#1
|
|||
|
|||
เอาโจทย์มาฝาก
ปิดเทอมนี้มีอะไรทำกันรึยังครับ ถ้ายังมาคิดโจทย์กัน
1. จงหาจำนวนจริง \( x,y\in [0,2\pi) \) ซึ่งสอดคล้องสมการ \[ \large{ \sin{x} + \sin{y} + \cos{x} + \cos{y} = 2 + \sin{(x+y)} } \] 2. จงหาคำตอบทั้งหมดของสมการพหุนาม \[ \large{ x^4+(2-x)^4 = 34 } \] 3. จงหาคำตอบของสมการอักษร \[ \large{ ABCD - DCBA = BDAC } \] \( \large{ A>B>C>D } \) 4. จงหาผลบวกของอนุกรม \[ \large{ \frac{1}{1^2 + 1} + \frac{1}{2^2 + 1} + \frac{1}{3^2 + 1} + \frac{1}{4^2 + 1} + \dots } \] 5. จงหาค่าของ \[ \large{ 2005 + \frac{1}{2}(2004+\frac{1}{2}(2003+\frac{1}{2}(2002+\dots + \frac{1}{2}(3+\frac{1}{2}(2+\frac{1}{2})))\dots) } \]
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 11 มีนาคม 2005 12:10 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii |
#2
|
|||
|
|||
ผมว่าข้อ 4. โหดไปหน่อยนะครับ
|
#3
|
|||
|
|||
ข้อ 4 ตอบ 1ฑึ2 ไหมครับ
ผมคิดยาวมาก ครับ (แปลกๆด้วย)ใครมีวิธีคิดดีๆ ก็เชิญเลยครับ
__________________
[[:://R-Tummykung de Lamar\\::]] || (a,b,c > 0,a+b+c=3) $$\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c\geq ab+ac+bc$$ 11 มีนาคม 2005 16:00 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ R-Tummykung de Lamar |
#4
|
|||
|
|||
โจทย์ยากนะเนี่ย เอามาจากไหนเนี่ย หรือคิดเองครับ
|
#5
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
\[\frac{\pi}{2}\coth\pi-\frac{1}{2}\] ผมคิดว่าข้อนี้จำเป็นต้องใช้ complex analysis แก้ถึงจะได้นะครับ อย่างไรก็ตามผมขอออกความเห็นเกี่ยวกับคำตอบของน้อง R-Tummykung de Lamar หน่อยนะครับ คือคำตอบมันไม่สมเหตุสมผลอยู่ 2 ประการครับ อย่างแรกคือค่าของผลบวก จะมีได้เพียงค่าเดียว ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะมีเครื่องหมาย ฑ อยู่ในคำตอบ อย่างที่สอง คือ 1 - ึ2 < 0 ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่มันจะเป็นค่าของผลบวกในโจทย์ |
#6
|
|||
|
|||
อ๊า..ขออภัย อย่างสูงครับ ....ที่ผมตอบไปนั้นคือ ข้อ 2 (โกรธมั๊ยเนี่ย)
(สะเพร่าสุดๆเลยนะเนี่ย ขนาดข้อยังตอบผิดเลย)
__________________
[[:://R-Tummykung de Lamar\\::]] || (a,b,c > 0,a+b+c=3) $$\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c\geq ab+ac+bc$$ 11 มีนาคม 2005 19:52 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ R-Tummykung de Lamar |
