ข้อสอบโครงการพัฒนาอัจฉริยภาพ
 

สวัสดีครับ เพื่อนๆ สมาชิกทุกท่าน

ผมชื่อ Eddie ครับ ผมเพิ่งสมัครเป็นสมาชิกใหม่ของ Webboard แห่งนี้ในวันนี้เองครับ ในลำดับแรกนี้ผมต้องขอขอบคุณ คุณ Webmaster ทั้ง
สองท่านมากนะครับ ที่ได้เสียสละเวลาในการสร้าง Website คณิตศาสตร์นี้ขึ้นมา ซึ่งผมคิดว่าเป็น Website ที่ดีและมีประโยชน์อย่างมากครับ สำหรับผู้ที่รักคณิตศาสตร์และต้องการแสวงหาความรู้ที่มีประโยชน์ทางด้านคณิตศาสตร์ที่ถูกต้องครับ ดังนั้น Website นี้ผมคิดว่าเป็นหนึ่งใน Website ที่ดีที่สุดที่เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ของเมืองไทยครับ
ในวันแรกนี้ผมมีโจทย์เกี่ยวกับคณิตศาสตร์มาถาม ท่านสมาชิกผู้เชี่ยวชาญครับ ผมได้ลองคิดดูแล้วแต่ผมคิดไม่ออกครับ คือโจทย์ข้อสอบชุดนี้เป็น โจทย์ข้อสอบโครงการพัฒนาอัจฉริยภาพทางคณิตศาสตร์ ระดับมัธยมศึกษาปีที่ 3 ของ สสวท ครับ มีน้อง ม.ต้น คนหนึ่งเขาได้ข้อสอบชุดนี้มา แล้วเขาทำโจทย์บางข้อไม่ได้ จึงนำมาถามผม ผมก็ลองทำดูแล้ว ก็สามารถทำได้บางข้อครับ แต่บางข้อก็ลองทำๆ ดูแล้ว แต่ก็คิดไม่ออก จึงจำเป็นต้องนำมาถามเพื่อนๆ ในบอร์ดแห่งนี้ดู ซึ่งผมคิดว่าคงต้องได้แนวความคิดในการแก้ปัญหาโจทย์ที่ซับซ้อนได้ครับ ผมจึงขอรบกวนถามแนวคิดในการทำโจทย์ ชุดนี้ เป็นบางข้อ ที่ผม กับน้อง ลองทำแล้วแต่ยังหาแนวทางในการหาคำตอบไม่ได้นะครับ ซึ่งผมขอความกรุณาช่วยแสดงแนวการคิด หรือ วิธีทำ โดยใช้ความรู้ในระดับ ม.ต้น เท่านั้นนะครับ เพราะเป็นข้อสอบชั้น ม. 3 เท่านั้นครับ หวังว่าคงไม่เป็นการรบกวนเกินไปนะครับ และผมขอขอบคุณเพื่อนสมาชิกทุกท่านล่วงหน้า ในการช่วยเหลือในครั้งนี้ครับผม

ตอบว่า 69 ข้อ 2 ครับ
ข้อนี้ ถ้าไม่มี ตัวเลือก มีนจะมีหลายคำตอบมากเลยครับ

1/a +1/b +1/c +1/d +1/e = 1

มีสูตรๆหนึ่งคือ 1/n = 1/n+1 + 1/n(n+1)

แบ่งไปเรื่อยๆ ให้มันตรงกับตัวเลือก..

1/1 = 1/2 +1/2

= 1/2 + 1/3 + 1/6

= 1/2 + 1/4 + 1/12 + 1/6

= 1/2 + 1/4 + 1/12 + 1/7 + 1/42

จะเห็นว่า ครบ 5 ตัวแล้ว

ผมเลือกแบ่ง 1/2 เป็น 1/3 + 1/6 แล้วแบ่งทั้งสองตัวนั้นอีกที

ซึ่งจะเป็นคำตอบหนึ่ง ในหลายคำตอบ(ถ้าแบ่งแบบอื่น) คือ 2+4+12+7+42 = 69 ครับ

ขอบคุณ คุณ R-Tummykung de LAamar มากนะครับ สำหรับแนวคิดในการแก้ปัญหาโจทย์ข้อแรก :)

