ข้อสอบ โรงเรียนมหิดลวิทยานุสรณ์ รอบ 2 ปี 2554
 

ช่วยๆกันรวบรวมหน่อยนะครับ เท่าที่นึกออก :)

*** = พอจะนึกออกแต่นึกโจทย์ไม่สมบูรณ์

ให้ N คือจำนวนจริงบวกใดๆ
ให้ $\tau$(N) คือ จำนวนตัวประกอบบวกของ N
ให้ $\sigma$(N) คือ ผลบวกของจำนวนตัวประกอบบวกทั้งหมดของ N


x.จงหาค่า $\tau$(10!)
x.จงหาค่า $\sigma$(10!)


xx. จำนวนที่เป็นพาลินโดรมที่มีค่าน้อยกว่า $10^5$ มีกี่จำนวน : by คุณ panpan
xx. เลข 36 คือจำนวนสามเหลี่ยม ที่ มีค่าเท่ากับ = 1+2+3+4+5+6+7+8 และเป็นกำลังสองสมบูรณ์ จงหาจำนวนสามเหลี่ยมที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ที่น้อยที่สุดที่มากกว่า 36
***xx. จำนวนฟีโบนักซี ใน...





xx. จงหาจำนวนเต็มบวก K ที่มากที่สุด ที่ทำให้
$\tau$(3655) = $\tau$(3655+1) = $\tau$(3655+2) = $\tau$(3655+K)

xx. ชายคนหนึ่งนั่งมองเขา ทำให้เขานึกได้ว่าในปี คศ. 2000 อายุของเขาเท่ากับผลบวกของเลขโดดในปีที่เขาเกิด
ถามว่าชายผู้นั้นเกิดปีอ่ะไร


xx. จงหาจำนวนนับ $n$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้มีจำนวนประกอบอย่างน้อย 20 ตัวที่อยู่ระหว่าง $p_n$ กับ $p_{n+1}$
โดยที่ $p_n$ แทนจำนวนเฉพาะตัวที่ $n$ (James007)

xx. มีข้อสอบชุดนึงมี6ข้อ ข้อที่1ข้อละ3คะแนน ข้อที่2,3ข้อละ2คะแนน ที่เหลือข้อละ1คะแนน จงหาจำนวนวิธีการสอบได้50%ของคะแนนเต็ม (Roookie)

xx. $a<\frac{5^{105}}{5^{104}+4^{103}} <a+1$ (TONY38)

xx. จงหาเศษจากการหาร $2^{2^6} + 1$ ด้วย 1000

xx. xx.ให้ $x_1,x_2,...$ เป็นจำนวนสมบูรณ์ที่เรียงจากน้อยไปมากและ $n=x_1x_2x_3x_4x_5$
จงหาเศษจากการนำ n ไปหารด้วย 1000 (GhostImage)





ข้อเขียน

2. สามเหลี่ยมหน้าจั่ว ABC มี AB เท่ากับ AC กำหนดจุด D และ E อยู่บนด้าน AC และ AB ตามลำดับ เส้นตรง BD ตัดกับกับ เส้นตรง CE เป็นมุมฉาก
ถ้าด้าน BC ยาวเท่ากับ $2\sqrt{3}$ แล้ว พื้นที่ของ สามเหลี่ยม ABC เท่ากับเท่าใด

ตอบ 1981
kคือ 3?
มีข้อนึงถามว่าเปนจำนวนสามเหลี่ยมที่ เปนกำลังสองสมบูรณ์
อีกข้อก็ให้หาจำนวนเฉพาะที่เปนพาลินโดมที่มีค่า น้อยกว่า 10^5 ว่ามีกี่จำนวน

ตอบ 270 หรือเปล่าครับ
กับ
ตอบ11493064

ผมก็ได้เท่านั้นอ่ะครับ ข้อแรกนะ

นึกว่าจะได้เห็น Pell ในข้อสอบชุดนี้เสียอีก ผิดหวังเล็กน้อย


ไม่มี K ที่มากที่สุดแน่นอนครับ

@#6

จำนวนเฉพาะครับ >_<"