#7
|
|||
|
|||
ถ้าเป็นข้อ 2. ก็คงถูกแล้วล่ะครับสำหรับรากจริง แต่คุณ nooonuii เค้าต้องการทุกคำตอบ
ดังนั้นน้อง R-Tummykung de Lamar ก็คงต้องตอบรากที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนด้วย แล้วก็แสดงวิธีทำด้วยก็ดีครับ ข้อนี้ผมลองทำแล้วล่ะ ยากครับ เลยไม่รู้ว่าวิธีของผมนี่เป็นวิธี ที่ดีรึเปล่า แต่ยังไงก็ได้ความรู้ใหม่จากโจทย์ข้อนี้ของคุณ nooonuii อีกเช่นเคย |
#8
|
|||
|
|||
ข้อ 3
A=7 B=6 C=4 D=1
__________________
Mathematics is my mind |
#9
|
|||
|
|||
ได้ครับ วิธีคิดของผม ก็คือ
\( \displaystyle{\begin{array}{rcl} ให้&a & = & x^4 \\ &b & = & (2-x)^4 \end{array}} \) \( \displaystyle{\begin{array}{rcl}จะได้สมการคือ& a^4+b^4 & = & 34 &...(1)\\ & a+b & = & 2 &...(2)\end{array}} \) \( \displaystyle{\begin{array}{rcl} (a+b)^2 & = & a^2+2ab^2\\ 4-2ab & = &a^2+b^2 &...(3)\end{array}} \) \( \displaystyle{\begin{array}{rcr} (2)^4\ \ ;& & a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 & =&16\\ & & (a^4+b^4)-16+4ab(a^2+b^2)+6a^2b^2 & = &0\\ & & 18+4ab(4-2ab)+6a^2b^2&=&0\\ให้ \ \ ab\ \ =\ \ g\\&&6g^2+4g(4-2g)+18&=&0\\&&6g^2+16g-8g^2+18&=&0\\&&2g^2-16g-18&=&0\\&&g^2-8g-9&=&0\\&&(g-9)(g+1)&=&0\\&&g&=&-1,9\end{array}} \) \( \displaystyle{\begin{array}{rcl} \cases{a+b&=&2 \cr ab&=&-1} && & \cases{a+b&=&2 \cr ab&=&9}\\ b\ \ =\ \ a-2&&&b\ \ =\ \ a-2\\a(2-a)\ \ =\ \ -1&&&a(2-a)\ \ =\ \ 9\\a^2-2a-1\ \ =\ \ 0&&&a^2-2a+9\ \ =\ \ 0\\a=\frac{2\pm\sqrt{4+4}}{2}&&&a=\frac{2\pm\sqrt{4-36}}{2}\\a=1\pm\sqrt{2}&&&a=1\pm2\sqrt{2}i\end{array}} \) ดังนั้น x ซึ่งเท่ากับ a ก็เท่ากับ \( 1\pm\sqrt{2}\quad,\quad1\pm2\sqrt{2}i\) ผมว่าน่าจะมีวิธีคิดที่ดีกว่านี้นะครับ
__________________
[[:://R-Tummykung de Lamar\\::]] || (a,b,c > 0,a+b+c=3) $$\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c\geq ab+ac+bc$$ 11 มีนาคม 2005 22:48 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ R-Tummykung de Lamar |
#10
|
||||
|
||||
ข้อ 4 ผมลองคิดแล้วทำแบบนี้ครับ.