ว้าว. เจ๋งครับ. คุณ R-Tummykung de LAamar เอาสูตรพื้น ๆ มาประยุกต์ได้ดั่งใจ อย่างนี้ผมนึกเรื่องโง่ ๆ ที่เคยคิดไว้ออกแล้ว ว่าแต่บวกเลขผิดไปนิดนะครับ. ได้ 67

;)

:p

;)

:)

ข้อ 3 ตอนที่ 2 คำตอบน่าจะมีหลายแบบนะครับ. ไม่ตายตัว

แบบที่ 1 :
2⁴⁸ - 1 = (2²⁴ - 1)(2²⁴ + 1)
= (2¹² - 1)(2¹² + 1)(2²⁴ + 1)
= (2⁶ - 1)(2⁶ + 1)(2¹² + 1)(2²⁴ + 1)
= (63)(65)(2¹² + 1)(2²⁴ + 1)
ดังนั้น a + b = 63 + 65 = 128

แบบที่ 2 :
= (63)(65)(2¹² + 1)(2²⁴ + 1)
= (63)(65)(4097)(2²⁴ + 1)
= (63)(65)(17)(241)(2²⁴ + 1)
= (3)(21)(5)(13)(17)(241)(2²⁴ + 1)
= (3)(17)(5)(13)(21)(2²⁴ + 1)
= (51)(65)(21)(2²⁴ + 1)
ดังนั้น a + b = 51 + 65 = 116

แหะๆ ผมสะเพร่าไปหน่อยครับ (นี่ถ้าไปสอบจริงก็ตอบผิดนะนี่นะ)
ขอแก้เป็น
2+4+12+7+42 = 67 ครับ ตอบข้อ1

ส่วนข้อ 8 ตอนที่ 1 นั้น
ขายไป 1400 เล่ม กำไร 20%
ขายไปอีก 600 เล่ม ขาดทุน 30%
ผมเอามาเฉลี่ยกันครับ ได้ดังนี้
[ (1400 x 120/100)+(600 x 80/100) ] /2000 *100
พอจะเข้าใจไหมครับ คือ /2000 ก็หารด้วยต้นทุนเดิม * 100 เพื่อให้เป็นเปอร์เซนต์ ได้ กำไร 5% ครับ (หวังว่าผมคงไม่คิดเลขผิดนะครับ)

:)

ข้อ 4 ตอน 2
จากข้อ ก. สรุปได้ว่า a เป็นจำนวนเต็มคู่ที่หาร 6 แล้วเหรือเศษ 4
จากข้อ ข.นี่ ทำให้เหลือ กรณีน้อยลง ผมก็คิดว่า น่าจะมาแจกแจงจากข้อนี้แหละครับ
1² = 1
2² = 4
3² = 9
4² = 16
5² = 25
6² = 36
7² = 49
8² = 64
9² = 81
10² = 100

เลขคู่ ถ้าลบไป 1 หรือ 3 ก็จะได้เลข คี่ เพราะฉะนั้น ก็จะเหลือ
1² = 1 a= 2,a=4
3² = 9 a=10,a=12
5² = 25 a=26,a=28
7² = 49 a=50,a=52
9² = 81 a=82,a=84
แต่ a= 2,12,26,50,84 ขัดแย้งกับข้อ ก.
จากนั้นก็ใช้ข้อ ค. ลองบวกดู ก็จะได้
4 ฎ 4 หาร 7 ไม่ลงตัว
10 ฎ 1+0 = 1 หาร 7 ไม่ลงตัว
28 ฎ 2+8 = 10 หาร 7 ไม่ลงตัว
52 ฎ 5+2 = 7 หาร 7 ลงตัวแล้ว...เย้
82 ฎ 8+2 = 10 หาร 7 ไม่ลงตัว
ตอบ a = 52
..อาจจะมีวิธีคิดที่ดีกว่าวิธีนี้ครับ