กำ :haha:

ผมไม่เห็นนนนน :sweat:

เดวคิดใหม่ก่อนๆ :cry:

11493064 แสดงให้ดูหน่อยครับ

$10!=2^8\cdot3^4\cdot5^2\cdot7$
นำเลขชี้กำลังจะได้
(1+2+4+8+16+32+64+128+256)(1+3+9+27+81)(1+5+25)(1+7)
ผมก็นั่งคูณ
แล้วถามหน่อยครับ ผมอยากรู้ว่า 100 ! จะมีตัวประกอบอย่างไรและหาอย่างไรครับ

ผมว่ามันไม่ใช่เฉพาะนะครับ ถ้าเป็นเฉพาะมันยากไป -0-

ไม่ใช่แค่ยากไป

คิดไม่ได้เลยแหละครับ

ใช้เลอจองค์ครับส่วนใหญ่ถ้าเป็น 100! จะถามแยกประมาณว่า 2 กำลังอะไร หรือ สามกำลังอะไร เท่านั้น อะไรประมาณนี้อ่ะครับ เค้าจะไม่ถามหมดหรอกครับ มันเยอะมาก

ผมได้เท่านี้เลยครับ จำได้เลขมันสวยๆ 555+

ผมไม่แน่ใจว่า พี่หรือผมคูณผิดนะ ผมได้ 15 334 088

ผมก็ได้เท่ากันครับ

เพิ่มโจทย์
จงหาเศษจากการหาร $2^{2^6} + 1$ ด้วย 1000

ตอบ 617 หรือป่าวคะ

@#13

ลองเขียน Solution ดีไหม

ใช่ครับ :happy:

$2^{2^6} = 2^64$

ลองสังเกตุดู
$2^{2^3}$ หาร 1000 จะได้เศษ 256 หรือเขียนอีกแบบได้ว่า
$256 \equiv 2^{2^3} mod(1000)$

จะได้ $(256)^2 \equiv (2^8)^2 mod(1000)$
$65536 \equiv (2^8)^2 mod(1000)$
$536 \equiv 2^16 mod(1000)$
คิดแบบเดิมต่อไปจะได้
$296 \equiv 2^32 mod(1000)$
$616 \equiv 2^64 mod(1000)$
$\therefore 616 + 1 \equiv 2^64 + 1 mod(1000)$
$617 \equiv 2^{2^6} + 1 mod(1000)$

ตอบ 617

$2^{2^6}$ = $2^{64}$

$2^8$ $\equiv 256 \pmod{1000}$

$2^{16}$ $\equiv 536 \pmod{1000}$

$2^{32}$ $\equiv 296 \pmod{1000}$

$2^{64}$ $\equiv 616 \pmod{1000}$

$2^{64}+1$ $\equiv 617 \pmod{1000}$

ในห้องสอบคิดวิธีที่ดีกว่านี้ไม่ออกค่ะ 555+

เพิ่มโจทย์อีก 1 ข้อ

8 สามารถเขียนอยู่ในรูปของผลบวกของจำนวนเต็มบวกได้กี่แบบ (1+7 กับ 7+1 ถือว่าเป็นวิธีต่างกัน)

แบบนี้เด็กโอก็สบายเลยสิครับ
โดยเฉพาะ เทา กับ ซิกม่า เนี่ย

โทษครับคูณผิดครับ

ถ้าไม่เคยเรียนมาก่อนจะทำได้ยังไงอ่ะครับ ในโรงเรียนก็ไม่มีสอนด้วย :(

ถ้าพี่ๆ จำข้อสอบได้อีกรบกวนช่วยเอามาลงเพิ่มด้วยนะครับผม ขอบคุณล่วงหน้าครับ :please:

ถึงเวลาผมกลัวจะทำไม่ได้ซักข้อ :died:

ชี้ให้เห็นถึงอะไรบางอย่างในระบบการศึกษาของประเทศไทยครับ

ข้อ $2^{64}$ ในบทความมันกำหนดค่าของ $2^{32}$ มาให้ ผมเลยจัดการนำเลขท้าย 3ตัว ของ $2^{32}$ มาคูณกันแล้ว +1 แล้วดูเลข3ตัวหลัง (ทำ mod ไม่เป็น) ถึกน่าดูเลยครับ อิอิ

ผมชอบเจ้ที่อ่านคำชี้แจงอะครับ ยุค-ลิค***

<---ไม่เป็น+ไม่ทันคับ:):)

$a<\frac{5^{105}}{5^{104}+4^{103}} <a+1$

จงหาจำนวนที่เป็นพาลินโดม,จำนวนเฉพาะ,จำนวนสามเหลี่ยม

:):):haha:

อยากรู้ว่าข้อสอบ ปีนี้กับปีก่อนอะไรยากกว่ากันอะคับ :):):):) (แอบโดดค่าย PRE ซะงั้น)

ข้อนี้ ถ้าใช้ star and bar ได้ 127 วิธีหรือเปล่าครับ

$\binom{7}{1}+\binom{7}{2} +\binom{7}{3} +...+\binom{7}{7} =2^7-1$ ผมผิดอ่าคับ:haha:

$a<\frac{5^{105}}{5^{104}+4^{103}} <a+1$

ได้ 4 ป่าวคับ

เพิ่มโจทย์ให้

xx.คนๆหนึ่ง(จำชื่อไม่ได้)นั่งมองภูเขาแล้วนึกขึ้นมาได้ว่่า เมื่อปีค.ศ.2000 ตัวเองมีอายุเท่ากับผลบวกของปีค.ศ.เกิดนั้น เขาเกิดปีค.ศ.ใด

โดยส่วนตัวแล้วข้อ1 ผมคิดอย่างนี้นะครับ

$1\rightarrow1 \rightarrow 1วิธี$

$2\rightarrow2,1+1\rightarrow 2วิธี$

$3\rightarrow3,2+1,1+2,1+1+1\rightarrow 4วิธี$

วิธีดังกล่าวจะเห็นได้ว่า มันจะคูณ2ไปเรื่อยๆ เลยตอบ$2^7 $ครับ

ซึ่งถ้าสังเกตดีๆ ก็จะเห็นความงามบางอย่างนะครับ ลองหากันดูนะครับ^^

^
^
^
ข้อข้างบนผมได้1981อ่าคับ ผิดไปเยอะละ:(:(:(

ตอบ 25 รึป่าวคะ นับจากตาราง

เหมือนผมจะนับได้24อ่าคับ:haha::cool::haha:

มีตารางไหมครับ อยากได้ครับ

จำนวนเฉพาะที่น้อยสุดที่ห่างกัน 20 ได้เท่าไรอะคับ

@#32

โจทย์มีแค่นี้??? $(3,23)$

ขอโทษคับเป็นตัวที่ติดกันด้วยครับ ( มีตารางให้ )

เห็นพูดกันหลาย Rep แล้ว

สงสัยจริงๆว่าตารางอะไร

จำนวนเฉพาะ ไม่เกินล้าน ??

จำนวนเฉพาะไม่เกินหมื่นครับ

ตารางจำนวนเฉพาะ 1000 ตัวแรกครับ มี $2,3,5,\ldots,7919$

โจทย์ใน #32 บอกว่า
จงหาจำนวนนับ $n$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้มีจำนวนประกอบอย่างน้อย 20 ตัวที่อยู่ระหว่าง $p_n$ กับ $p_{n+1}$
โดยที่ $p_n$ แทนจำนวนเฉพาะตัวที่ $n$

ในข้อสอบมีตารางหรือครับ

n ที่น้อยสุดตอบ 154 รึป่าวคะ

http://www.youtube.com/watch?v=v4UdZ...ayer_embedded#!
ลองไปดูครับ :great: