เอาโจทย์มาฝาก
 

ปิดเทอมนี้มีอะไรทำกันรึยังครับ ถ้ายังมาคิดโจทย์กัน

1. จงหาจำนวนจริง \( x,y\in [0,2\pi) \) ซึ่งสอดคล้องสมการ
\[ \large{ \sin{x} + \sin{y} + \cos{x} + \cos{y} = 2 + \sin{(x+y)} } \]

2. จงหาคำตอบทั้งหมดของสมการพหุนาม
\[ \large{ x^4+(2-x)^4 = 34 } \]

3. จงหาคำตอบของสมการอักษร
\[ \large{ ABCD - DCBA = BDAC } \]
\( \large{ A>B>C>D } \)

4. จงหาผลบวกของอนุกรม
\[ \large{ \frac{1}{1^2 + 1} + \frac{1}{2^2 + 1} + \frac{1}{3^2 + 1} + \frac{1}{4^2 + 1} + \dots } \]

5. จงหาค่าของ
\[ \large{ 2005 + \frac{1}{2}(2004+\frac{1}{2}(2003+\frac{1}{2}(2002+\dots + \frac{1}{2}(3+\frac{1}{2}(2+\frac{1}{2})))\dots) } \]

ผมว่าข้อ 4. โหดไปหน่อยนะครับ

ข้อ 4 ตอบ 1ฑึ2 ไหมครับ
ผมคิดยาวมาก ครับ (แปลกๆด้วย)ใครมีวิธีคิดดีๆ ก็เชิญเลยครับ

โจทย์ยากนะเนี่ย เอามาจากไหนเนี่ย หรือคิดเองครับ

คำตอบของข้อ 4. คือ
\[\frac{\pi}{2}\coth\pi-\frac{1}{2}\]
ผมคิดว่าข้อนี้จำเป็นต้องใช้ complex analysis แก้ถึงจะได้นะครับ

อย่างไรก็ตามผมขอออกความเห็นเกี่ยวกับคำตอบของน้อง R-Tummykung de Lamar
หน่อยนะครับ คือคำตอบมันไม่สมเหตุสมผลอยู่ 2 ประการครับ อย่างแรกคือค่าของผลบวก
จะมีได้เพียงค่าเดียว ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะมีเครื่องหมาย ฑ อยู่ในคำตอบ อย่างที่สอง
คือ 1 - ึ2 < 0 ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่มันจะเป็นค่าของผลบวกในโจทย์

อ๊า..ขออภัย อย่างสูงครับ ....ที่ผมตอบไปนั้นคือ ข้อ 2 (โกรธมั๊ยเนี่ย)

:D :D :D (สะเพร่าสุดๆเลยนะเนี่ย ขนาดข้อยังตอบผิดเลย)

ถ้าเป็นข้อ 2. ก็คงถูกแล้วล่ะครับสำหรับรากจริง แต่คุณ nooonuii เค้าต้องการทุกคำตอบ
ดังนั้นน้อง R-Tummykung de Lamar ก็คงต้องตอบรากที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนด้วย
แล้วก็แสดงวิธีทำด้วยก็ดีครับ ข้อนี้ผมลองทำแล้วล่ะ ยากครับ เลยไม่รู้ว่าวิธีของผมนี่เป็นวิธี
ที่ดีรึเปล่า แต่ยังไงก็ได้ความรู้ใหม่จากโจทย์ข้อนี้ของคุณ nooonuii อีกเช่นเคย

ข้อ 3
A=7
B=6
C=4
D=1

ได้ครับ วิธีคิดของผม ก็คือ
\( \displaystyle{\begin{array}{rcl} ให้&a & = & x^4 \\ &b & = & (2-x)^4 \end{array}} \)
\( \displaystyle{\begin{array}{rcl}จะได้สมการคือ& a^4+b^4 & = & 34 &...(1)\\ & a+b & = & 2 &...(2)\end{array}} \)
\( \displaystyle{\begin{array}{rcl} (a+b)^2 & = & a^2+2ab^2\\ 4-2ab & = &a^2+b^2 &...(3)\end{array}} \)
\( \displaystyle{\begin{array}{rcr} (2)^4\ \ ;& & a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 & =&16\\ & & (a^4+b^4)-16+4ab(a^2+b^2)+6a^2b^2 & = &0\\ & & 18+4ab(4-2ab)+6a^2b^2&=&0\\ให้ \ \ ab\ \ =\ \ g\\&&6g^2+4g(4-2g)+18&=&0\\&&6g^2+16g-8g^2+18&=&0\\&&2g^2-16g-18&=&0\\&&g^2-8g-9&=&0\\&&(g-9)(g+1)&=&0\\&&g&=&-1,9\end{array}} \)
\( \displaystyle{\begin{array}{rcl} \cases{a+b&=&2 \cr ab&=&-1} && & \cases{a+b&=&2 \cr ab&=&9}\\ b\ \ =\ \ a-2&&&b\ \ =\ \ a-2\\a(2-a)\ \ =\ \ -1&&&a(2-a)\ \ =\ \ 9\\a^2-2a-1\ \ =\ \ 0&&&a^2-2a+9\ \ =\ \ 0\\a=\frac{2\pm\sqrt{4+4}}{2}&&&a=\frac{2\pm\sqrt{4-36}}{2}\\a=1\pm\sqrt{2}&&&a=1\pm2\sqrt{2}i\end{array}} \)
ดังนั้น x ซึ่งเท่ากับ a ก็เท่ากับ \( 1\pm\sqrt{2}\quad,\quad1\pm2\sqrt{2}i\)
ผมว่าน่าจะมีวิธีคิดที่ดีกว่านี้นะครับ

