เตรียมสอบ สพฐ. 2555 เรื่องทฤษฎีจำนวน
 

มาต่ออีกหนึ่งหัวข้อแล้วกันนะครับ.

ทฤษฎีจำนวน เป็นความรู้ซึ่งเกี่ยวข้องกับจำนวนนับ การตั้งคูณ การหารลงตัว การหาเศษเหลือ ห.ร.ม และ ค.ร.น ซึ่งโจทย์ส่วนใหญ่แล้วก็มีทั้งง่ายและยากคละเคล้ากันไป แต่ก็ชวนให้ค้นหา เพราะเข้าใจคำถามได้ไม่ยาก

วิธีทำ พิจารณากรณีต่างๆ
1.ลงท้าย 0 - $0^3-1$ ; 5ไม่หาร
2.ลงท้าย 1 - $1^3-1=0$ ; 5หาร
3.ลงท้าย 2 - $2^3-1$ ; 5 ไม่หาร
4.ลงท้าย 3 - 5ไม่หาร
5.ลงท้าย 4 - 5ไม่หาร
6.ลงท้าย 5 - 5ไม่หาร
7..ลงท้าย 6 - 5หาร
8..ลงท้าย 7 - 5ไม่หาร
9.ลงท้าย 8 - 5ไม่หาร
10.ลงท้าย 9 - 5ไม่หาร

จะได้เลขที่ลงท้าย 1 6 ซึ่งมี 2x256=512

ดูเหมือนว่าจะนับพลาดแล้วนะครับ. :laugh:

ข้อ 2 นี่คอบ 965 * 87 หรือเปล่าครับ คุณ GON

ยังไม่มากที่สุดครับ. :)

หรือ 875*96 หรอครับ

การจะหารด้วย 5 ลงตัว ก็แปลว่า จำนวนฮาๆ ยกกำลังสาม ลบด้วย 1 แล้ว ต้องลงท้ายด้วย 0 หรือ 6

นั่นคือ ยกกำลังสามแล้วต้องลงท้ายด้วย 6 หรือ 1

ลงท้ายด้วย 6

$6^3 -1 = 215 \ $ซึ่งหารด้วย 5 ลงตัว ดังนั้น 6 เป็นจำนวนนับตัวแรกที่เป็นจำนวนฮา

1 ถึง 2555 ที่ลงท้ายด้วย 6 มี 255 จำนวน


ลงท้ายด้วย 1

ตัวแรกคือ 11

$11^3 - 1 = 1331-1 = 1330 \ $ซึ่งหารด้วย 5 ลงตัว ดังนั้น 11 เป็นจำนวนนับตัวที่สองที่เป็นจำนวนฮา

1 ถึง 2555 ที่ลงท้ายด้วย 1 มี 255 จำนวน

รวม 255+255 = 510 จำนวน


หมายเหตุ

$1^3 - 1 = 0 \ $หารด้วย 5 เหลือเศษ 0 ถือว่า หารด้วย 5 ลงตัวหรือเปล่า ถือเป็นพหุคูณของ 5 ไหม

เข้ามารอฟัง Hint , Solution ข้อ 2 ครับ :sweat:

เหมือนจะง่ายแต่ก็ยาก

ปล.ได้เท่า #6 ครับ คูนกระจายแล้วพิจารณา ไม่รู้ใช่หรือเปล่าครับ

ผมยึดตามนิยามนี้ครับ.

จากนิยามนี้ จะเห็นว่า 0 = (0)(5) ดังนั้น 0 จึงเป็นพหุคุณของ 5 ครับ.


ใช่แล้วครับ. :great:

ใช้การตั้งคูณ + Rearrangement Inequality เพื่อความรวดเร็วในการเลือกตัวที่ใช่ครับ.