\( \because \frac{\sin \theta}{\theta} = (1 - \frac{\theta^2}{\pi^2})(1 - \frac{\theta^2}{2^2\pi^2}) \cdots \) ... (1) สมมติให้ \(\theta = \pi xi \Rightarrow (\frac{\theta}{\pi})^2 = -x^2\) แต่ \(\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} = \frac{e^{-\pi x} - e^{\pi x}}{2i} = \frac{i}{2}(e^{\pi x} - e^{-\pi x}) \) แทนลงใน (1) จะได้ว่า \(\frac{i}{2}(e^{\pi x} - e^{-\pi x}) = \pi xi (1 + \frac{x^2}{1^2})(1 + \frac{x^2}{1^2}) \cdots \Rightarrow (e^{\pi x} - e^{-\pi x}) = 2\pi x (1 + \frac{x^2}{1^2})(1 + \frac{x^2}{1^2}) \cdots \) \(\Rightarrow \ln (e^{\pi x} - e^{-\pi x}) = ln (2\pi x) + \ln (1 + \frac{x^2}{1^2}) + \ln (1 + \frac{x^2}{2^2}) + \cdots\) แต่ \( \frac{d}{dx} (\ln u) = \frac{1}{u} \frac{du}{dx} \) \(\therefore \frac{1}{e^{\pi x} - e^{-\pi x}}(\pi e^{\pi x} + \pi e^{-\pi x}) = \frac{1}{x} + \frac{2x}{1^2 + x^2} + \frac{2x}{2^2 + x^2} + \cdots \) \(\Rightarrow \frac{\pi}{2x}(\frac{e^{\pi x} + e^{-\pi x}}{e^{\pi x} - e^{- \pi x} }) - \frac{1}{2x^2} = \frac{1}{x^2 + 1^2} + \frac{1}{x^2 + 2^2} + \cdots \) \(\Rightarrow \frac{1}{x^2 + 1^2} + \frac{1}{x^2 + 2^2} + \cdots = \frac{\pi}{2x} \coth (\pi x) - \frac{1}{2x^2}\) เมื่อแทน x = 1 ก็จะได้ตามที่ต้องการ. เหนื่อยจริง ๆ |
#11
|
||||
|
||||
สำหรับข้อ 2. ผมทำแบบนี้ครับ.
\(\bf if\quad a + b + c = 0 \Rightarrow a^4 + b^4 + c^4 = 2(ab + bc + ca)^2 \) \(\because \quad x + (2 -x) + (-2) = 0 \Rightarrow x^4 + (2-x)^4 + (-2)^4 = 2(2x-x^2-4+2x-2x)^2 = 2(x^2 - 2x + 4)^2 \) \(\therefore \quad 2(x^2 - 2x + 4)^2 - 16 = 34 \Rightarrow (x^2 - 2x + 4)^2 = 5^2 \) \( \therefore \quad x^2 - 2x - 1 = 0 \quad \cup x^2 - 2x + 9 = 0\) \(\Rightarrow x = \frac{2\pm\sqrt{4+4}}{2} \quad \cup \quad x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 36}}{2}\) \(\Rightarrow \quad x = 1 \pm \sqrt{2} \quad \cup \quad x = 1 \pm 2\sqrt{2}i \) |
#12
|
||||
|
||||
เอาบ้างครับ. แต่งโจทย์นี่ก็เหนื่อยเอาเรื่องเหมือนกันนิ
ข้อ 6 จงแก้สมการ \[x^7 + (2 - x)^7 = 8(7x^2 - 14x + 16) \] |
#13
|
|||
|
|||
อ่าขออภัยจริงๆครับ ข้อ 4 พิมพ์โจทย์ผิดน่ะครับ ไม่ได้ตั้งใจจะให้มันยากขนาดนั้น
ขอแก้ตัวเป็นข้อนี้ละกันครับ ง่ายกว่าเยอะ 7. จงหาผลบวกของอนุกรม \[ \large{ \frac{1}{1^2+1^3} + \frac{1}{2^2+2^3} + \frac{1}{3^2+3^3} + \frac{1}{4^2+4^3}+ \dots } \] 8. จงเขียน \( \Large{ \frac{7999999999}{9998999999} } \) ให้อยู่ในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 12 มีนาคม 2005 06:21 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii |
#14
|
|||
|
|||
ข้อ 5 มีรูปแบบเหมือนฟังก์ชันพหุนามเลยคือ
f(x) = 2005 + 2004x + 2003x2 + 2002x3 + ... + 2x2003 + x2004 และค่าที่ต้องการคือ f(1/2) แต่ผมยังไม่ได้ลองหาว่า ค่านี้เขียนในรูปแบบสั้นๆได้อย่างไร |
#15
|
|||
|
|||
ข้อนี้สำหรับคนชอบแคลคูลัสครับ
9. Evaluate \[ \large{ \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{y} e^{-(x^2+y^2)} dxdy } \]
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
|
|