ข้อ 4 ผมลองคิดแล้วทำแบบนี้ครับ.
\( \because \frac{\sin \theta}{\theta} = (1 - \frac{\theta^2}{\pi^2})(1 - \frac{\theta^2}{2^2\pi^2}) \cdots \) ... (1)

สมมติให้ \(\theta = \pi xi \Rightarrow (\frac{\theta}{\pi})^2 = -x^2\)

แต่ \(\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} = \frac{e^{-\pi x} - e^{\pi x}}{2i} = \frac{i}{2}(e^{\pi x} - e^{-\pi x}) \)

แทนลงใน (1) จะได้ว่า
\(\frac{i}{2}(e^{\pi x} - e^{-\pi x}) = \pi xi (1 + \frac{x^2}{1^2})(1 + \frac{x^2}{1^2}) \cdots \Rightarrow (e^{\pi x} - e^{-\pi x}) = 2\pi x (1 + \frac{x^2}{1^2})(1 + \frac{x^2}{1^2}) \cdots \)
\(\Rightarrow \ln (e^{\pi x} - e^{-\pi x}) = ln (2\pi x) + \ln (1 + \frac{x^2}{1^2}) + \ln (1 + \frac{x^2}{2^2}) + \cdots\)

แต่ \( \frac{d}{dx} (\ln u) = \frac{1}{u} \frac{du}{dx} \)
\(\therefore \frac{1}{e^{\pi x} - e^{-\pi x}}(\pi e^{\pi x} + \pi e^{-\pi x}) = \frac{1}{x} + \frac{2x}{1^2 + x^2} + \frac{2x}{2^2 + x^2} + \cdots \)

\(\Rightarrow \frac{\pi}{2x}(\frac{e^{\pi x} + e^{-\pi x}}{e^{\pi x} - e^{- \pi x} }) - \frac{1}{2x^2} = \frac{1}{x^2 + 1^2} + \frac{1}{x^2 + 2^2} + \cdots \)

\(\Rightarrow \frac{1}{x^2 + 1^2} + \frac{1}{x^2 + 2^2} + \cdots = \frac{\pi}{2x} \coth (\pi x) - \frac{1}{2x^2}\)

เมื่อแทน x = 1 ก็จะได้ตามที่ต้องการ. :D เหนื่อยจริง ๆ

สำหรับข้อ 2. ผมทำแบบนี้ครับ.
\(\bf if\quad a + b + c = 0 \Rightarrow a^4 + b^4 + c^4 = 2(ab + bc + ca)^2 \)
\(\because \quad x + (2 -x) + (-2) = 0 \Rightarrow x^4 + (2-x)^4 + (-2)^4 = 2(2x-x^2-4+2x-2x)^2 = 2(x^2 - 2x + 4)^2 \)
\(\therefore \quad 2(x^2 - 2x + 4)^2 - 16 = 34 \Rightarrow (x^2 - 2x + 4)^2 = 5^2 \)
\( \therefore \quad x^2 - 2x - 1 = 0 \quad \cup x^2 - 2x + 9 = 0\)
\(\Rightarrow x = \frac{2\pm\sqrt{4+4}}{2} \quad \cup \quad x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 36}}{2}\)
\(\Rightarrow \quad x = 1 \pm \sqrt{2} \quad \cup \quad x = 1 \pm 2\sqrt{2}i \)

เอาบ้างครับ. แต่งโจทย์นี่ก็เหนื่อยเอาเรื่องเหมือนกันนิ :D

ข้อ 6 จงแก้สมการ \[x^7 + (2 - x)^7 = 8(7x^2 - 14x + 16) \]

อ่าขออภัยจริงๆครับ ข้อ 4 พิมพ์โจทย์ผิดน่ะครับ ไม่ได้ตั้งใจจะให้มันยากขนาดนั้น
ขอแก้ตัวเป็นข้อนี้ละกันครับ ง่ายกว่าเยอะ

7. จงหาผลบวกของอนุกรม

\[ \large{ \frac{1}{1^2+1^3} + \frac{1}{2^2+2^3} + \frac{1}{3^2+3^3} + \frac{1}{4^2+4^3}+ \dots } \]

8. จงเขียน \( \Large{ \frac{7999999999}{9998999999} } \) ให้อยู่ในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ

ข้อ 5 มีรูปแบบเหมือนฟังก์ชันพหุนามเลยคือ
f(x) = 2005 + 2004x + 2003x² + 2002x³ + ... + 2x²⁰⁰³ + x²⁰⁰⁴
และค่าที่ต้องการคือ f(1/2) แต่ผมยังไม่ได้ลองหาว่า ค่านี้เขียนในรูปแบบสั้นๆได้อย่างไร

ข้อนี้สำหรับคนชอบแคลคูลัสครับ

9. Evaluate \[ \large{ \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{y} e^{-(x^2+y^2)} dxdy } \]