รอดูวิธีคนอื่นก่อนครับ ว่ามีใครจะเสนอแนวคิดตัวเองก่อนหรือเปล่า :cool:

ถ้าอย่างนั้น ข้อ 1 ก็ตอบ 511 จำนวน

ข้อ 2 ผมก็กระจายเอาอะครับ จะได้ว่า ผลคูณคือ $1000ad+100(bd+ae)+10(be+cd)+ec$ จะเห็นว่าต้องทำให้ ad มากๆเข้าไว้ไม่ a ก็ d จึงต้องเป็๋น 8หรือ 9 จากนั้น มาดูพจน์หลังต้องทำให้ค่าของ bd +ae มากที่สุดจากเงื่อนไขเดิม a d ต้องเป็น 9 ไม่ก็ 8แน่นอน ดังนั้นการจับคู่แล้วทำให้ผลรวมมากที่สุดคทือ 9*7+8*6=111 เมื่อรู้ดังนี้แล้ว ค่า เลข c จึงต้องเป็น 5 ที่เหลืออยู่เท่านั้น พิจารณาพจน์ $10(be+5d)$ ในที่นี้เราแทน c เท่ากับ 5 ไปแล้ว เมื่อลองแทน d=9 จะพบว่าจะมากกว่าในกรณีที่แทนd=8 จะได้ว่า d=9 b=7 a=8 e=6 ผมคู๔รที่มากที่สุดจึงเป็น 875*96

ข้อสังเกตอย่างหนึ่งที่เราจะรู้ว่า $a = 8, d = 9$ ก็คือดูจากการตั้งคูณที่เขียนไว้ครับ.

จะเห็นว่า เรามี d คูณอยู่ในหลักร้อย หลักสิบ

ในขณะที่เรามี a คูณอยู่เฉพาะในหลักร้อย เท่านั้น

ดังนั้นถ้าต้องการให้ผลคูณทั้งหมด มีค่ามากที่สุด ค่าของ d ก็ควรจะเป็น 9 ครับ.

มาเติมโจทย์ :happy:

ข้อ 1
ให้จำนวนฮ่าๆ คือ n
จะได้ $5\left|\,n^3-1\right.$ แล้ว$ 5\left|\,(n-1)(n^2+n+1)\right.$
แสดงว่า$5\left|\,n-1\right.$ หรือ $5\left|\,n^2+n+1\right.$
แต่ $5$ หาร$ n^2+n+1$ ไม่ลงแน่นอน ดังนั้น จะได้กรณีเดียวคือ
$5\left|\,n-1\right.$ แสดงว่า$ n \equiv 1 \pmod{5} $
ดังนั้น จะมี n ทั้งหมด $\frac{2555}{5} = 511 ตัว$

ข้อ 2......คิดแบบเด็กประถม
ในกรณีที่เป็นการตอบสอบแบบเติมคำตอบโดยไม่ต้องแสดงวิธีทำ ชีวิตอาจง่ายขึ้น
สมัยผมยังเป็นเด็กประถม พ่อผม(ไม่ได้มีอาชืพเป็นครู)มักสอนผมให้ใช้
วิธีทดลองกลุ่มตัวอย่างเล็กๆและใช้วิธี Trial and Error ในโจทย์ที่มีความซับซ้อน
ทีนี้จะทำอย่างไรจึงจะให้ได้คำตอบโดยใช้เวลาน้อยๆหน่อย
โดยใช้ common sense เราน่าที่จะรู้ว่าต้องเลือกเลขโดดที่โจทย์ให้มาเป็นคู่ๆ มาใช้ทีละคู่
9 กับ 8 ควรจะต้องใส่ที่ตำแหน่ง a หรือ d แน่ๆ
ปัญหาคือ a จะเป็น 8 หรือ 9 ล่ะ
ผมแนะนำให้แทนค่าตำแหน่งอื่นๆด้วย 0 หรือ 1หรือ 2 แล้วแต่สถานการณ์ ดังนี้
81 x 9 = 729
91 x 8 = 728
ตอนนี้ก็รู้แล้วว่า a = 8, d = 9
ต่อไป ตำแหน่ง b และ e ต้องเป็น 7 หรือ 6
171 x 26 = 4446
161 x 27 = 4347
ตอนนี้ก็รู้แล้วว่า b = 7, e = 6
เหลือ 5 อีกตัวหนึ่ง ก็ไม่ยากแล้ว

ด้วยการทดลองง่ายๆและลองผิดลองถูกแบบนี้ ถ้าเราสังเกตุดีๆ จับหลักการบางอย่างได้
เราสามารถนำไปอนุมานใช้กับโจทย์ที่ยากขึ้นได้ เช่น
โจทย์ เลขโดด 1 ถึง 9 จัดเป็นจำนวนสี่หลัก สามหลัก และสองหลัก ให้ได้ผลคูณมากที่สุด
คำตอบ 7631 x 852 x 94

อาจจะดูไร้สาระหน่อยนะ แต่ตอนอยู่ประถมผมใช้วิธีนี้