ช่วยสอนอสมการ Rearrangement Inequality หน่อยครับ

[Suwiwat B]

ช่วยสอนอสมการ Rearrangement Inequality และตัวอย่างโจทย์ด้วยนะครับ

[phoenixs]

คุน Suviwat B เก่งจังนะครับ

[Suwiwat B]

เก่งอะไรเหรอครับ งง

[Suwiwat B]

เออ... ไม่มีใครช่วยสอนผมเลย ฮือๆๆ

งั้นทั้งชีวิตผมคง งง ไปตลอดเเน่เลย....

[gon]

สมมติ มีเหรียญ 3 ชนิด คือ 10 บาท, 5 บาท, 1 บาท

ถ้าให้เลือกเหรียญแต่ละชนิดได้ 8 เหรียญ, 7 เหรียญ, 6 เหรียญ

1) เลือกอย่างไรให้ได้เงินมากที่สุด (ห้ามเลือกจำนวนเหรียญเท่ากัน)

ตอบ

เหรียญ 10 บาท เลือก 8 เหรียญ
เหรียญ 5 บาท เลือก 7 เหรียญ
เหรียญ 1 บาท เลือก 6 เหรียญ

รวมได้เงิน 10(8) + 5(7) + 1(6)

2) เลือกอย่างไรให้ได้เงินน้อยที่สุด (ห้ามเลือกจำนวนเหรียญเท่ากัน)

ตอบ

เหรียญ 10 บาท เลือก 6 เหรียญ
เหรียญ 5 บาท เลือก 7 เหรียญ
เหรียญ 1 บาท เลือก 8 เหรียญ

รวมได้เงิน 10(6) + 5(7) + 1(8)

3) ถ้าเลือกมั่ว ๆ ล่ะ ผลลัพธ์จะเป็นอย่างไร.? (ห้ามเลือกจำนวนเหรียญเท่ากัน)

ตอบ จำนวนเงินที่ได้รวมต้องอยู่ระหว่าง แบบที่ 2 (น้อยสุด) และ แบบที่ 1 (มากสุด) แน่นอน

นั่นคือ ถ้า $a_1 \le a_2 \le a_3$
และ $b_1 \le b_2 \le b_3$

แล้ว ค่ามากสุดของผลบวกของผลคูณของชุด a กับ b คือ
$a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$

ค่าต่ำสุดของผลบวกของผลคูณของชุด a กับ b คือ
$a_1b_3 + a_2b_2 + a_3b_1$

ส่วนค่าอื่น ๆ จะอยู่ระหว่าง 2 ค่านี้ทั้งหมด เช่น $a_1b_2 + a_2b_3 + a_3b_1$
กล่าวคือ
$ a_1b_3 + a_2b_2 + a_3b_1 \le a_1b_2 + a_2b_3 + a_3b_1 \le a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 $

เป็นต้น

คำถามทดสอบความเข้าใจ

ถ้ามีข้อมูล 2 ชุึด คือ
$a_1 \le a_2 \le a_3 \le a_4 $ และ $b_1 \le b_2 \le b_3 \le b_4 $

ค่ามากสุดของผลบวกของผลคูณของชุด a กับ b คือ
ค่าน้อยสุดของผลบวกของผลคูณของชุด a กับ b คือ

[Suwiwat B]

ขอโทษที่ตอบช้านะครับ

ผมคิดว่านjาจะถูกนะครับ

ค่ามากสุดของผลบวกของผลคูณคือ $a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 + a_4 b_4$

ค่าน้อยสุดของผลบวกของผลคูณคือ $a_1 b_4 + a_2 b_3 + a_3 b_2 + a_4 b_1$