โจทย์สมการกำลังสอง
 

อยากได้วิธีง่ายๆครับ ในเฉลยมันเฉลยไม่ดี โจทย์คือ

ถ้าคำตอบทั้งสามของสมการ x^3-8x^2+cx+d=0 เป็นจำนวนเต็มที่แตกต่างกันและผลบวกของคำตอบเท่ากับ 8 เมื่อ c,d เป็นจำนวนจริงบวกแล้ว c+d มีค่าเท่าไหร่

ช่วยหน่อยนะครับ

s=1+\sqrt[-1]{2}+\sqrt[-1]{3}+...+\sqrt[-1]{1000000} ส่วนที่เป็นจำนวนเต็มของ \frac{s}{2} มีค่าเท่าใด

ให้ p,q,r เป็นรากที่แตกต่างกันทั้ง3ค่าของสมการที่โจทย์ให้มา โดยที่ p,q,r เป็นจำนวนเต็ม และ c,d
เป็นจำนวนจริงบวก
จากความสัมพันธ์ระหว่างรากกับสมการพหุนาม

จะได้ $A+B+C=8\rightarrow (A,B,C)$ ที่เป็นไปได้คือ $(1,2,5)$ หรือ $(1,3,4)$

$d=-(ABC)=-10$ หรือ $-12$

$c=(AB+BC+CA)=17$ หรือ $19$

$\therefore c+d=7$

ทำไมเป็นได้แค่ $(1,2,5)$ หรือ $(1,3,4)$ ครับ

$c,d \in \mathbb{R}^{+}$

จัดพจน์หลังก่อน
$\sqrt{n}+\sqrt{n-1} < 2\sqrt{n} < \sqrt{n}+\sqrt{n+1}$

ใช่ครับผมคิดผิดไปขอแก้ใหม่

จะได้ $p+q+r=8$

$-pqr=d\rightarrow qr=\frac{d}{-p}$ ดังนั้นใน $p,q,r$ จะมี1จำนวนเป็นจำนวนเต็มลบ

$(p,q,r)$ ที่เป็นได้คือ $(-1,2,7),(-1,3,6),(-1,4,5),(-2,3,7),(-2,4,6)$

$d=14,18,20,42,48$

$c=5,9,11,1,4$

$\therefore c+d=19,27,31,43$ และ $52$


ปล.ไม่แน่ใจ ช่วยตรวจสอบกันดูอีกที ถ้ามีวิธีคิดช่วยเฉลยก็จะดีเลยครับ

มีวิธีที่ง่านกว่านี้มั้ยครับ อีกข้อด้วย

เฉลยบอกว่ามีสามคำตอบคือ 7,12,15ครับ

โจทย์จากที่ไหนครับ ผมว่าถ้าคำตอบไม่ตรงลองเช็คดูสมการโจทย์ที่ให้มาว่าผิดเพี้ยนรึเปล่าครับ

เฉลยมันห่วยมากครับ บอกว่า

ให้แทนค่า x ในค่าต่างๆลงในสมการแล้วก็แทนกันไปกันมาครับ

ปล.มันคือหนังสือ เฉลยข้อสอบแข่งขันคณิตศาสตร์ สพฐ. ม.3 ของ สำนักพิมพ์เดอะบุ๊ค

มีโจทย์หลายข้อเฉลยไม่ดีครับ ตอนแรกบางข้อผมก็เข้าใจถูกแล้วแต่ไปดูเฉลย
กลับทำให้ผมยิ่งงงเข้าไปอีก ใครที่ซื้อแบบฝึกหัดมาทำ กรุณาดูหน่อยนะครับ

เดี๋ยวจะเอาโจทย์บางข้อมาให้ทำดูนะครับ

ข้อนี้ผมว่า ควรจะเปลี่ยนเป็น คำตอบเป็นจำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกันครับ.

ขอบคุณครับ

โจทย์ข้อต่อไป

กำหนดพหุนาม p(x)=x^4-6x^3-5x^2-8x-6 ถ้าพหุนาม p(x) หารด้วย x-7 ลงตัว
แล้ว x มีค่าเป็นจำนวนเต็มบวกกี่จำนวน

หารสังเคราะห์ครับ จะได้ว่าเศษเหลือคือ 36 หรือหารยาวก็ได้

นั่นคือ $\frac{x^4-6x^3-5x^2-8x-6}{x-7} = q(x) + \frac{36}{x-7}$

แต่ถ้า x เป็นจำนวนเต็มบวก แล้ว จะเป็นการหารลงตัวเมื่อ x - 7 หาร 36 ลงตัว

นั่นคือ $x- 7 = \pm1, \pm 2, ... , \pm 36$ (ตัวประกอบทั้งหมดของ 36 มี 18 จำนวน)