ข้อที่ 8 ตอนที่ 2
ตอบว่า มี ไม่จำกัด ตัว ครับ
(b³-3b²)a - 8 =ab² +4
ab²(b-3) - ab² = 12
ab²(b-4) =12
จาก a>0 ทำให้ b²(b-4)>0 ด้วย
จะได้ b-4>0
b>4
ซึ่ง ถ้าแทน b เป็นอะไรก็ได้ที่มากกว่า 4 จะสามารถหาค่า a ที่เป็นจำนวนจริงบวกได้ เพราะ a=12/(b²(b-4))

:p

ข้อ 4 ตอนที่ 2 ผมเริ่มจากข้อ ค. ก่อนครับ วิธีทำโจทย์ที่ดีที่สุดของข้อนี้น่าจะเป็นการคัดตัวเลขที่เหมาะสมนี่แหละครับแต่คัดยังไงให้เร็วที่สุด

จากข้อ ค. เราจะได้ผู้เข้าแข่งขันทั้งหมดคือ
7,16,25,34,43,52,59,61,68,70,77,86,95

จากข้อ ก. จะเหลือผู้เข้ารอบคือ
16,34,52,70

ปิดท้ายด้วยข้อ ข. จะได้ 52 เป็นผู้ชนะครับ :)

ข้อ 6 ตอนที่ 1
ก. จริง) \(y \propto x \Rightarrow y = kx , x^2 + xy + y^2 = x^2 + kx^2 + k^2x^2\)

\(= (1+k+k^2)x^2 = \frac{1+k+k^2}{k}kx^2 = c(kx^2) = c(xy) \Rightarrow x^2 + xy + y^2 \propto xy\)

ข. จริง) \(x^3 + x^2y+y^3 = x^3 + kx^3 + k^3x^3 = (1+k+k^3)x^3 = \frac{1+k+k^3}{k^2}k^2x^3 = c(xy^2) \Rightarrow x^3 + x^2y+y^3 \propto xy^2 \)

:p

ข้อ 18 ตอนที่ 2

ถ้า z ฃ60 จะได้ว่า
x+y+z<3z ฃ 180 ซึ่งเป็นไปไม่ได้
ดังนั้น z ณ 61
ถ้า z = 61 จะได้ y = 60 x = 59
เพราะฉะนั้นค่า z ที่น้อยที่สุดคือ 61 :)

ข้อ 16 ตอนที่ 2 ได้คำตอบเป็น 4:5:10 ครับ
ส่วนวิธีคิดก็ใช้ทฤษฎีบทของพิธากอรัส

ข้อ 16 ตอนที่ 2 : ผมใช้แนวคิดที่ว่า พื้นที่สามเหลี่ยมรูปเดียวกัน จะมีค่าเท่ากัน ให้ AB, BC, CA มีความยาวเป็น 2x, 5x, 4x ตามลำดับ ดังนั้น
\(\frac{1}{2}(5x)(AD)=\frac{1}{2}(4x)(BE)=\frac{1}{2}(2x)(CF) \Rightarrow 5AD = 4BE = 2CF\) จากนั้นนำ 20 หารตลอด
\(\Rightarrow \frac{AD}{4}= \frac{BE}{5}=\frac{CF}{10} \; \Rightarrow AD:BE:CF = 4:5:10\)

ข้อ 14 ตอนที่ 1

จากรูปขยับจุด R ลงมาให้ถูกก่อน (วาดผิด)

จากรูปจะได้ว่า ะPO₁S = p - 2a ดังนั้น ะPO₁S (มุมกลับ) = p + 2a ดังนั้น ะPRS = (p/2) + a ทำนองเดียวกัน ะQRS = (p/2) + b

ณ. จุด R จะตั้งสมการได้ ะPRS + ะQRS + 130ฐ = 2p ดังนั้น a + b = 50ฐ

จะแสดงว่า x = a + b
พิจารณา D PSQ จะได้ว่า x = p - (y + z) = p - [(p/2) - a + (p/2) - b] = a + b

นั่นคือ x = a + b = 50ฐ

ข้อ 16 ตอนที่ 2 ของพี่ gon ง่ายกว่าของผมเยอะเลยครับ

:p

:D

:p

ข้อ 14 ตอนที่ 1
(ขอร่วมด้วยคน) จาก P ลากผ่านจุดศก ตัดวงกลมที่ P' ทำนองเดียวกัน Q ตัดที่ Q' โดยความสมมาตร ได้ว่า
มุม PRQ=มุม P'SQ'=130 และเนื่องจาก มุม PSP'=QSQ'=90
ดังนั้น มุม PSQ=360-130-90-90=50.

ขอกลับไปที่โจทย์ข้อ 1 ตอนที่ 1 นะครับ

โจทย์ข้อนี้เป็นโจทย์สมการ Diophantine แบบที่เรียกว่า Egyptian fraction ซึ่ง
เป็นเรื่องที่ค่อนข้างลึกซึ้ง ถ้าหากประเมินความยากของมันต่ำไปก็อาจจะเกิดเหตุการณ์
แบบนี้ได้:

1/2 + 1/3 + 1/12 + 1/20 + 1/30 = 1 และ 2 + 3 + 12 + 20 + 30 = 67 ดังนั้นตัวเลือกที่ 1 ถูก

1/2 + 1/3 + 1/14 + 1/15 + 1/35 = 1 และ 2 + 3 + 14 + 15 + 35 = 69 ดังนั้นตัวเลือกที่ 2 ก็ถูก

1/2 + 1/3 + 1/11 + 1/22 + 1/33 = 1 และ 2 + 3 + 11 + 22 + 33 = 71 ดังนั้นตัวเลือกที่ 3 ก็ถูกอีก

ตัวเลือกที่ 4 ถูกหรือไม่ผมไม่ทราบ แต่แค่นี้ก็คงเพียงพอจะชี้ให้เห็นแล้วว่าโจทย์ข้อนี้มีปัญหาจริงๆ

จะว่าไปโจทย์ข้อที่ 1 ที่มี ตัวเลือกเป็น 67, 69, 71 อะไรพวกนี้ ถ้าผมไม่ละเมอ ผมก็เคยเห็นมาอย่างน้อยครั้งหนึ่งแล้ว ที่ไหนจำไม่ได้ คุณ warut พอจะบอกเทคนิคการแปลงร่างดังกล่าวได้หรือเปล่าครับ. น่าสนใจจริง ๆ

ผมว่าคนคิดโจทย์ข้อนี้ลืมเช็ค uniqueness ของคำตอบน่ะครับ คือคิดได้มาชุดนึงแล้วก็คิดว่ามีคำตอบเดียว ก็เลยออกมาอย่างที่เห็น
ผมเจอความผิดพลาดแบบนี้ในข้อสอบแข่งขันเกือบทุกระดับ แปลกแต่จริง :confused: อย่างข้อนี้ความผิดพลาดไม่ได้เกิดจากการพิมพ์ แต่เกิดความผิดพลาดในระดับแนวคิดเลยทีเดียว สรุปว่าโจทย์ข้อนี้วัดความเป็นอัจฉริยะของเด็กไม่ได้ครับ เด็กที่ทุ่มเวลากับการคิดโจทย์ข้อนี้ก็คงเสียโอกาสไป

คุณ nooonuii ออกความเห็นได้ตรงใจผมจังเลยครับ

ตอบคุณ gon: ผมไม่ได้ใช้วิธีแปลงร่างอะไรหรอกครับ คำตอบพวกนั้นหามาโดย
computer search ทั้งหมด ทันทีที่ผมเห็นโจทย์ข้อนี้ จากประสพการณ์ของผม
บอกผมว่า "ไม่อยากเชื่อเลยว่ามีตัวเลือกเดียวที่ถูก" พอดีตอนนั้นกำลังจะไปทำธุระที่
ต่างจังหวัดเลยไม่ได้ทำ แล้วก็ลืมไปเลย เพิ่งมาเห็นอีกทีเมื่อเช้า ผมคิดว่าสมการแบบนี้
คงแก้โดยใช้ความรู้ทางคณิตศาสตร์อย่างเดียวไม่ได้ จำเป็นต้องใช้คอมพิวเตอร์ทำ
exhaustive search ความรู้ทางคณิตศาสตร์ช่วยได้เพียงตัดจำนวนกรณีให้น้อยลง
เท่านั้น ที่ผมทำนี่ไม่ใช่ exhaustive search นะครับ คือแค่พอผมเจอคำตอบที่ได้
ผลบวกเท่ากับ 69 กับ 71 นี่ผมก็บ๊ายบายโจทย์ข้อนี้แล้ว

