.ปลายก้อไม่เกิน $f(x)=mx+c$ กับ f(x)=a$x^2$+bx+c หรอกครับ

ข้อ 5.
$$\sum_{i= 1}^{100} \left(\dfrac{1}{i}\sum_{i = 1}^{i}i \right)=\sum_{i = 1}^{100}\left(\dfrac{i(i+1)}{2i}\right)=\sum_{i = 1}^{100} \dfrac{i+1}{2}=100(\dfrac{1}{2})+\dfrac{1}{2}\sum_{i = 1}^{100}i=50+\dfrac{5050}{2}=2575 $$

ข้อ 3. นะครับ ถ้า 10 , a , b , ab เรียงเป็นลำดับเลขคณิต
จะได้ว่า a-10 = b - a = ab - b = d
ดังนั้น a = d+10 , b = 2k+10 แทนใน ab - b = d
แก้สมการกำลังสองได้ 2$d^2$+27d+90 = 0
ได้ d = -6 , -7.5
และได้ลำดับเป็น 10 , 4 , -2 , -8 กับ 10 , 2.5 , -5 , -12.5
โจทย์ให้หาผลรวมค่า a คำตอบตือ 6.5 ครับ

ข้อ 9. เพียงแต่สมมติให้ $x_i = 0$ ก็พอแล้ว เมื่อแทนค่าจะได้ $f(0) = 5f(0) - 8 \quad \rightarrow \quad f(0) = 2$

ขอบคุณมากครับคุณSwitchgear แต่ผมกลัวว่า จะงงกันใหญ่ซิครับ สำหรับน้องๆที่ยังไม่เคยเจอโจทย์แนวนี้
ว่าแล้วก้อตอบข้อ 4. ต่อเลยนะครับ
ตอบ 1005 ครับ วิธีคิดคงต้องให้คุณSwitchgear ช่วยนะครับ เพราะผมคิดมายาวมากเลยครับ

ข้อ 8 .ก้อไม่ยากครับ ลองเขียนกราฟดูครับ

จากนิยามของ $\left\lfloor\ x \right\rfloor$
จะได้ $\left\lfloor\ x_1 \right\rfloor$+$\left\lfloor\ x_2 \right\rfloor$ = -1+2 =1

ผมขอกระโดดไปเฉลยเรขาคณิตซักข้อก่อน :-)

ข้อ 23. ให้หารัศมีของวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยมที่กำหนดให้ (ไม่อยากโพสต์รูป ดูในพระตะบองได้)

เฉลยวิธีที่ 1: (อาศัยตรีโกณมิติ)
ให้ $O$ เป็นจุดศูนย์กลางวงกลม ลากเส้น $OA$ และ $OB$ ซึ่งยาวเท่ากับรัศมี $R$
จากความรู้ที่ว่า ?มุมที่จุดศูนย์กลางเป็นสองเท่าของมุมที่เส้นรอบวง? จะได้ว่า $A\hat OB\; = \;A\hat CB\; = \;\theta $
จากรูปพบว่า $\sin \theta \;= \;{8 \over {10}}\;= \;{4 \over 5}$ ดังนั้น $\cos \theta \; = \;\sqrt {1 - \sin ^2 \theta } \; = \;{3 \over 5}$ และ $\cos 2\theta \;= \;1 - 2\sin ^2 \theta \; = \; - {7 \over {25}}$
ใช้กฎโคไซน์กับ $\Delta AOB$ ดังนี้ $12^2 \; = \;R^2 + R^2 - 2R^2 \cos 2\theta \quad \to \quad R\; = \;7.5$

เฉลยวิธีที่ 2:
อาศัยทฤษฎีบทที่ 77 จากกระทู้ ?ตะลุยโจทย์เรขาคณิต (Geometry) ตอน "78 กระบวนท่า"? ที่ผมโพสต์ใน ?วิชาการ.คอม?
จะได้ว่า $
2R \times AD\; = \;AB \times AC\quad \to \quad 2R \times 8\; = \;12 \times 10\quad \to \quad R\; = \;7.5
$

ความรู้เพิ่มเติม:
ทฤษฎีบทที่ 77 บอกว่า ?ผลคูณระหว่างด้านทั้งสองที่ประกอบเป็นมุมยอดของสามเหลี่ยม จะมีค่าเท่ากับ
ผลคูณระหว่างเส้นที่ลากตั้งฉากจากมุมยอดมายังฐานกับเส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยมนั้น?

กระทู้ใน วิชาการ.คอม ที่อ้างถึง http://www.vcharkarn.com/vcafe/51345/1

จากความเห็น # 18 ของคุณ กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย
ว่าแล้วก้อตอบข้อ 4. ต่อเลยนะครับ
ตอบ 1005 ครับ วิธีคิดคงต้องให้คุณSwitchgear ช่วยนะครับ เพราะผมคิดมายาวมากเลยครับ

ผมเองก็ยังไม่มีวิธีคิดสั้นๆ สำหรับข้อนี้ พยายามหาอยู่ ...
ช่วงนี้ผมพยายามคิดแต่ละข้อ ด้วยวิธีที่ต่างจากหนังสือที่ซื้อมา คงต้องใช้เวลาหน่อยจึงจะคิดออก :-)

น่าแปลกนะครับ "การดำเนินชีวิตนั้นเราต้องคิดให้ยาว แต่การแก้โจทย์คณิตศาสตร์กลับพยายามคิดสั้น" :-)

ผมอยากให้เจ้าของกระทู้นี้ คือ คุณ Siren-Of-Step ลองเปิดกระทู้แบบเดียวกันสำหรับเฉลยแต่ละปี
เพราะมีหลายข้อของปีเก่าๆ ที่ผมคิดต่างจากหนังสือที่มีวางขาย เราจะได้ช่วยกันโพสต์
(ไม่แน่ใจว่ามีกระทู้เฉลยปีก่อนๆ แล้วหรือยัง เพราะห่างหายไปช่วงหนึ่ง)

เฉลยข้อ 7 ในหนังสือ อ.รัชพล คิดถูกทางแล้ว แต่เนื่องจาก $m = 0$ ทำให้สมการมีคำตอบเดียว
$m = 0$ จึงเป็นคำตอบไม่ได้ ดังนั้น $M \cap Z = \varnothing \rightarrow |M \cap Z| = 0$

แวะเข้ามาเพิ่มเฉลยข้อ 21
.
ข้อ 21. ให้หา $CD^2+BE^2$ (ไม่อยากโพสต์รูป ดูในพระตะบองได้)

เฉลย:
เส้นตั้งฉากจากจุดศูนย์กลางไปยังคอร์ด ย่อมแบ่งครึ่งคอร์ดเสมอ ดังนั้น $AB\; = \;DB\; = \;x;\quad AE\; = \;EC\; = \;y$
จาก $\Delta ADE$ ได้ $x^2 + y^2 \; = \;DE^2 \; = \;16$
ดังนั้น $CD^2 + BE^2 \; = \;\{ (2y)^2 + x^2 \} + \{ (2x)^2 + y^2 \} \; = \;5(x^2 + y^2 )\; = \;80$

ผมลองเสนอแนวคิดที่ผมทำ ไม่รู้ว่ายาวหรือเปล่า แนวคิดของข้อนี้คือต้องใช้การสังเกต
ข้อ 4. จากโจทย์จะสังเกตได้ว่า $f(x) = \frac{x^5}{(1-x)^5+x^5}$
และจะได้ความสัมพันธ์ว่า $f(x)+f(1-x) =1$ หลังจากนี้ก็ง่้่ายแล้วครับก็จับคู่เอา
$\therefore \sum_{i = 1}^{2009}f(x_i) =1005$

ผมชอบแนวคิดข้อ 4 ของคุณหยินหยางมากครับ!
ในหนังสือที่วางขาย ก็เฉลยข้อ 4 แนวเดียวกับคุณหยินหยาง แต่ไม่ได้สรุปแนวคิดให้สั้นๆ แบบนี้

ผมเฉลยข้อ 22 ต่อเลยละกัน :-)
.
ข้อ 22. ให้หาความยาว $PQ$ (ไม่อยากโพสต์รูป ดูในพระตะบองได้)

เฉลยวิธีคิด: (แนวคิดนี้ คำนวณน้อยมาก)

ให้ $a = 22;\;b = 24;\;c = 20$ ลากเส้นตั้งฉากจากจุด $A$ มายังฐาน $BC$ และความสูงนั้น = $H$

เมื่อ $[ABC]$ แทนพื้นที่สามเหลี่ยม จะได้ ${1 \over 2} \times 22 \times H\; = \;[ABC]\quad \to \quad H\; = \;{{[ABC]} \over {11}}$

ให้ $R$ เป็นรัศมีของวงกลม อาศัยสูตร $R\; = \;{{[ABC]} \over {(a + b + c)/2}}\quad \to \quad R\; = \;{{[ABC]} \over {33}}\; = \;{H \over 3}$

อาศัยหลักสามเหลี่ยมคล้ายจะได้ ${{PQ} \over {BC}}\; = \;{{H - R} \over H}\quad \to \quad PQ\; = \;{2 \over 3}BC\; = \;{{44} \over 3}\; = \;14{2 \over 3}$

ความรู้เพิ่มเติม:

ขั้นตอนการพิสูจน์สูตรรัศมีวงกลมแนบในสามเหลี่ยม $R = {{[ABC]} \over {(a + b + c)/2}}$ มีดังนี้

กำหนด $\Delta ABC$ มีด้านตรงข้ามมุม $A,B,C$ ยาว $a,b,c$ ตามลำดับ

ให้วงกลมรัศมี $R$ แนบในสามเหลี่ยม มีจุดศูนย์กลางที่ $O$ และสัมผัสด้าน $BC,CA,AB$ ที่จุด $X,Y,Z$ ตามลำดับ

ดังนั้น $[ABC] = [OBC] + [OAC] + [OAB] = {1 \over 2}OX \cdot BC + {1 \over 2}OY \cdot CA + {1 \over 2}OZ \cdot AB = {1 \over 2}Ra + {1 \over 2}Rb + {1 \over 2}Rc
$

เมื่อจัดรูปสมการใหม่ก็จะได้ $R = {{[ABC]} \over {(a + b + c)/2}}$ ตามต้องการ

ข้อ 24. ให้หาอัตราส่วนพื้นที่แรเงาต่อพื้นที่ ABCD (ไม่อยากโพสต์รูป ดูในพระตะบองได้)

เฉลยวิธีคิด:

สมมติให้แต่ละด้านยาว 1 หน่วย จะได้ $a = 1$ ตารางหน่วย

ดังนั้น $AE = {3 \over 7};\;AH = {4 \over 7}\;\;\to \;\;EH = {5 \over 7}$ และ $\left[ {AEH} \right] = {1 \over 2} \times {3 \over 7} \times {4 \over 7} = {6 \over {7^2 }}$

กำหนดจุดยอดมุมของพื้นที่แรเงาเป็นที่อยู่ใกล้จุด $A,B,C,D$ เป็น $P,Q,R,S$ ตามลำดับ

สังเกตว่า $\Delta AEH \sim \Delta QBA$ โดยมี $\;\;{{AB} \over {EH}} = {7 \over 5}\;\;$ ดังนั้น $\;\;{{\left[ {QBA} \right]} \over {\left[ {AEH} \right]}} = \left( {{7 \over 5}} \right)^2 \;\;\to \;\;\left[ {QBA} \right] = \left( {{7 \over 5}} \right)^2 \left( {{6 \over {7^2 }}} \right) = {6 \over {25}}$

เนื่องจาก $\left[ {PAD} \right] = \left[ {SDC} \right] = \left[ {RCB} \right] = \left[ {QBA} \right]$

$\left[ {PQRS} \right] = \left[ {ABCD} \right] - \left[ {PAD} \right] - \left[ {SDC} \right] - \left[ {RCB} \right] - \left[ {QBA} \right] = 1 - 4 \times {6 \over {25}} = {1 \over {25}}\;\;$ หรือ $\;\;{{\left[ {PQRS} \right]} \over a} = {1 \over {25}}$

ข้อ 4 ต้องปรบมือให้ครับคุณหยินหยาง และ ข้อนี้ผมว่าโจทย์จะเป็น$f(x)=\frac{x^n}{(1-x)^n+x^n}$
เมื่อ n มากขึ้นเรื่อยๆ ครับ ผมเคยเจอกรณี n= 3 เอาไปสอนน้องๆ ก็บ่นว่ายากแล้ว
พอ n = 5 ก้อคงบ่นอีกครับ ปีต่อไปคง n = 7 , 9 , 11 ...:laugh:

ผมเอาเฉลยข้อ 30 มาฝาก พยายามคิดอยู่ตั้งนาน เพื่อหาวิธีที่ง่ายกว่าในหนังสือ
.
ข้อ 30. ให้คำนวณความยาวเส้น EF (ไม่อยากโพสต์รูป ดูในพระตะบองได้)

เฉลยวิธีคิด: (แนวคิดนี้คำนวณน้อย)

EF เป็นด้านร่วมของ ABFE และ EFCD แสดงว่าเส้นรอบรูปเหนือ EF เท่ากับเส้นรอบรูปใต้ EF

เนื่องจาก AB+BC+CD+DA = 3+6+8+4 = 21 ดังนั้น DC+ED+FC = 8+ED+FC = 21/2 = 10.5

แต่ FC : ED = 6 : 4 นั่นคือ FC = 1.5ED เมื่อนำไปแทนค่าสมการข้างต้นจะได้ ED = 1 นั่นคือ AE = 3

ลากเส้นจากจุด A และ B ลงมาตั้งฉากกับด้าน DC อาศัยหลักสามเหลี่ยมคล้ายที่อยู่ทางซ้ายและขวา

จะได้ว่า (EF?AB) : (DC?AB) = AE : AD = 3 : 4 แทนค่า AB และ DC แล้วแก้สมการจะได้ EF = 6.75

ข้อ 27. ให้หาพื้นที่สามเหลี่ยมใหญ่ที่ประกอบด้วยสามเหลี่ยมย่อย 2 อัน (ไม่อยากโพสต์รูป ดูในพระตะบองได้)

เฉลยวิธีคิด:

จากโจทย์ $\angle CAB = 45^\circ, \angle CBA = 60^\circ$ ดังนั้น $\angle ACB = 180-45-60 = 75^\circ$

เนื่องจากเส้น $BD$ แบ่งครึ่ง $\angle CBA$ นั่นคือ $\angle DBA = 30^\circ$ ทำให้ได้ $\angle CDB = 45+30 = 75^\circ$

จะเห็นว่า $\angle ACB = \angle CDB = 75^\circ$ ดังนั้น $\triangle BCD$ จึงเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว นั่นคือ $BC = BD = 8$

ลากเส้นจากจุด $C$ ลงมาตั้งฉากกับเส้น $AB$ ที่จุด $E$ จะได้ $EC = BC\times \sin 60^\circ = 4\sqrt{3} $

เนื่องจาก $\angle CAB = 45^\circ$ ดังนั้น $AE = EC = 4\sqrt{3}$ ขณะที่ $BE = BC\times \cos 60^\circ = 4$ ทำให้ได้ $AB = 4+4\sqrt{3}$

จากความยาว $EC$ และ $AB$ ข้างต้น จะได้ว่า $[ABC] = \frac{1}{2} ( 4+4\sqrt{3})( 4\sqrt{3}) = 24+8\sqrt{3}$

[IMG][/IMG]

[IMG][/IMG]

ข้อ 13. จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่มากที่สุด ที่ทำให้ให้ $((n!)!)!$ เป็นตัวประกอบตัวหนึ่งของ $((2009)!)!$

เฉลยวิธีทำ:

เมื่อ $((n!)!)!$ เป็นตัวประกอบตัวหนึ่งของ $((2009)!)!$ หมายถึง $((n!)!)!$ หาร $((2009)!)!$ ลงตัว

ซึ่งจะเป็นไปได้ ก็ต่อเมื่อ $n!$ ต้องน้อยกว่าหรือเท่ากับ $2009$ เท่านั้น

เนื่องจาก $6! = 720$ และ $7! = 5040$ ดังนั้น จำนวนเต็มบวก $n$ ที่มากที่สุดตามเกณฑ์ที่ต้องการ คือ $6$

ข้อ 12. ให้ $A = \{1, 2, 3, ?, 12\}$ จงหาจำนวนสับเซต $S$ ของ $A$ โดยที่ผลบวกของสมาชิกที่น้อยที่สุดของ $S$
กับสมาชิกที่มากที่สุดของ $S$ เท่ากับ $13$

เฉลยวิธีทำ:

สับเซตที่เข้าเกณฑ์ตามที่โจทย์กำหนด จะต้องมีสมาชิกค่าต่ำสุดและค่าสูงสุด ดังนี้
$\{1, ?, 12\}, \{2, ?, 11\}, \{3, ?, 10\}, \{4, ?, 9\}, \{5, ?, 8\}\;$ และ $\;\{6, ?, 7\}$

แต่ละกรณีข้างต้น มีจำนวนตัวเลขระหว่างกลางอยู่ $\;(max - min - 1)\;$ จำนวน ซึ่งแต่ละจำนวนอาจรวมหรือ
ไม่รวมเข้ามาในสับเซตก็ได้ ดังนั้นแต่ละกรณีจึงมีจำนวนสับเซตได้ $\;2^{(max - min -1)}\;$ สับเซต

จำนวนสับเซต $S$ ทั้งหมด
$= 2^{(12 ? 1 ? 1)} + 2^{(11 ? 2 ? 1)} +2^{(10 ? 3 ? 1)} +2^{(9 ? 4 ? 1)} +2^{(8 ? 5 ? 1)} +2^{(7 ? 6 ? 1)}$
$= 2^{10} + 2^8 +2^6 +2^4 +2^2 +2^0$
$= 1024 + 256 + 64 + 16 + 4 + 1$
$= 1365$ สับเซต

ข้อ 17. กำหนดลำดับฟิโบนักชี (Finbonacci) $F_1, F_2, F_3, ?$ โดยที่ $F_1 = F_2 = 1$ และ $F_{n+1} = F_n + F_{n-1}$
เมื่อ $n \geqslant 2\;$ ให้ $X = \{n | 1 \leqslant n \leqslant 1000$ และ $13$ เป็นตัวประกอบของ $Fn \}$ จงหา $|X|$

เฉลยวิธีทำ: (อาศัยทฤษฎีบทที่แน่นอน)

อาศัยทฤษฎีบทที่ว่า ?สำหรับจำนวนเฉพาะ p ใดๆ, มีจำนวนฟิโบนักชีนับอนันต์ ที่สามารถหารด้วย p ลงตัว
และจำนวนทั้งหมดอยู่ห่างเท่าๆ กันในลำดับฟิโบนักชี (For any prime p, there are infinitely many
Fibonacci numbers that are divisible by p and these are all equally spaced in the
Fibonacci sequence)? ซึ่งผมอ้างอิงจากหน้า 287 ในหนังสือ Elementary Number Thoery,
David M. Burton, sixth edition, 2007. (มีบทพิสูจน์สมบูรณ์ในเล่มดังกล่าวด้วย)

ดังนั้นสิ่งที่เราต้องหา ก็คือ ลำดับของจำนวนฟิโบนักชีตัวแรกสุดที่หารด้วย $13$ ลงตัว ซึ่งเราพบว่า $7$ ตัวแรก
ของลำดับฟิโบนักชีมีดังนี้ $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13$ นั่นคือลำดับที่ $7$ หารด้วย $13$ ลงตัว แปลว่า ทุกตัวที่อยู่
ในลำดับซึ่งเป็นพหุคูณของ $7$ ย่อมหารด้วย $13$ ลงตัวด้วย

เนื่องจาก $1000 = 7 \times 142 + 6$ จึงมีจำนวนฟิโบนักชีอยู่ $142$ ตัวที่หารด้วย $13$ ลงตัวในช่วง
$1 \leqslant n \leqslant 1000$ ตามเงื่อนไขในโจทย์ นั่นคือ $|X| = 142$ เป็นคำตอบที่ต้องการ

หมายเหตุ: ข้อนี้หากไม่อ้างหรือไม่รู้ทฤษฎีบท ก็ไม่มีทางมั่นใจได้ว่าทุกๆ 7 ลำดับจะหารด้วย 13 ลงตัวหรือไม่
ต่อให้เราทดลองบวกไปถึงลำดับที่ 21 แล้วหาร 13 ลงตัว ก็ไม่ได้แปลว่าลำดับที่ 28 จะหารด้วย 13 ลงตัว
ดังนั้น ทฤษฎีบทดังกล่าวจึงจำเป็นและเพียงพอ

ข้อ 19 ตอบ 94 กำลังหาวิธีเฉลยแบบง่าย ๆอยู่ครับ

ข้อ 19 ผมแชร์วิธีข้างล่างนี้ ไม่รู้ว่าใครมีวิธีอื่นดีกว่านี้บ้าง
.
ข้อ 19. ให้ $N = 7777777777$ จงหา $Sum(N^2)$