แต่ $x - 7 \ne -9, -12, -18, -36$ เพราะจะทำให้ x ไม่เป็นจำนวนเต็มบวก

ดังนั้นจึงมี x ที่ใช้ได้ 18 - 4 = 14 จำนวน

งั้นข้อต่อไปเลยนะครับ

ให้ p,q เป็นรากของสมการ x^2+5x+1=0 และ r,s เป็นรากของสมการ x^2+3x+1=0
แล้ว (q-r)(p-r)(p+s)(q+s) มีค่าเท่าไหร่

มีจำนวนเต็ม x,y ที่ต่างกันกี่คู่ที่อยู่ระหว่าง 1 และ 100 ที่ 49 ไปหาร x^2+y^2 ลงตัว
ถ้า (x,y) กับ (y,x) ถือว่าเป็นคู่เดียวกัน

อันนี้ไม่ค่อยเกี่ยวกับสมการกำลังสองเท่าไหร่ครับ แต่ผมอยากรู้คำตอบ

ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจุด E,F,G,H เป็นจุดกึ่งกลางด้าน AB,BC,CD,DA ตามลำดับ
ลาก AG,CE,DF,BH ตัดกันเกิดรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน MNPQ ซึ่งมีจุด R,S,T,U เป็นจุดกึ่งกลาง
ด้าน MN,NP,PQ,QM ตามลำดับ หากลากเส้นอย่างที่ได้ทำมาอีกทีหนึ่งและรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ตรงกลางมีพื้นที่ 15 ตร.หน่วย จงหาพื้นที่รูปสี่เหลี่ยม ABCD

รูปสามเหลี่ยม ABC มีเส้นแบ่งครึ่งมุม A พบ BC ที่จุด D จากจุด B ลากเส้นตั้งฉากกับ AD ที่จุด E
HG ผ่านจุด E และขนานกับ AC พบ BC ที่จุด G และ AB ที่จุด H
ถ้า AB=26,BC=28,AC=30 จงหา DG

$x^2$+5x+1 = 0

ให้ p,qเป็นรากของสมการ
p+q = -5
pq = 1

$x^2$+3x+1
ให้ r,sเป็นรากของสมการr
r+s = -3
rs = 1
(p-r)(q-r)(p+s)(q+s)
=(pq+ps-rq-rs)(qp+qs-rp-rs)
=(ps-rq)(qs-rp)
=$pqs^2$-$p^2$rs-rs$q^2$+$r^2$pq
=$s^2$-$p^2$-$q^2$+$r^2$
={$(r+s)^2$-2rs}-{$(p+q)^2$-2pq}
={$(-3)^2$-2}-{$(-5)^2$-2}
=7-23
=-16

375 ครับใช้การเลื่อนรูป

ท่านgonครับ ในข้อแรกถ้าคำตอบของสมการเป็นจำนวนเต็มบวกหมดแล้ว ค่า d จะเป็นจำนวนจริงบวกได้อย่างไรครับ ช่วยชี้แนะหน่อยครับ

จำนวนเต็มบวกเป็นสับเซตของจำนวนจริงบวกครับ

#24
ผมหมายถึงถ้าคำตอบของสมการพหุนามที่โจทย์ให้มาเป็นจำนวนบวกทั้งหมดแล้ว

ค่าของ d ในสมการพหุนามนี้จะเป็นบวกได้รึเปล่า ถ้าได้ช่วยยกตัวอย่างให้ดูว่าได้จริงหน่อยครับ

ถูกทั้งสองข้อเลยครับ

อยากให้ช่วยทำข้อ #18 ด้วยนะครับ อยากรู้จริงๆ

ข้อต่อไป
ถ้า x,y,z เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับระบบสมการ x+2y+3z=13,x^2+4y^2+9z^2+3x-2y+15z=82
แล้ว xyz+x+y+z มีค่าเท่าใด

ถ้า a^2-2a=-1,b^2-3b=1และc^2-4c=1 แล้ว 3a^3-b^3+c^3+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+200 มีค่าเท่าใด

ให้ $x=7k_1+m$ และ $y=7k_2+n$

โดยที่ $\left\{\,\right. m,n\left.\,\right\} \subset \left\{\,\right. 0,1,2,3,4,5,6\left.\,\right\} $

และ

$\left\{\,\right. k_1,k_2\left.\,\right\} \in \mathbf{Z^+}\cup\left\{\,\right. 0\left.\,\right\} $

$$49\left|\,\right. (x^2+y^2)$$
$\leftrightarrow$
$$ 49\left|\,\right. ((7k_1+m)^2+(7k_2+n)^2)$$
$\leftrightarrow$
$$ 49\left|\,\right. [49(k_1^2+k_2^2)+14(k_1+k_2)+(m^2+n^2)]$$
$\leftrightarrow$
$$ 49\left|\,\right. [14(k_1+k_2)+(m^2+n^2)]$$
เนื่องจาก $7\left|\,\right. 49$ และ $7\left|\,\right. 14(k_1+k_2)$