พอผมได้ชุดเดียวแล้วก็ลืมนึกว่าอาจจะมีชุดอื่นอีก ..สะเพร่าจริงๆ ผมนี่ :(
ผมอยากทราบ computer serch ของคุณ warut น่ะครับ
ใช่เขียนโปรแกรมเอง พวก C Pascal อะไรหรือเปล่าครับ
หรือใช้โปรแกรมช่วยเช่น Mathlab MathCAD Maple ครับ

...
โพสต์ที่แล้วยังเป็น สมาชิกใหม่อยู่เลยครับ
พอโพสต์ถัดมา กลายเป้น สมาชิกอาวุโส ซะแล้วครับ

..นับกันที่โพสต์หรอคับ

ดีใจด้วยครับคุณ R-Tummykung de Lamar ที่ได้เป็นสมาชิกอาวุโสแล้ว :)

ผมเขียนบนโปรแกรมช่วยอันหนึ่งซึ่งปัจจุบันนี้ล้าสมัย ไม่มีใครใช้กันแล้ว เลยไม่อยาก
แนะนำให้เอาไปใช้ครับ ถ้าจะหัดใช้โปรแกรมช่วยก็ใช้พวกที่ทันสมัยอย่าง Mathematica
หรือ Maple ไปเลยดีกว่าครับ สำหรับโจทย์ง่ายๆอย่างนี้จะเขียนโปรแกรมด้วยอะไร
ก็คงไม่ต่างกันเท่าไหร่นัก

ข้อ 21 ตอนที่ 2
จากรูป ลากจุด M ลงมาตรง ๆ ที่ฐานสามเหลี่ยม สมมติว่าลงมาที่จุด G จะได้ว่าเส้นตรง MG มีความยาวเท่ากับครึ่งหนึ่งของ ส่วนสูงของสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีความยาวด้านละ 2 หน่วย

ส่วนสูงของสามเหลี่ยมด้านเท่าดังกล่าวมีค่าเท่ากับ \(2sin 60^\circ \) ดังนั้น เส้นตรง \(MG = \frac{1}{2}2sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

แต่ \(NG = FB = 2\) (ส่วนสูงตามโจทย์) ดังนั้นใน สามเหลี่ยม MGN โดย ทบ. พิทากอรัส ก็จะได้ว่า \(MN = \sqrt{MG^2 + GN^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + 4} =\frac{\sqrt{19}}{2}\)

ตอนแรกลาก AC ครับ
จาก PA = PC และ PB = PC จึงสรุปได้ว่า PA = PB ครับ
ดังนั้นจะได้ สามเหลี่ยมPBC สามเหลี่ยม PAB สามเหลี่ยม PAC เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วครับ
จาก สามเหลี่ยมPAC เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว จะได้ PAC = PCA =72
จาก มุม BCP = 80 จะได้ มุม BPC = 20 จาก มุมAPC = 36 ดังนั้น มุมAPB = 16
จาก สามเหลี่ยม PABเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว จะได้ PAB = 82
จาก PAC =72 และ PAB = 82 ดังนั้น BAC = 10
จะได้ PAC = 72 BAC = 10 ดังนั้นจากสมบัติเส้นตรงจะได้ มุมxมีค่า = 180-72-10 = 98

:)

:rolleyes:

:p

;)

ข้อ 22 ตอนที่ 2
จากรูปจะเห็นได้ว่า AB = BC = CA นั่นคือ D เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า ซึ่งมีสูตรของพื้นที่เป็น \( \frac{\sqrt{3}}{4}ด้าน^2 \)
\ \( \frac{\sqrt{3}}{4}ด้าน^2 = 4\sqrt{3}\) ฎ ด้าน = 4 = BC

แต่โดย ทบ. พิทากอรัส \( BC^2 = x^2 + x^2 \) เมื่อ x = ความยาวด้านของลูกบาศก์
\ \( 2x^2 = 16 \Rightarrow x = \sqrt{8} \Rightarrow x^3 = 8\sqrt{8} = 16\sqrt{2} \)