เฉลยวิธีทำ:

$N = 7777777777 = 7 \times 1111111111$
$N^2 = 49 \times (1111111111)^2 = (50-1) \times 12345678900987654321$
$\qquad = 61728395049382716050-12345678900987654321$
$\qquad = 60493827148395061729$
ดังนั้น $\;Sum(N^2) = 94$

ผมก็ใช้ $7777777777^2-2222222223^2=55555555540000000000$
แล้วก็คูณ $2222222223^2$ แต่ผมว่าเวลาสอบคงมีคำนวณพลาดแน่ๆครับ
ผมว่าน่าจะมีรูปแบบที่ใช้หาคำตอบได้โดยไม่ต้องคูณโดยตรงครับ
กำลังพยายามอยู่ครับ

เอาเรขาคณิตข้อ 25 ไปก่อนนะครับ
[IMG][/IMG]

แวะมาเพิ่มอีกข้อ ... ตอนนี้น่าจะเกินครึ่งทางหรือ 15 ข้อไปแล้ว ?

ข้อ 16. ให้ $X = \{1, 2, 3, ?, 63\}$ จงหาจำนวนสับเซต $S$ ของ $X$ โดยที่ผลรวมของสมาชิกทุกตัวใน $S$ เท่ากับ $2009$

เฉลยวิธีทำ:

เนื่องจาก $1+2+3+?+63 = (63\times64)/2 = 2016$ ซึ่งมากกว่า $2009$ อยู่ $7$
ดังนั้นสับเซต S ที่ต้องการจึงหาได้โดยการตัดบางจำนวนที่รวมกันได้ $7$ ออกไปจากเซต $X$ เดิม

กลุ่มจำนวนที่รวมกันได้ $7$ คือ $\{7\}, \{1, 6\}, \{2, 5\}, \{3, 4\}, \{1, 2, 4\}$ ซึ่งมีทั้งหมด $5$ กรณี
ดังนั้นจำนวนสับเซต $S$ จึงเท่ากับ $5$ สับเซต (คือ เอากลุ่มจำนวนที่รวมกันได้ $7$ ออกไปทีละกรณี)

หมายเหตุ: ยังไม่มีกระทู้แบบนี้สำหรับเฉลยปีอื่นเลย ใครต้องการเปิดกระทู้ เชิญเลยครับ! (ใจจริงอยากให้เจ้าของกระทู้นี้เป็นคนเปิด)

ข้อ 26. ยังไม่มีใครโพสต์ งั้นผมแสดงวิธีคิดของผมไว้ก่อน :-)

เฉลยวิธีคิด:

ลากเส้น $AD$ และ $ED$ โดยโจทย์กำหนด $\angle ADC = 74^\circ$
$\angle AED$ เป็นมุมในสามเหลี่ยมที่ตรงข้ามกับมุมของเส้นสัมผัสวงกลม ดังนั้น $\angle AED = \angle ADC = 74^\circ$
ในทำนองเดียวกันจะได้ $\angle ABC = \angle GAF = 32^\circ$

โจทย์กำหนด $AE : EB = AF : FC$ จึงสรุปได้ว่า $EF // BC$ ดังนั้น $\angle AEF = \angle ABC = 32^\circ$

คำนวณ $\angle DEF$ จาก $\angle DEF = \angle AED -\angle AEF = 74-32 = 42^\circ$
เนื่องจากมุมที่อยู่บนส่วนโค้งเดียวกันย่อมเท่ากัน ดังนั้น $\angle GAD = \angle DEF = 42^\circ$

พิจารณา $\triangle ABD$ จะได้ว่า $\angle BAD = \angle ADC -\angle ABD = 74-32 = 42^\circ$

ดังนั้น $\angle BAC = \angle GAD + \angle BAD = 42 + 42 = 84^\circ$

ทำไปทำมา มีแค่ผมกับคุณ Switchgear ช่วยกันเฉลยนะครับ

เรขาคณิตข้อ 29 ผมว่าคำตอบมีมากมายครับ ไม่ทราบว่าคุณSwitchgearมีความเห็นอย่างไรครับ
(ไม่รู้โจทย์ให้ข้อมูลมาไม่ครบหรือไม่ครับ)