ดังนั้น $7\left|\,\right. (m^2+n^2)$

เนื่องจาก $\left\{\,\right. m,n\left.\,\right\} \subset \left\{\,\right. 0,1,2,3,4,5,6\left.\,\right\} $

จึงมีเพียง $(0,0)$ ที่สอดคล้อง [สามารถหาได้โดยมองความสัมพันธ์ของหลักหน่วย หรือ การแทนค่า(ซึ่งไม่เยอะ)]

จะได้ว่า
$$ 49\left|\,\right. 14(k_1+k_2)$$
$$ 7\left|\,\right. 2(k_1+k_2)$$
ดังนั้น $7\left|\,\right. k_1+k_2...(1)$

แทน $x=7k_1$ และ $y=7k_2$ ลงใน $x^2+y^2$ ;

$$ 49\left|\,\right. 7(k_1^2+k_2^2)$$
$$ 7\left|\,\right. k_1^2+k_2^2$$
แต่ $k_1^2+k_2^2=(k_1+k_2)^2-2k_1k_2$

$ 7\left|\,\right. (k_1+k_2)^2-2k_1k_2$ แต่จาก (1) จะได้ว่า

ดังนั้น $7\left|\,\right. 2k_1k_2$ หรือ $7\left|\,\right. k_1k_2...(2)$

สังเกตว่า $1\leqslant x,y \leqslant 100$

$1\leqslant 7k_1 \leqslant 100$ และ $1\leqslant 7k_2 \leqslant 100$


$1\leqslant k_1\leqslant 14$ และ $1\leqslant k_2\leqslant 14$

เนื่องจาก 7 เป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้นจะได้คู่อันดับ $(k_1,k_2)$ คือ

$(7,i),(i,7),(14,i),(i,14)$ ;$1\leqslant i\leqslant 14 ,i\in \mathbf{Z} $

ดังนั้น มีคู่อันดับ $(x,y)$ ทั้งหมด $14(4)=56$ คู่อันดับ

แต่ (7,i) กับ (i,7) และ (14,i) กับ (i,14) ถือเป็นคู่เดียวกัน

เหลือเพียง 28 คู่อันดับ

แต่เรานับ (7,14) กับ (14,7) ซ้ำ จึงต้องหักออก

ดังนั้น จึงมีคู่อันดับ (x,y) เท่ากับ 26 คู่อันดับที่สอดคล้อง

ผมได้105ครับ

คำตอบผมไม่มั่นใจหรอกครับ ทำมาเรื่อยๆ แต่วิธีทำก็น่าจะเป็นได้วิธีหนึ่ง

ข้อนี้ถ้าใช้สมภาคช่วยแก้ จะทุ่นแรงได้เยอะเหมือนกันครับ แต่หลายคนอาจจะยังไม่ได้ศึกษาเบื้องต้น

14 หรือเปล่าครับ

จากโจทย์แสดงว่า$ 7\mid x และ 7\mid y$

ไล่ $x^2+y^2$

$(x,y)=(7,7) (7,14) ... (7,98) (14,14) (14,21) ... (98,98)$

ได้ $1+2+...+13+14=\frac{14*15}{2}=105 $

วันนี้ไปสอบสพฐ.มาครับ มีข้อนึงที่ผมรุ้สึกแปลกๆครับ โจทย์คือ
ห้างสรรพสินค้าลดราคาน้ำส้ม เมื่อซื้อขวดแรกด้วยราคา 7 บาท ขวดที่สองจะลดเหลือ 1 บาท
เมื่อมีคน 9 คน ต้องการให้คนทุกคนได้กินน้ำส้มเหมือนกัน ถามว่าจะต้องจ่ายเงินอย่างน้อยที่สุดกี่บาท

choice : ก.35 ข.37 ค.39 ง.41 จ.43
ปล.ค่าแต่ละช้อยส์ผมไม่ค่อยแน่ใจนะครับ

ใช่ครับ คุณ gnap

ซื้อ 8 ขวด 32บาท
ขวดที่ 9. 7บาท รวม 39บาท

คือโจทย์มันบอกว่าทุกคนซื้อน้ำส้มคนละ1ขวดอ่ะครับไม่ใช่กินน้ำส้มทุกคนดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ว่าคนที่1จะซื้อน้ำ
ส้มแล้วนำมาให้คนที่2เพราะคนที่2จะไม่ได้ซื้อ แต่ว่าช้อย ง.=63อ่ะครับถ้าทุกคนซื้อน้ำส้มคนละ1ขวด
=9(7)=63

แต่โจทย์บอกว่า ซื้อขวดแรกในราคา 7 บาท ถ้าซื้อขวดขวดที่สองจะเหลือราคาเพียง 1 บาทครับ
เพราะฉะนั้น 4(7+1)+7=39 บาทครับ